高校数学C 一次式による図形の移動—掛け算と足し算の順から像の位置を追う｜武蔵野個別指導塾

一次式の掛け算と足し算の順序を追い、固定点や対応する線分から回転と倍率を読み取ります。

よくあるのは、理系の高3が複素数に足してから掛けても、掛けてから足しても同じ位置に着くと考える場面です。たとえば、点を回してから右へ動かす操作と、右へ動かしてから回す操作では、後者の移動方向も回されます。式の順番を点の動きに翻訳し、元の点に戻す確認まで行うと、見た目だけに頼らず像を決められます。

要点（結論から）

• az + b は、a を掛けてから b を足します。
• 対応する2点の差は a 倍され、距離は |a| 倍されます。
• a ≠ 1 なら固定点は b/(1 − a) です。

式から何を先に読むか

一次式 w = az + b を考えます。ここでは a、b は定数で a ≠ 0 とし、z を表す点を移した先が w を表す点です。出方には大きく3つあります。

1つ目は、与えられた点や図形の像を求める型です。まず z を a 倍してから b を足します。頂点の像を求めるときも、この順で各点に代入します。2点の像の差を取ると b が消えるため、長さや向きの変化は a で判断できます。

2つ目は、式から動かない点と移動の性質を読む型です。a ≠ 1 なら固定点を先に求め、その点からの差に注目します。a = 1 なら固定点の式で 0 を割れないので、平行移動として別に考えます。b = 0 のときは、動かない点が1点だけなのか、すべての点なのかも a によって違います。

3つ目は、2つの対応から a と b を決める型です。対応する像の差を取ると、足し算の部分を消して a を求められます。ただし元の2点が一致すると差は0です。その場合に割り算で係数を決めることはできません。異なる2点から始めるという条件を、計算の前に確かめます。

差を取ると見える倍率と中心

点 z を点 w = az + b に移す操作を、ここでは一次式による移動と呼びます。a ≠ 0 なので、異なる2点 z₁、z₂ に対して像 w₁、w₂ も異なります。実際に引き算すると次のようになります。

w₂ - w₁ = (az₂ + b) - (az₁ + b)
          = a(z₂ - z₁)
|w₂ - w₁| = |a||z₂ - z₁|

したがって、2点間の距離は |a| 倍されます。a の偏角を θ とすると、元の線分から像の線分への向き付き角は θ です。偏角は 2π の整数倍の違いを同じ向きとして扱います。a は非零なので偏角を取れます。距離が保存されるのは |a| = 1 の場合です。

図1のように、対応する2本の線分を比べると、b による移動は差に現れません。図では a = i、b = 2 とし、z₁ = 0、z₂ = 1 に対して w₁ = 2、w₂ = 2 + i です。長さは同じで、右向きの線分が反時計回りに π/2 回っています。図の実軸は右向き、虚軸は上向きです。

図1では2本の線分の位置が違っても、その差は i 倍の関係です。点ごとの移動方向が同一だと決めつける必要はありません。線分の始点どうしも移動しているからです。

固定点を c とすると、移動前後で同じ点なので c = ac + b です。a ≠ 1 のときは 1 − a ≠ 0 であり、唯一の固定点は c = b/(1 − a) です。この関係を用いると次が成り立ちます。

w - c = az + b - c
      = az - ac
      = a(z - c)

よって c からの距離を |a| 倍し、c を中心に θ だけ回す操作として読めます。中心そのもの z = c は動きません。a が正の実数なら回転角は0、負の実数なら π と取れます。倍率が1でも a ≠ 1 なら平行移動ではなく、固定点を持つ回転です。

a = 1 では w = z + b です。b ≠ 0 ならすべての点が同じ向き、同じ距離だけ平行移動し、固定点はありません。b = 0 なら w = z で、すべての点が固定されます。なお a = 0 なら全点が b に重なるため、ここで扱う倍率と回転の説明には入れません。

基本例題：像を2通りの手順で確かめる

点 z = 2 + i を w = iz + 1 で移します。像 w と固定点をそれぞれ実部と虚部を用いて求め、固定点からの距離と回転の向きを確かめてください。

図2のように、まず原点中心の掛け算を行い、その後に 1 を足します。途中の点と最終点を別に記すと、操作が混ざりません。

iz = i(2 + i)
   = 2i + i²
   = -1 + 2i
w  = (-1 + 2i) + 1
   = 2i

固定点 c は c = ic + 1 を満たします。1 − i ≠ 0 ですから、共役な数を掛けて整理できます。

(1 - i)c = 1
c = 1/(1 - i)
  = (1 + i)/((1 - i)(1 + i))
  = (1 + i)/2

この値を元の固定点の式に戻すと、ic + 1 = (-1 + i)/2 + 1 = (1 + i)/2 = c です。中心から見た差は次のようになります。

z - c = (3 + i)/2
w - c = (-1 + 3i)/2
       = i(3 + i)/2
       = i(z - c)

