高校数学II 指数の拡張と累乗根—負と分数の指数を意味に戻して計算する｜武蔵野個別指導塾

負の指数を逆数に直し、累乗根の符号と分数の指数の条件を整理する、計算を支える指数法則です。

よくあるのは、高校生が負の指数を見て、計算結果も負の値だと思い込む場面です。例えば正の数の負の整数乗は、その数の正の整数乗の逆数です。指数の符号と、値そのものの符号は別に調べます。累乗根では偶数乗と奇数乗の違いにも注意しながら、指数を広げる意味をたどっていきましょう。

テストで式を見たときの入口

まず、ある数の累乗根を求める型があります。何乗すると指定された数に戻るかを考え、実数の範囲で答える個数と符号を調べます。平方根で慣れた感覚をそのまま奇数乗に持ち込まないことが要点です。

次に、零や負の整数、分数を指数に含む計算があります。逆数や根号の意味に戻したうえで、同じ底なら指数法則を使って整理します。指数の分母は何乗根か、分子は何乗かを表します。式の見た目が似ていても、底が負のときには正の底を前提とする分数指数の規則を無条件で使えません。

さらに、文字を含む式では、先に文字の条件を読む型があります。底が正と指定されていれば、分数指数の計算を進められます。分母に式がある場合は、その値が零にならないことも確かめます。指数関数のグラフや対数の計算には立ち入らず、ここでは数と文字の累乗を扱います。

何乗すると元に戻るか

実数 x が xⁿ = a を満たすとき、x を a の n 乗根と呼びます。ここで n は 2 以上の整数です。例えば 16 の 4 乗根は 2 と -2 です。どちらも 4 回掛けると 16 に戻ります。一方、-8 の 3 乗根は -2 です。負の数を奇数回掛けると負になり、正の数を掛け続ければ正になるので、正の数は候補になりません。

偶数 n について、a が正なら実数の n 乗根は正と負の 2 個、a が零なら 0 の 1 個、a が負なら実数の n 乗根はありません。奇数 n なら、正、零、負のどの場合も実数の n 乗根は 1 個です。偶数乗は負にならず、奇数乗では元の数の符号が残ることを使って判断します。

図1のように、指数の種類によって読む操作を分けます。負号は逆数を表し、分数の分母は根の次数を表します。ここで底 a は正、n は正の整数、m は整数です。

図1の a⁰ = 1 は、aᵐ ÷ aᵐ = 1 と指数法則の差 m − m = 0 を両立させる決め方です。a⁻ᵐ = 1/(aᵐ) も、aᵐ と掛けて 1 になるように定めます。a の 1/n 乗は、n 乗すると a になる正の数です。a の m/n 乗は、その正の n 乗根の m 乗として定めます。m が負なら、さらに逆数にします。

正の底 a、b と有理数 r、s に対して、aʳ × aˢ = a の r + s 乗、aʳ ÷ aˢ = a の r − s 乗、(aʳ)ˢ = a の rs 乗です。また (ab)ʳ = aʳbʳ です。たとえば同じ底の積では、整数指数で因数の個数を足す規則を、根と逆数にも矛盾しないように広げています。足し算 aʳ + aˢ には、指数を足すこの規則を使いません。

根号にも注意が必要です。√a は a が零以上のときの零以上の平方根を表し、√16 = 4 です。方程式 x² = 16 の実数解は x = 4, -4 で、記号 √16 の値とは区別します。文字 t が実数なら √(t²) = |t| です。t が負の場合も左辺は零以上なので、常に t とは限りません。

指数の表記を読むときは、分母と分子の役割も分けます。たとえば正の数 c の 2/3 乗は、c の正の 3 乗根を二乗した数です。同じ値は c² の正の 3 乗根としても得られます。どちらも正であり、それぞれを 3 乗すると c² になるからです。この確認は、分母と分子を入れ替えないためにも役立ちます。

一方、根号の中の積を分ける際には、中身の条件が必要です。正の数どうしの積なら、それぞれの正の平方根の積を二乗すると元の積に戻るため、積の平方根と一致します。負の数を含む式では、個々の平方根が実数として定義されるかを最初に調べます。式の外見だけで根号を分けると、実数の範囲で意味を持たない途中式を作ることがあります。

