高校数学C 逆数と共役の図形—距離の逆数と偏角の符号を同時に確かめる｜武蔵野個別指導塾

逆数を実軸対称だけで描く間違いから出発し、原点からの距離と偏角を使って単位円の内外を行き来する理由をたどります。

よくあるのは、理系高3が逆数を実軸対称だけで描く場面です。点 z を実軸に折り返すと z の共役の位置は出ますが、原点からの距離は変わりません。逆数では、その距離も元の逆数に変わります。例えば原点から2の距離にある点なら、逆数の点は原点から1/2の距離にあります。向きと距離の2つを別々に追うと、図と式が一致します。

どこから手をつけるか

問われ方は大きく3つあります。点の座標が与えられたら、共役を掛けて分母を実数にし、実部と虚部を読み取ります。分母が0でないことを最初に確かめ、求めた値を掛け戻します。

距離と偏角が与えられたら、距離の逆数と偏角の符号に注目します。偏角には2πの整数倍の自由があるので、答えの範囲が指定されているときは最後にその範囲へ直します。0には逆数も偏角もありません。

複数の点の位置関係を尋ねられたら、共役、逆数、共役の逆数を別々の点として整理します。実軸対称で保存される距離と、逆数で入れ替わる単位円の内外を区別するのが入口です。ここでは個々の点の対応を扱い、点が曲線上を動くときの像は扱いません。

距離と向きを2段階で追う

z = x + yi とし、その共役を z の共役 = x − yi と書きます。z が0でなければ x² + y² > 0 です。共役との積は x² + y² なので、次の式が成り立ちます。

1/z = (z の共役)/(z・(z の共役))
    = (x - yi)/(x² + y²)
1/(z の共役) = (x + yi)/(x² + y²)

分母は正の実数です。したがって 1/z は共役の点を原点から 1/(x² + y²) 倍した位置にあり、1/(z の共役) は元の点を同じ倍率で移した位置にあります。この倍率は距離の逆数そのものではありません。元の距離 |z| に掛けると、|z|/(|z|²) = 1/|z| になります。

図1のように、原点を中心とする単位円を基準にします。例として z = 2i の共役は -2i、逆数は -i/2、共役の逆数は i/2 です。実軸対称と原点からの倍率を別に描くと、4点を取り違えません。図1の実軸は右向き、虚軸は上向きです。

非零の z の絶対値を r、偏角の1つを θ とすると、r > 0 であり、z = r(cos θ + i sin θ) と表せます。共役では虚部の符号が反転するので、偏角は -θ です。積が1になることから、逆数の絶対値は 1/r、偏角は -θ + 2kπ（k は整数）です。共役の逆数の絶対値も 1/r ですが、偏角は θ + 2kπ です。

この2つの情報は独立に使います。r > 1 なら 1/r < 1 なので、単位円の外側の点は内側に移ります。0 < r < 1 なら外側に移り、r = 1 なら円周上に残ります。r = 1 のときに限り 1/z は共役と一致します。実際、1/z = (z の共役)/r² なので、非零の共役を消去すれば r² = 1 が必要であり、逆も成り立ちます。

基本例題：座標と図を照合する

問題　z = 2 + 2i のとき、z の共役、1/z、1/(z の共役) を実部と虚部を分数または整数で表し、それぞれの原点からの距離を根号で求めてください。逆数の点が共役の点と一致するかも答えてください。

解き方　z は非零ですから、両方の逆数が存在します。まず z の共役 = 2 − 2i、共役との積は 2² + 2² = 8 です。分母を実数にすると、

1/z = (2 - 2i)/8
    = 1/4 - i/4
1/(z の共役) = (2 + 2i)/8
                 = 1/4 + i/4

元の点と共役の点の距離は、ともに √8 = 2√2 です。逆数の点の距離は次の通りです。

|1/z| = √((1/4)² + (-1/4)²)
      = √(2/16)
      = √2/4

共役の逆数も虚部の符号が違うだけなので距離は √2/4 です。2√2・(√2/4) = 1 となり、距離の積は1です。共役の座標は (2, -2)、逆数の座標は (1/4, -1/4) ですから、一致しません。