両方の距離の2乗は (3² + 1²)/4 = 5/2 です。i を掛けると実部と虚部は (x, y) から (-y, x) に移るため、向きは反時計回りに π/2 です。固定点から見る方法でも w = 2i に戻るので、図の像と式の両方が一致します。

ここで c の式を使う前に a = i ≠ 1 を確認したことが重要です。a = 1 に同じ分母を使えば 0 で割ることになり、平行移動を誤って中心のある回転と見なしてしまいます。

標準例題：2組の対応から一次式を決める

異なる2点 1、2 + i がそれぞれ 3 − i、2 + 2i に移るように w = az + b を定めます。a、b と固定点を実部と虚部で表し、倍率と回転角を求めてください。回転角の代表値は -π < θ ≤ π とします。

2組の対応を式にして、上の式を下の式から引きます。元の点の差 1 + i は非零です。

3 - i = a + b
2 + 2i = a(2 + i) + b
-1 + 3i = a(1 + i)
a = (-1 + 3i)/(1 + i)
  = ((-1 + 3i)(1 - i))/2
  = 1 + 2i
b = 3 - i - a
  = 2 - 3i

固定点 c について、a ≠ 1 なので計算できます。

c = (2 - 3i)/(1 - (1 + 2i))
  = (2 - 3i)/(-2i)
  = (3 + 2i)/2

倍率は |1 + 2i| = √5 です。回転角は第1象限の角で、tan θ = 2、0 < θ < π/2 を満たす θ です。この条件は指定区間内の1つの角を定めます。

代入して元の場面に戻します。z = 1 の像は 1 + 2i + 2 − 3i = 3 − i です。また z = 2 + i では (1 + 2i)(2 + i) + 2 − 3i = 2 + 2i です。2つの像の差は -1 + 3i で、その長さの2乗は10です。元の差 1 + i の長さの2乗は2なので、距離の倍率も √5 になっています。固定点も (1 + 2i)(3 + 2i)/2 + 2 − 3i = (3 + 2i)/2 と戻ります。

2組の点が同じ元の点で像も同じなら、1組の条件にしかならず、a は一意に決まりません。元の点が同じで像が異なるなら、同じ入力に異なる値を対応させることになり、求める式は存在しません。差で割る方法が使えないときは、こうして条件そのものを点検します。

発展例題：線分の像と逆向きの確認

z が 1 から 3 + 2i までの線分上を動くとき、w = (1 + i)z − 2i の描く図形を求めてください。両端を含むものとし、端点を実部と虚部で表してください。

線分上の点は、実数 t を 0 ≤ t ≤ 1 として z = 1 + t(2 + 2i) と表せます。端点から端点へ、同じ割合 t で動く表し方です。これを代入します。

w = (1 + i){1 + t(2 + 2i)} - 2i
  = 1 + i + t(1 + i)(2 + 2i) - 2i
  = 1 - i + 4ti

したがって像は 1 − i から 1 + 3i までの線分です。t = 0 と t = 1 を含むため、両端も含みます。元の線分の長さは √8、像の線分の長さは4であり、比は4/√8 = √2 = |1 + i| です。向きも 2 + 2i を 1 + i 倍すると 4i になるため、右上向きから真上向きへ π/4 回っています。

逆向きも確かめます。像の線分上の任意の点は 1 − i + 4si、0 ≤ s ≤ 1 と表せます。t = s とすれば元の線分上の点からその値が得られます。よって像が線分の一部にとどまる心配はありません。一般に a ≠ 0 なら z = (w − b)/a と戻せますが、今回は媒介変数を同じ範囲で戻す方法が端点も含めて明快です。

操作順を取り違えたら

基本例題と同じ z = 2 + i について、iz + 1 を i(z + 1) と計算してしまう誤答を考えます。図3では、両者が異なる点へ着くことを示しています。

誤った計算は i(3 + i) = -1 + 3i です。一方、正しくは i(2 + i) + 1 = 2i です。違いは移動量 1 まで i 倍したことにあります。図3の2つの終点の差は (-1 + 3i) − 2i = -1 + i で、実際に i − 1 と一致します。

