高校数学B 差で与えられた漸化式—添字ごとの増分を足して初項から一般項へ進む｜武蔵野個別指導塾

増分を足す上端をn − 1にそろえ、初項を加えて一般項へ進みます。途中の項を起点にする場合や、負の増分も取り上げます。

よくあるのは、高2の高校生が漸化式の右辺の n を、増分の到着先の項番号とずらして足す場面です。aₙ₊₁ − aₙ が n で表されるとき、n は出発点の番号です。第1項から第4項に行くには、1、2、3を代入した3回の増分を使います。4を代入した増分は第5項に進むためのものです。初項と矢印を並べるところから、一般項までの道筋を作ります。

どこからどこまで進むか

差で与えられた漸化式は、例えば aₙ₊₁ = aₙ + f(n) の形で現れます。右辺の aₙ を左へ移すと、aₙ₊₁ − aₙ = f(n) です。最初から差の形で与えられる場合もあります。どちらも、自然数 n について、項から次の項へ進むときの変化量を指定しています。

問われ方には、初項と多項式の増分から一般項を求めるもの、等比の形の増分を足すもの、途中の項を起点に初項や別の項を求めるものがあります。いずれも、まず問題の漸化式がどの自然数から有効かを確認します。例えば n = 2 からしか式が与えられていなければ、a₁ から a₂ への増分はその式からは決まりません。a₁ だけで全体が決まるとは限らないのです。

一般項を求める問題では、解答の式が初期条件を満たすことと、隣り合う2項の差が元の式に戻ることを最後に調べます。数項を作って候補と一致しても、それは計算の点検です。無限に続く自然数のすべてについて成立する理由は、有限和の変形や漸化式への代入で示します。

増分の添字を読む

ここでは n を自然数とし、a₁ と、すべての自然数 k について aₖ₊₁ − aₖ = f(k) が与えられているとします。f(k) は第 k 項から第 k+1 項への増分です。増分は正とは限らず、負なら値が減り、0なら隣接する2項は等しくなります。

図1のように、a₁ から a₄ への移動には3本の矢印があります。矢印の名前を到着先ではなく出発点の番号で付けると、足す範囲は k = 1 から 3 までです。a₄ 自体を足すわけではなく、変化量を初項に加えます。

n が 2 以上なら、各差を順に足して次の式を得ます。

a₂ - a₁ = f(1)
a₃ - a₂ = f(2)
  …
aₙ - aₙ₋₁ = f(n-1)
aₙ - a₁ = Σ[k=1..n-1] f(k)
aₙ = a₁ + Σ[k=1..n-1] f(k)

左辺では途中の項が正負で消え、両端の aₙ と a₁ が残ります。和の項数は n-1 個です。n = 1 のときは移動がなく、初項を直接使います。計算後の式に n = 1 を代入して初項に一致するなら、その式を n = 1 を含む形で答えられます。和を使う時点で上端が0になる場合を、説明せずに通常の和として扱わないようにします。

途中の第 m 項から第 n 項へ進む場合も同様です。自然数 m < n なら、aₙ − aₘ = Σ[k=m..n-1] f(k) です。m = n なら移動はなく、差は0です。m > n なら、まず小さい番号から大きい番号への差を作り、符号を反転させます。上下の端を機械的に入れ替えると、どの増分を使ったかが見えなくなります。

基本例題：一次式の増分

数列が a₁ = 4、aₙ₊₁ = aₙ + 2n + 1 を満たします。n は自然数です。aₙ を n の式で求め、有効な範囲を示してください。

まず右辺から前の項を移して、aₙ₊₁ − aₙ = 2n + 1 とします。図2では、n = 1、2、3 を代入した増分が、それぞれ隣接する項を結びます。初項4に3を足して第2項、さらに5を足して第3項へ進みます。

n が 2 以上のとき、増分を第1項から第 n 項の直前まで足します。

aₙ = 4 + Σ[k=1..n-1] (2k + 1)
   = 4 + 2Σ[k=1..n-1] k + Σ[k=1..n-1] 1
   = 4 + 2・(n-1)n/2 + (n-1)
   = 4 + n(n-1) + n - 1
   = n² + 3

ここで、1から n-1 までの和は (n-1)n/2、定数1の和は n-1 です。項数を n 個にすると、次の項への増分を余分に足してしまいます。n = 1 では求めた式が 1² + 3 = 4 となり、初項に一致します。したがって答えは、すべての自然数 n について aₙ = n² + 3 です。