図2のように、共役と逆数は原点から同じ向きにありますが、距離が異なります。点の近くで図が見づらい場合も、座標と距離を先に計算すれば位置を決められます。図2で共役の逆数は元の点と同じ向きです。

掛け戻しでも確認します。(2 + 2i)(1/4 − i/4) = 1、(2 − 2i)(1/4 + i/4) = 1 です。どちらも虚部が消え、問題で求めた相手の逆数になっています。距離と方向が合っていても、分母の8を落とす計算は掛け戻しで見つかります。

標準例題：偏角を指定範囲へ戻す

問題　非零の複素数 z の絶対値が3、偏角の1つが 2π/3 です。1/z と 1/(z の共役) の絶対値と、0以上2π未満の偏角を求め、それぞれを根号を含む実部と虚部で表してください。

解き方　距離はどちらも 1/3 です。1/z の偏角の1つは -2π/3 ですが、これは指定された範囲に入りません。2πを加えて 4π/3 とします。一方、共役の逆数の偏角は 2π/3 です。

1/z = (1/3)(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
    = (1/3)(-1/2 - (√3/2)i)
    = -1/6 - (√3/6)i
1/(z の共役) = (1/3)(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
                 = -1/6 + (√3/6)i

元の z は -3/2 + (3√3/2)i です。これに 1/z を掛けると、実部は 1/4 + 3/4 = 1、虚部は √3/4 − √3/4 = 0 です。共役どうしの積を取れば、もう一方も1になります。両点の距離は √(1/36 + 3/36) = 1/3 で、角もそれぞれ第3象限、第2象限にあります。指定範囲へ移す操作は点を変えず、偏角の表し方だけを変えています。

座標が先に与えられた場合は共役で有理化する方法が短く、角が先に与えられた場合は絶対値と偏角から進む方法が自然です。どちらを選んでも、逆数と元の積が1になることが共通の確認です。

発展例題：2種類の逆数が一致する条件

問題　z = x + yi は非零とします。1/z と 1/(z の共役) が一致するための x、y の条件を求め、そのとき2つの点の位置と単位円の内外の対応を説明してください。

解き方　分母 x² + y² は正です。2つの分数の分母が同じなので、等式は分子を比較できます。

(x - yi)/(x² + y²) = (x + yi)/(x² + y²)
x - yi = x + yi
-2yi = 0
y = 0

逆に y = 0 なら z の共役 = z ですから、2つの逆数は一致します。ただし z は非零なので x ≠ 0 です。答えは y = 0、x ≠ 0 です。両点は実軸上の 1/x にあり、元の点と同じ側にあります。

例えば x が正なら 1/x も正、負なら 1/x も負です。さらに |x| > 1 なら |1/x| < 1、0 < |x| < 1 なら |1/x| > 1 です。|x| = 1 の場合は元の点と逆数の点も一致します。ここで y = 0 として x = 0 を残すと、1/x が定義できなくなるため、非零条件は答えに必要です。

式による必要性と、条件を戻した十分性を両方示しました。図だけで実軸上と予想できても、原点を含めてよいかは分母に戻らなければ決まりません。

誤答を点と積で修正する

「z = 2i の逆数は -2i」としたとします。実軸対称の位置は合っていますが、それは共役です。元の距離2をそのまま残しているため、逆数に必要な距離 1/2 を満たしません。

図3のように、-2i と -i/2 は同じ向きでも原点からの距離が違います。積を計算すると (2i)(-2i) = 4 であり、1ではありません。正しくは (2i)(-i/2) = 1 です。図3では共役まで折り返した後、距離を1/2にすることで修正します。

別の誤りは、距離を 1/2 に直しても +i/2 に置くことです。こちらは共役の逆数で、(2i)(i/2) = -1 となります。方向を反転し忘れたことが原因です。積の実部が1、虚部が0かを確かめると、距離と向きの両方を同時に点検できます。

また z = 0 に公式を機械的に代入すると、分母が0になります。0に掛けて1になる複素数はないので、原点に対応する逆数の点はありません。図に点を置く前に、入力が非零かを確認してください。