零を底とする場合も別扱いです。正の整数乗は零ですが、零の負の整数乗を逆数で定義しようとすると分母が零になります。したがって負の整数指数に零を代入できません。零乗についても、上で用いた a⁰ = 1 は a > 0 という範囲での説明です。問題の条件を確かめずに零を底として代入することは避けます。

基本例題：指数をそろえてから計算する

問題　次の値を整数または分数で求めてください。

1. 8 の -2/3 乗

2. 27 の 2/3 乗 × 9 の -1/2 乗

まず (1) を考えます。底 8 は正なので、分数指数を正の累乗根で読めます。分母 3 は 3 乗根、分子 2 はその 2 乗です。負号は最後に逆数にする指示です。

8 の 1/3 乗 = 2

8 の 2/3 乗 = 2² = 4

8 の -2/3 乗 = 1/4

図2のように、根を取る、乗数を掛ける、逆数にするという順で意味を追えます。順番を追うと、負号を答えの前に付ける誤りを避けられます。

2. ではそれぞれの根を先に求めます。27 の正の 3 乗根は 3、9 の正の平方根は 3 です。

27 の 2/3 乗 = 3² = 9

9 の -1/2 乗 = 1/√9 = 1/3

したがって、求める値は 9 × 1/3 = 3 です。指数を足せるのは同じ底の積なので、27 と 9 をそのまま見て 2/3 と -1/2 を足してはいけません。

別の確認として 27 = 3³、9 = 3² と底をそろえます。27 の 2/3 乗は 3 の 3 × 2/3 乗で 3²、9 の -1/2 乗は 3 の 2 × (-1/2) 乗で 3⁻¹ です。積は 3 の 2 − 1 乗で 3 となり、根に戻した結果と一致します。(1) も 1/4 の逆数 4 が、8 の正の 3 乗根 2 の二乗に等しいことを確かめられます。

どちらの方法を選んでも、最初に底が正であることを見てから分数指数を使います。根を簡単に求められるときは根に戻す方法、底を同じ数の累乗に直せるときは指数をそろえる方法が見通しをよくします。

文字がある式では条件を先に置く

問題　a > 0 とします。次の式を a の有理数指数を用いた形に整理し、a = 64 のときの値を根号を用いた正確な形で求めてください。

(a の 3/4 乗 × a の -1/6 乗) ÷ a の 1/3 乗

積では指数を足し、商では引きます。a > 0 なので、分母の a の 1/3 乗も正であり、零で割る心配はありません。

指数 = 3/4 + (-1/6) − 1/3

= 9/12 − 2/12 − 4/12

= 3/12 = 1/4

よって式は a の 1/4 乗です。a = 64 のとき、64 = 2⁶ なので 64 の 1/4 乗 = 2 の 3/2 乗 = 2√2 となります。したがって、この条件での正確な値は 2√2 です。

確かめるには 2√2 の 4 乗が 64 になることを使います。2√2 は正であり、その二乗は 8、さらに二乗すると 64 です。正の 4 乗根の条件に合います。

指数を通分するとき、割り算の指数も引く点が分かれ目です。分母の指数が負なら、その負の数を引くため符号は反転します。指数を計算した後も、最初の底の条件を消さずに残します。正の底という条件があるからこそ、途中の分数指数が実数として定まり、指数法則も使えます。

この例では指数を計算してから値を代入しました。逆に、先に 64 を代入して各因子を求めても同じ結果になります。64 の 3/4 乗は 16√2、64 の -1/6 乗は 1/2、64 の 1/3 乗は 4 です。したがって 16√2 × 1/2 ÷ 4 = 2√2 です。元の式に戻す確認は、指数の引き算や通分の符号を点検する機会になります。

指数が分数のときに負の底を代入したくなった場合は、いったん立ち止まります。奇数乗根なら負の数にも実数の根がありますが、それだけを根拠に正の底の有理数指数の法則を負の底全般へ適用することはできません。同じ有理数には異なる分数表示があるため、表示によって扱いが食い違わない定義が必要です。この問題の a > 0 は、そうした曖昧さを避けるためにも役立っています。

負の指数と負の値を取り違えたら

たとえば 5⁻² を -25 とするのは誤りです。指数の − は、底に負号を付ける記号ではありません。図3のように、5² = 25 を先に作り、その逆数にします。

