高校数学I 二次不等式の連立—数直線の共通部分から境界を含む解の範囲を整理する｜武蔵野個別指導塾

二次不等式と一次不等式を別々に解き、数直線で重なる範囲を選びます。端点の等号や、文字が動くと共通部分が消える境界も確かめましょう。

高1の本人が復習中に、それぞれの不等式を解いてから、どちらか一方を満たす範囲をまとめて答える場面があります。連立では、同じ数を両方の式に代入したとき、両方の条件が成り立たなければなりません。数直線に別々に印をつけ、重なったところを拾うと、この違いが見えます。境界にある数を代入して、等号が許されるかも確認しましょう。

どんな組合せを読むか

連立の出方には、二次不等式と一次不等式を組み合わせる型、二次不等式を2つ組み合わせる型があります。後者では、解が左右に離れた2つの範囲に残ることも、共通する数が1つもないこともあります。いずれも、先に各条件を独立に解き、最後に同時に満たす範囲を選びます。

準備として、二次式を因数分解し、零になる点で数直線を区切る方法を使います。例えば (x − 1)(x − 4) は、2つの零点の間で負、外側で正です。零点では値が0ですから、不等号が > または < なら端点を除き、≧ または ≦ なら含みます。一次不等式は、負の数で両辺を割ると不等号の向きが逆になることに注意します。

「かつ」を数直線に移す

不等式の解は、それを満たす実数の集まりです。連立の解は、各解の集まりの共通部分です。たとえば x ≧ 1 と x < 4 の両方なら 1 ≦ x < 4 です。1は両方に入り、4は後者に入らないので除きます。どちらか一方に入る数を集める和集合とは条件が違います。

図1のように、上の2段に条件を分け、下に重なりだけを描きます。白丸はその点を除き、塗った丸は含みます。数直線の矢印は、その方向へ範囲が続くことを表します。図1では左側の境界と右側の境界の扱いが異なります。

端点を判定するときは、片方の図の丸だけを見てはいけません。その数がもう一方にも含まれて初めて共通部分に入ります。2つの範囲が離れていれば、間をつないではいけません。まったく重ならなければ解は空集合であり、「解なし」と書けます。1点だけが両方に含まれる場合は空集合ではなく、その数が解です。

文字式の途中で不等号を整理する場合も、変形が元の条件と同じ意味を保つかを確認します。二次係数が0になる文字を含むときは、最初から二次式と決めつけず別に調べます。以下の例では各二次係数は0ではなく、変数の範囲は実数全体です。

基本例題：一次条件で切り取る

次の連立不等式を解き、解を不等号で表してください。

x² - 5x + 6 ≦ 0
2x - 7 > 0

まず二次式の積の形を作ります。

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

零点は2と3です。2より小さい数では両方の因子が負なので積は正、2と3の間では因子の符号が異なるので積は負、3より大きい数では両方が正なので積は正です。0も許されるため、最初の条件は次のようになります。

2 ≦ x ≦ 3

次に一次不等式を解きます。

2x - 7 > 0
2x > 7
x > 7/2

図2のように、二次条件の右端3は、一次条件の境界 7/2 より左にあります。したがって重なる場所はなく、答えは解なしです。3 < 7/2 は両辺を2倍すれば 6 < 7 と確かめられます。端点の丸を塗るかどうか以前に、範囲が離れていることを見ます。

念のため元の条件に戻ると、最初の条件を満たす数は必ず x ≦ 3 です。そのような数では 2x − 7 ≦ -1 となり、2つ目の条件を満たせません。候補が存在しない理由を元の式でも確認できます。

標準例題：2つの外側を重ねる

次の連立不等式を解き、離れた範囲があればそれぞれ不等号で表してください。

x² - x - 6 ≧ 0
x² - 4x + 3 > 0

それぞれの二次係数は正です。因数分解すると、

x² - x - 6 = (x + 2)(x - 3)
x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