練習：問題を先に解く

1. z = 3 − 4i とします。z の共役、1/z、1/(z の共役) を実部と虚部が分数または整数の形で求め、逆数の距離を求めてください。
2. z の絶対値が 1/2、偏角の1つが π/6 です。1/z の絶対値と、0以上2π未満の偏角を求め、根号を含む直交表示で答えてください。
3. z = -i/3 とします。共役、逆数、共役の逆数を求め、各点が単位円の内側、円周上、外側のどこにあるか答えてください。
4. 非零の z について 1/z = z が成り立つ z をすべて求め、各解を元の式に戻してください。
5. z = a + 2i（a は実数）について、1/z の実部が 1/4 となる a をすべて求めてください。答えは整数で表してください。

練習の答えと戻し方

1　共役は 3 + 4i です。z は非零で、共役との積は 3² + 4² = 25 です。

1/z = (3 + 4i)/25
    = 3/25 + (4/25)i
1/(z の共役) = (3 - 4i)/25
                 = 3/25 - (4/25)i
|1/z| = √(9/625 + 16/625)
      = 1/5

元の距離は5なので距離の積は1です。また (3 − 4i)(3/25 + (4/25)i) = (9 + 16)/25 = 1 です。もう一方も共役を取って掛け戻せます。虚部の符号は元の点と逆数で反対です。

2　距離は 1/(1/2) = 2、偏角の1つは -π/6 です。指定範囲に直すと 11π/6 です。

1/z = 2(cos(11π/6) + i sin(11π/6))
    = 2(√3/2 - i/2)
    = √3 - i

元の z = √3/4 + i/4 と掛けると、実部は 3/4 + 1/4、虚部は -√3/4 + √3/4 です。したがって積は1で、長さも2です。元の内側の点が外側へ移ることにも合います。

3　z は非零で、その共役は i/3 です。

1/z = 1/(-i/3)
    = 3i
1/(z の共役) = 1/(i/3)
                 = -3i

共役の距離は 1/3 で内側、逆数と共役の逆数の距離は3で外側です。元の点も内側です。(-i/3)(3i) = 1、(i/3)(-3i) = 1 と掛け戻せます。虚軸上では共役の逆数が元と同じ向き、逆数が反対向きです。

4　z ≠ 0 を使って両辺に z を掛けると z² = 1 です。

z² - 1 = 0
(z - 1)(z + 1) = 0
z = 1 または z = -1

両方とも非零です。1/1 = 1、1/(-1) = -1 なので元の条件を満たします。どちらも単位円と実軸の交点です。0は方程式を変形する以前に対象外であり、解として加えません。

5　虚部が2なので、どの実数 a でも z ≠ 0 です。有理化して実部を比較します。

1/z = (a - 2i)/(a² + 4)
a/(a² + 4) = 1/4
4a = a² + 4
a² - 4a + 4 = 0
(a - 2)² = 0
a = 2

分母 a² + 4 は常に正なので、両辺に掛けても解を失いません。a = 2 を元へ戻すと 1/(2 + 2i) = (2 − 2i)/8 = 1/4 − i/4 です。実部は指定された 1/4 であり、非零条件も満たします。重解を2つの異なる値として数えないことも確認します。

覚えておくこと

• 非零の z に対し、逆数の距離は 1/|z|、偏角は元の符号を反転します。
• 共役の逆数は同じ距離を持ち、偏角は元と同じです。
• 単位円の内外は入れ替わり、円周上は円周上に残ります。
• 位置を描いたら分母と積が1になることを確かめます。

つまずきを見分ける問い

共役と逆数を同じ場所に置いたときは、まず元の点までの距離を尋ねます。その距離が1でなければ、折り返した後にどの距離へ移すかを言葉で説明してみてください。距離だけ合い、向きが違う場合には、元の点との積の虚部と実部を計算します。

個別指導で確かめるなら、1/z = (z の共役)/|z|² の分母がどこから出たかを、自分の式で示せるかを見ると判断しやすくなります。さらに z = 0 と |z| = 1 をそれぞれ代入できるか尋ねれば、式が使えない場合と共役に一致する場合を区別できます。距離と向きを揃えて初めて定まるのが逆数の図形です。