正しくは 5⁻² = 1/5² = 1/25 です。確かめると 5² × 5⁻² = 25 × 1/25 = 1 で、指数の和が零になる規則とも一致します。-25 を使うと積は -625 となり、1 に戻りません。

似た誤りに、(-5)² と -5² の混同があります。前者は括弧の中を底として二乗するので 25、後者は 5² の前に負号を付けた -25 です。負の底を整数回掛ける計算はできますが、上の正の底に対する分数指数の定義をそのまま負の底へ広げることはできません。括弧と底の符号を書き込み、使う規則の条件を確認してください。

もう1つ、指数法則の適用範囲を確認しましょう。同じ底の商では、分母が零でないことが必要です。たとえば正の底ならその有理数乗も正なので、分母は零になりません。底の正の条件は単に冒頭に書くだけでなく、各変形が許される理由にもなっています。

また、指数の計算では括弧を省かないことが有効です。負の指数で割る場合、引く対象全体が負の数です。分数の通分をする前に「元の指数 − (分母の指数)」と書けば、負号を落としにくくなります。値を代入して確かめるときは、整理後の式だけでなく元の式の分母も計算し、零でないことを確認してください。数値が一致することは計算の点検になりますが、文字に関する一般的な等式の証明は、正の底に対する指数法則で説明します。

練習：根、逆数、指数の差を試す

次の問題は実数の範囲で考えてください。問題を先に解き、続く解答で途中式と条件を照合します。

1. 81 の 4 乗根をすべて求め、整数で答えてください。
2. 32 の -3/5 乗を分数で求めてください。
3. 16 の 3/4 乗 ÷ 4 の -1/2 乗を整数で求めてください。
4. b > 0 とします。b の -2/3 乗 × b の 5/6 乗を b の有理数指数を用いた形に整理し、b = 64 のときの値を整数で求めてください。

答えと道筋

1. 答えは 3, -3 です。3⁴ = 81、(-3)⁴ = 81 なので、どちらも元の条件を満たします。4 乗は偶数乗ですから、正の数 81 の実数の 4 乗根は正と負の 2 個です。正の根を表す記号の値と、方程式の解の個数を分けて考えます。

2. 32 の正の 5 乗根は 2 です。その 3 乗は 8 なので、負の指数により逆数を取って 1/8 です。逆数の 8 が 2³ に一致し、2⁵ = 32 となることを元の条件へ戻して確認できます。負号を答えの符号と考えると、正の底の累乗が負になるという矛盾が生じます。

3. 16 の正の 4 乗根は 2 なので、16 の 3/4 乗は 2³ = 8 です。また 4 の -1/2 乗は 1/√4 = 1/2 です。したがって 8 ÷ 1/2 = 16 です。答え 16 に除数 1/2 を掛けると 8 となり、元の被除数に戻ります。負の指数がすでに逆数を表している点と、分数で割る操作を別々に追ってください。

4. 同じ正の底なので指数を足します。-2/3 + 5/6 = -4/6 + 5/6 = 1/6 です。整理した式は b の 1/6 乗、b = 64 では正の 6 乗根 2 です。元の式でも 64 の 1/3 乗は 4、64 の 1/6 乗は 2 なので、64 の -2/3 乗 × 64 の 5/6 乗 = 1/16 × 32 = 2 です。元の積へ戻しても同じ値になります。

手元に残す要点

• 負の指数は正の指数の累乗の逆数です。
• 累乗根は偶数乗と奇数乗で符号と個数を分けます。
• 正の底の分数指数は、分母を根の次数として読みます。
• 同じ底の積は指数を足し、商は指数を引きます。

どこで止まったかを見分ける

答えが負になったとき、指数の負号を逆数に直せるかを尋ねると、記号の読み違いか計算の誤りかを区別できます。根の問題で正の値しか書けなかった場合は、負の候補を元の偶数乗に戻して試します。正の根を表す記号と方程式の解を言葉で区別できるかも手がかりです。

個別指導では、底が正である条件を示したうえで、分数の分母と分子をそれぞれ何の操作として読んだかを確認します。途中式を指しながら、積と商のどちらで指数を足し引きしたかを説明できれば、別の数や文字に変わっても自分で修正しやすくなります。指数の意味に戻れば、符号と根の選び方に根拠が残ります。途中で条件を見失ったら、最初の底に立ち返り、どの規則を使えるか確かめましょう。