最初の積が0以上になるのは零点の外側で、零点も含みます。次の積が正になるのも零点の外側ですが、こちらは零点を含みません。

x ≦ -2 または x ≧ 3
x < 1 または x > 3

左側では x ≦ -2 が両方に入ります。右側では x > 3 が両方に入ります。3は最初の条件には入りますが、2つ目の式を0にするため除きます。よって答えは次のとおりです。

x ≦ -2 または x > 3

元の積に戻して確かめます。x = -2 では最初の積が0、次の積が15で、両方を満たします。x = 3 では次の積が0なので採用できません。また x = 0 は2つ目を満たしますが、最初の積が -6 なので解ではありません。離れた2つの範囲を、端点だけで結んではいけない理由です。

発展例題：文字が動く境界

実数 a に対し、次の連立不等式の解を a の値に応じて求めてください。答えは不等号または解なしで表してください。

x² - 4x + 3 ≦ 0
x > a

最初の式を因数分解します。

x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

二次係数は正で、零点も含むので、最初の解は 1 ≦ x ≦ 3 です。2つ目は a より右側です。a が区間の左端と右端のどちらにあるかで重なり方が変わります。

a < 1 のとき       1 ≦ x ≦ 3
1 ≦ a < 3 のとき   a < x ≦ 3
a ≧ 3 のとき       解なし

a < 1 なら区間の左端1も a より大きいので、区間全体が残ります。a = 1 では x = 1 が x > a を満たさないため、次の分岐に入れます。1 < a < 3 では a より右の部分が残り、3は含まれます。a = 3 では3が x > a を満たさず、3より大きい数は最初の条件を満たしません。したがって境界を含めて解なしです。

これは必要十分な場合分けです。a が1より小さい、1以上3未満、3以上の3つは互いに重ならず、実数 a を尽くします。それぞれの範囲で、書いた x は最初の閉区間内かつ a より大きく、逆に両条件を満たす x は必ず書いた範囲に入ります。例えば a = 0 では x = 1 も入りますが、a = 1 では入りません。a = 2 では x = 3 が入り、a = 3 では入りません。境界とその両側を比べると、等号の置き場所が確かになります。

誤答から、条件をもう一度読む

標準例題で、最初の解と2つ目の解をすべてまとめ、「x ≦ -2 または x < 1 または x ≧ 3」とする誤答を考えます。これはどちらかを満たす範囲を集めており、連立の条件を使えていません。たとえば x = 0 はその答えに入りますが、最初の式は -6 で、0以上ではありません。

図3のように、2つの列を別に置き、同じ場所に線がある部分を選び直します。左の境界 -2 は両条件に入り、右の境界3は2つ目から除かれます。共通部分は x ≦ -2 または x > 3 です。図3の空いた中央に数を1つ置いて元の式に戻せば、和集合の誤りを発見できます。

別の誤りは、左右に分かれた答えを -2 ≦ x ≦ 3 と書くことです。その区間は両端の外側と内側を取り違えています。積の符号を各区間の代表値で確かめ、最後に元の2条件へ戻します。境界が共通でも、一方が厳しい不等号なら、その境界は解に入りません。

境界が同じときに試すこと

2つの範囲の境界が同じ数であっても、その数を採用できるかは別に調べます。たとえば x ≦ 6 と x ≧ 6 は、両方が6を含むため共通部分は x = 6 です。一方を x > 6 に変えると、6は後者に含まれず、6より大きい数は前者に含まれないので解なしです。線の長さが見えないからといって、1点と空集合を同じにしないでください。

また、ある条件の解が実数全体なら、もう一方の解がそのまま連立の解です。逆に、どちらかの条件に解がなければ、同時に満たす数もありません。解が離れた2つの区間のときは、それぞれをもう一方と照合してから残った部分を並べます。区間をまとめる前に、端点の位置を左から順に書くと見落としを防げます。

数直線を使えないときも、候補の範囲の内側と外側を元の式で調べる方法があります。ただし代表値をいくつか代入するだけでは全範囲の証明にはなりません。零点で区切った各区間では因子の符号が変わらないことを使い、各区間の符号と端点を決めます。その後で両条件の表を重ねれば、候補に漏れがないことまで説明できます。