一般にも a(z + b) = az + ab なので、az + b との差は (a − 1)b です。この差が0となるのは a = 1 または b = 0 の場合で、その場合は2つの順序が偶然一致します。特別な例だけで順序を交換できると判断しないことが修正の要点です。式を見たら、括弧の内側から計算し、途中の点を1つ書いてから次の操作に進みます。

もう1つの誤りは、w = az + b の b をそのまま固定点とすることです。b は原点 z = 0 の像であり、一般には固定点ではありません。固定点の候補には z = w を代入します。基本例題では b = 1 ですが、1 の像は 1 + i であり、1 は動きます。実際の固定点 (1 + i)/2 と区別できます。

練習：5つの場面で手順を選ぶ

答えは実部と虚部で表し、角を求めるときは -π < θ ≤ π の代表値を用いてください。

1. w = -iz + 3 により z = 2 − i はどこに移りますか。掛け算の途中点も求めてください。
2. w = -z + 4 + 2i の固定点、倍率、回転角を求めてください。
3. w = z − 2 + 3i の固定点の有無と、点 1 + i の像を求めてください。
4. w = az + b が 0 を 1 + i に、2 を 5 − i に移します。a と b を求め、2点間の距離の倍率も求めてください。
5. z が -1 から 1 までの線分上を動くとき、w = 2iz + 1 − i の像を端点とその包含を明示して求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 途中点は -1 − 2i、像は 2 − 2i です。

-iz = -i(2 - i)
    = -2i + i²
    = -1 - 2i
w = (-1 - 2i) + 3
  = 2 - 2i

途中点から実軸の正方向に3移すと、実部が -1 から2になり、虚部は -2 のままです。元の操作に照らしても像は 2 − 2i です。

2. 固定点は 2 + i、倍率は1、回転角は π です。c = -c + 4 + 2i より 2c = 4 + 2i です。a = -1 の絶対値は1で、指定区間内の偏角は π です。実際に -(2 + i) + 4 + 2i = 2 + i です。任意の z に対して w − (2 + i) = -(z − (2 + i)) となり、中心からの距離を保って反対向きに移ります。

3. 固定点はなく、像は -1 + 4i です。固定点 c があれば c = c − 2 + 3i となり、0 = -2 + 3i を要求しますが、これは成り立ちません。像は 1 + i − 2 + 3i = -1 + 4i です。像と元の点の差は -2 + 3i で、指定された移動量に戻ります。

4. a = 2 − i、b = 1 + i、倍率は √5 です。0 の像から b = 1 + i です。2 の像を使うと次のようになります。

2a + (1 + i) = 5 - i
2a = 4 - 2i
a = 2 - i

元の2点の距離は2、像の差は (5 − i) − (1 + i) = 4 − 2i で、その長さは 2√5 です。比は √5 であり、|a| と一致します。2組の対応を式へ代入しても、両方の像が指定された値に戻ります。

5. 像は 1 − 3i と 1 + i を端点とする線分で、両端を含みます。実数 t について z = -1 + 2t、0 ≤ t ≤ 1 と置くと、次の式です。

w = 2i(-1 + 2t) + 1 - i
  = 1 + (-3 + 4t)i

t = 0、1 でそれぞれ 1 − 3i、1 + i となります。逆に像の線分上の点はこの範囲の t で表せるので、すべて元の線分から到達します。元の長さ2は |2i| 倍されて4となり、求めた端点間の距離とも一致します。

要点

• az + b は、a を掛けてから b を足します。
• 対応する2点の差は a 倍され、距離は |a| 倍されます。
• a ≠ 1 なら固定点は b/(1 − a) です。
• a = 1 では b ≠ 0 の平行移動と b = 0 の恒等移動を分けます。
• 像を求めたら端点や元の対応に戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

途中点が違う場合は、i² = -1 の符号や掛け算の順を確認します。途中点は正しいのに像が違う場合は、b を実部と虚部のどちらに足すかを点の移動と照らします。固定点が違う場合は、候補を c = ac + b に戻し、さらに 1 − a が0でないことを確かめます。

個別指導では、式を変形する前に「元の2点の差がどの数倍になるか」を言葉と式の両方で説明できるかを見ます。線分の像では端点の計算に加え、範囲内の点が逆にも取れる理由を尋ねます。順序、中心、戻し方の3点がつながれば、図の位置を自分で検査できます。