元の条件にも戻しましょう。候補の隣接差は次のようになります。

aₙ₊₁ - aₙ = {(n+1)² + 3} - (n² + 3)
             = 2n + 1

初項と差の両方が条件に一致します。また直接作ると a₂ = 7、a₃ = 12、a₄ = 19 で、式から得る値と合います。差が正なのでこの例では増加しますが、差の和の方法自体は減少する場合にも使えます。

標準例題：等比の増分

数列が b₁ = 2、bₙ₊₁ − bₙ = 3・2ⁿ⁻¹ を満たします。n は自然数です。bₙ を n の式で求め、有効な範囲を示してください。

n = 1 で増分は3、n = 2 で6です。第 n 項までに加える増分は、初項3、公比2、項数 n-1 の等比数列です。公比2は1ではないので、有限等比和の分母 2 − 1 は0になりません。

bₙ = 2 + Σ[k=1..n-1] 3・2ᵏ⁻¹
   = 2 + 3・(2ⁿ⁻¹ - 1)/(2 - 1)
   = 2 + 3・2ⁿ⁻¹ - 3
   = 3・2ⁿ⁻¹ - 1

この計算は n ≥ 2 で行いました。n = 1 では右辺が 3 − 1 = 2 なので初項にも合います。答えは自然数 n について bₙ = 3・2ⁿ⁻¹ − 1 です。差を計算し直すと次のとおりです。

bₙ₊₁ - bₙ = (3・2ⁿ - 1) - (3・2ⁿ⁻¹ - 1)
             = 3・2ⁿ⁻¹

初項から直接作ると 2、5、11、23 です。例えば第4項までの増分は 3 + 6 + 12 = 21 で、初項を含めて23です。初項を和に含め忘れると、増分の合計21を答えてしまいます。

増分が C・rⁿ⁻¹ の形であっても、r = 1 なら分母に r − 1 を持つ式は使えません。その場合は増分が毎回 C なので、n ≥ 2 で C を n-1 回足し、初項にも合う式 aₙ = a₁ + C(n-1) を得ます。r = 0 なら、増分列の初項を C、以後を0として別に扱えます。最初の増分の指数が0となるため、その値をどう定義するかは問題の条件を確かめます。負の公比では増分の符号が交互に変わりますが、有限和の式は公比が1でないことを確認して使えます。

発展例題：途中の項を起点にする

数列が cₙ₊₁ − cₙ = 2n − 4 をすべての自然数 n で満たし、c₄ = 10 です。c₁ と一般項 cₙ を求め、一般項の有効な範囲を示してください。

まず第1項から第4項への増分を調べます。3回の増分は順に -2、0、2 です。負や0があっても、符号を付けたまま足せば差になります。

c₄ - c₁ = (2・1 - 4) + (2・2 - 4) + (2・3 - 4)
          = -2 + 0 + 2
          = 0
c₁ = c₄ = 10

次に、n ≥ 2 について初項から増分を足します。

cₙ = 10 + Σ[k=1..n-1] (2k - 4)
   = 10 + 2・(n-1)n/2 - 4(n-1)
   = 10 + n² - n - 4n + 4
   = n² - 5n + 14

n = 1 では 1 − 5 + 14 = 10 です。よって答えは c₁ = 10、自然数 n について cₙ = n² − 5n + 14 です。与えられた途中の項に戻すと c₄ = 16 − 20 + 14 = 10 です。さらに差を取ると、(n+1)² − 5(n+1) + 14 − (n² − 5n + 14) = 2n − 4 となります。途中の条件と各段階の差の両方を満たしています。

別の進め方として、第4項を起点に n ≥ 5 なら k = 4 から n-1 までの増分を足せます。ただし n = 1、2、3 にはそのまま適用できません。初項を求めてから統一する方法は、自然数全体の式を示すときに見通しがよくなります。

ずれた答えを直す

基本例題で a₄ を求めるとき、誤って 4 + 3 + 5 + 7 + 9 = 28 としたとします。図3のように、最後の9は n = 4 の増分で、a₄ から a₅ への移動です。求めたい場所を通り過ぎています。

正しくは 4 + 3 + 5 + 7 = 19 です。式に書く前に、開始点と終点を記し、矢印の本数を数えます。第1項から第4項へは3本なので、増分の上端は3です。一般の n でも、同じ対応から上端が n-1 と決まります。

もう一つの誤りは、増分の和をそのまま一般項にすることです。増分を足して得られるのは aₙ − a₁ であり、aₙ ではありません。特に初項が0でないときは、初項を加えたかを検算できます。逆に、初項を2回足していないかも確認します。