各段に印をつけた後は、左から右へ読み、両方に印がある部分にだけ新しい線を引きます。例えば片方が左側と右側の2つに分かれ、他方が中央の区間なら、左端側の重なりと右端側の重なりを別に調べます。片方の重なりが消えても、もう片方まで消えるとは限りません。結果を不等号で書いたら、線の端が元の条件のどちらから来たかを確認します。端点の値を直接代入すると、描いた丸の種類を式と照合できます。条件を両方満たすか、順番に確かめます。

練習：5つの重なりを探す

各問で x は実数です。答えは不等号で表し、共通部分がなければ解なしと書いてください。

1. x² − 7x + 10 < 0 と x ≧ 3 を連立してください。
2. x² + x − 12 ≧ 0 と x < 5 を連立してください。
3. x² − 9 ≦ 0 と x² − 2x − 3 ≧ 0 を連立してください。
4. x² − 6x + 8 < 0 と x ≦ 2 を連立してください。
5. 実数 t に対し、x² − x − 2 ≦ 0 と x ≧ t を連立し、t の範囲ごとに解を求めてください。

練習の答えと確かめ

1

x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)

最初の解は 2 < x < 5、次は x ≧ 3 です。共通部分は 3 ≦ x < 5 です。x = 3 では元の二次式は -2、一次条件も等号で成立します。x = 5 では二次式が0となり、厳しい不等号を満たしません。両端の扱いが元の条件と一致します。

2

x² + x - 12 = (x + 4)(x - 3)

二次条件は x ≦ -4 または x ≧ 3 です。これに x < 5 を重ねると、答えは x ≦ -4 または 3 ≦ x < 5 です。-4と3は二次式を0にし、どちらも5未満です。5は一次条件から除きます。x = 0 では二次式が -12 なので、中央の空白は解ではありません。

3

x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)

最初の解は -3 ≦ x ≦ 3、次は x ≦ -1 または x ≧ 3 です。重なるのは -3 ≦ x ≦ -1 または x = 3 です。3は両式を0にするので含みます。-1では最初の式が -8、次が0です。例えば0では次の式が -3 となり、空白部分を埋めることはできません。

4

x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)

二次条件は 2 < x < 4 です。もう一方は x ≦ 2 なので、答えは解なしです。境界2は二次式を0にし、最初の不等号を満たしません。2より小さい数では両因子が負なので積は正です。境界で触れて見えても、その点を両方が含むとは限りません。

5

x² - x - 2 = (x + 1)(x - 2)

最初の解は -1 ≦ x ≦ 2 です。これと x ≧ t の共通部分を調べます。

t ≦ -1 のとき      -1 ≦ x ≦ 2
-1 < t ≦ 2 のとき  t ≦ x ≦ 2
t > 2 のとき       解なし

t = -1 では左端 -1 も両条件に入ります。t = 2 では x = 2 の1点が残り、元の二次式は0、一次条件も等号で成立します。t > 2 では x ≧ t と x ≦ 2 を同時に満たせません。発展例題の厳しい不等号と異なり、右端で1点が残るところが分かれ目です。

手元に残す要点

連立は各条件の解を先に求め、その共通部分を選びます。 端点は両方の条件に含まれるときに限り採用します。 範囲が離れる場合、1点の場合、解なしの場合を区別します。 文字が動く場合は端点を境に分け、境界値も元の式へ戻します。

どこで止まったかを見つける

各不等式の解が正しくても最後の答えが広すぎるなら、和集合を選んでいないか、答えに入れた数を1つ元の両式へ代入してみます。個別指導では、各条件を別の段に描いてもらい、共通する点を指でたどりながら、白丸と塗った丸の理由を言葉にできるか確かめます。

途中の範囲から誤る場合は、零点で区切った各区間の代表値の符号を順に調べます。文字を含む場合は、動く境界が左端、内部、右端にある図を描き、等号の可否を元の式に戻します。解の範囲は、2つの条件を同時に通過した数の集まりです。