式を整理した後に n = 1 が合わない場合は、まず初項の足し忘れを疑います。n = 1 が合っても、差が合わなければ途中の和の端や係数を調べます。条件の両方に戻すことで、初項の間違いと増分の間違いを別々に見つけられます。

増分が0になる番号があっても、その段階を飛ばして番号を詰め直す必要はありません。隣り合う項の値が等しいという情報が、0という増分に含まれています。また、負の増分を足すことは、その絶対値を引くことと同じです。符号を先に消さず、元の式のまま一段ずつ並べると、計算の向きを追いやすくなります。

練習問題

次の各問で n は自然数です。一般項を求める場合は n の式と有効な範囲を答えてください。

1. p₁ = 6、pₙ₊₁ − pₙ = 4n とします。pₙ を求めてください。
2. q₁ = -3、qₙ₊₁ = qₙ + 5 − 2n とします。qₙ を求めてください。
3. r₁ = 7、rₙ₊₁ − rₙ = 2・3ⁿ⁻¹ とします。rₙ を求めてください。
4. sₙ₊₁ − sₙ = 3n + 2、s₃ = 17 とします。s₁ と sₙ を求めてください。
5. t₁ = 8、tₙ₊₁ − tₙ = 5・(-1)ⁿ⁻¹ とします。tₙ を求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. n ≥ 2 では次のように足します。

pₙ = 6 + Σ[k=1..n-1] 4k
   = 6 + 4・(n-1)n/2
   = 2n(n-1) + 6

n = 1 でも6なので、答えは自然数 n について pₙ = 2n(n-1) + 6 です。差を取ると 4n になり、初項にも戻ります。直接作る第2項は10で、式からも10です。

2. 差に直してから足します。

qₙ₊₁ - qₙ = 5 - 2n
qₙ = -3 + 5(n-1) - 2・(n-1)n/2
   = -3 + 5n - 5 - n² + n
   = -n² + 6n - 8

和の計算は n ≥ 2 です。n = 1 で -3 に一致するので、答えは自然数 n について qₙ = -n² + 6n − 8 です。隣接差は 5 − 2n で、初項も元の条件に合います。増分の符号が変わっても同じ方法で足せます。

3. 増分は初項2、公比3です。3 − 1 = 2 は0ではありません。

rₙ = 7 + 2・(3ⁿ⁻¹ - 1)/(3 - 1)
   = 7 + 3ⁿ⁻¹ - 1
   = 3ⁿ⁻¹ + 6

n ≥ 2 で和を計算し、n = 1 で7に一致します。答えは自然数 n について rₙ = 3ⁿ⁻¹ + 6 です。隣接差は 3ⁿ − 3ⁿ⁻¹ = 2・3ⁿ⁻¹ となり、元の増分を再現します。

4. 第1項から第3項への増分は5と8です。

s₃ - s₁ = 5 + 8 = 13
s₁ = 17 - 13 = 4
sₙ = 4 + 3・(n-1)n/2 + 2(n-1)

n = 1 にも合うため、答えは s₁ = 4、自然数 n について sₙ = 4 + 3n(n-1)/2 + 2(n-1) です。n = 3 を戻すと 4 + 9 + 4 = 17 です。隣接差も 3n + 2 に戻ります。

5. 増分は 5、-5、5、-5 と交互です。公比 -1 は1でないので有限等比和を使えます。

tₙ = 8 + 5・(1 - (-1)ⁿ⁻¹)/(1 - (-1))
   = 8 + 5(1 - (-1)ⁿ⁻¹)/2

n = 1 でも8となります。答えは自然数 n についてこの式です。n が奇数なら8、偶数なら13となり、差は順に5、-5です。したがって初項と元の増分に戻ります。

覚えておくこと

• 第 k 項から次への増分は aₖ₊₁ − aₖ です。
• 第1項から第 n 項へは n-1 回進みます。
• 増分の和に初項を加え、n = 1 を別に確かめます。
• 等比和では公比が1かどうかを先に調べます。
• 得た式を初期条件と元の差に戻します。

手が止まった場所を確かめる

式を見ても足す範囲が決められないときは、いきなり Σ を書かず、最初の3本の矢印を描きます。各矢印の出発点の番号と、右辺に代入する番号が一致しているかを見ます。目的の項を通り越した矢印があれば、その増分は使いません。

和の計算が合わないときは、初項、増分の初項、増分の個数をそれぞれ別の場所に書きます。個別指導で確認する場合も、どの番号からどの番号への差を表しているかを言葉で説明できるかが手がかりです。答えが初期条件と隣接差に戻れば、添字を追った道筋まで確かめられます。