高校数学I 二次関数の常に正となる条件—全実数と区間内で最小値と判別式を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

判別式が正でも指定区間で正になる例から、端点と軸、等号を含む境界まで常に正となる条件を読み解きます。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、ある区間で二次関数が常に正となる条件を求め、判別式が負でなければならないと考える場面です。横軸との交点が区間の外にあれば、その区間ではグラフが横軸より上にあることもあります。どこまでの x を調べるのかを先に決めると、必要な条件が見えてきます。

何を動かし、どの範囲を見るか

問いの型は主に3つあります。全実数で正になる係数の条件を求める型、固定された閉区間で正になる条件を求める型、文字によって二次の項が消える場合も含めて調べる型です。どれも「指定された x のどれを選んでも値が 0 より大きい」という意味は同じですが、調べる範囲と式の次数は同じとは限りません。

準備として、平方完成から軸と頂点を読み、一次不等式を解けるようにしておきます。また、二次係数が 0 でない方程式では、判別式 D の符号によって実数解の個数を判定できます。ここでは判別式を、横軸との交点が全実数の範囲にあるかを見る道具として使います。最小値の位置を求めるときは、軸が指定区間の中にあるか、左右のどちらにあるかを確かめます。

「正」は 0 を含まず、「非負」は 0 以上です。たった1点でも値が 0 なら、その範囲で常に正という条件は満たしません。端点を含む閉区間では、端点で 0 になる境界も除く必要があります。

判別式と最小値の担当範囲

f(x) = ax² + bx + c で a ≠ 0 とします。全実数で f(x) > 0 となるための必要十分条件は、a > 0 かつ D = b² − 4ac < 0 です。a < 0 なら下に開くので、十分大きな絶対値の x で値が負になり、全実数で正にはなりません。a > 0 のときは上に開き、D < 0 なら横軸と交わらず、頂点も横軸より上にあります。逆に D = 0 なら頂点で 0、D > 0 なら2つの交点の間で負となります。

同じく全実数で f(x) ≥ 0 なら、条件は a > 0 かつ D ≤ 0 です。等号を許すため、頂点で横軸に接する D = 0 が加わります。a = 0 の場合はこの判定の前提から外れるので、残った一次式または定数を直接調べます。傾きが 0 でない一次式は全実数で正にはなれず、定数ならその値が正かどうかで決まります。

閉区間では別の見方が役立ちます。連続な二次関数は閉区間で最小値を取るので、その最小値が正であることと、区間の各点で正であることは同値です。上に開く放物線では、軸が区間内なら頂点、軸が左側なら左端、軸が右側なら右端で最小になります。平方の部分が軸から離れるほど大きくなることから、各位置が最小になると説明できます。

図1のように、横軸との交点があっても、対象の区間がその右側にあれば値は常に正です。D < 0 は全実数で正にするには必要ですが、区間内だけに課すには強すぎる条件です。図1の色のついた部分が判定の対象で、外側の値は区間内の条件を壊しません。

下に開く場合の閉区間の最小値は両端のいずれかです。両端の間の点の値は、それぞれの端点の値のうち小さい方以上になるためです。両端がともに正なら区間内も正で、どちらかが 0 以下ならその端点が反例になります。1点だけからなる閉区間では、その1点の値を直接調べます。

基本例題：軸と端点を分ける

実数 k について、f(x) = x² − 4x + k が閉区間 3 ≤ x ≤ 5 のすべての x で正となる k の範囲を、不等号で求めてください。

平方完成すると、次のようになります。

f(x) = x² - 4x + k
     = (x - 2)² + k - 4

二次係数は 1 で正、軸は x = 2 です。軸は区間の左側にあり、3 ≤ x ≤ 5 では x − 2 が 1 以上です。したがって平方が最も小さくなるのは左端 x = 3 です。図2のように対象の部分で左端の高さを判定します。

最小値は f(3) = 9 − 12 + k = k − 3 です。これが正であれば区間中の値も正ですから、必要十分条件は k − 3 > 0、すなわち k > 3 です。k = 3 では左端で f(3) = 0 となるため含めません。

検算として k = 4 なら f(x) = (x − 2)² で、区間内では (x − 2)² ≥ 1 です。一方、k = 2 なら指定範囲に含まれる x = 3 で f(3) = -1 です。境界の両側と境界自体を元の区間に戻して確認できました。

全実数に条件を広げた場合、D = 16 − 4k < 0 から k > 4 が必要です。しかし、たとえば k = 4 はこの判別式の条件を満たさなくても、指定区間では正です。x = 2 で 0 になるものの、その点は区間の外にあるからです。区間を読まずに D < 0 を置くと、正しい候補を落とします。

標準例題：軸が文字とともに動く

実数 t について、g(x) = x² − 2tx + t + 2 が閉区間 0 ≤ x ≤ 2 で常に正となる t の範囲を、不等号で求めてください。

平方完成すると g(x) = (x − t)² + t + 2 − t² です。軸は x = t で、t によって区間の左、内部、右へ動きます。最小値を取る場所が変わる 0 と 2 を境に場合分けします。各場合で得た答えは、最後にその場合の条件と共通する範囲に絞ります。

t ≤ 0 では軸が左端以下にあるため、最小値は左端で g(0) = t + 2 です。これが正となる条件と t ≤ 0 を合わせると -2 < t ≤ 0 です。

0 ≤ t ≤ 2 では軸が区間内にあり、最小値は頂点で t + 2 − t² です。正となる条件は次のように変形できます。

t + 2 - t² > 0
(t - 2)(t + 1) < 0
-1 < t < 2

場合の条件と合わせると 0 ≤ t < 2 です。t = 2 では軸が右端と一致し、値は 0 なので除きます。

t ≥ 2 では軸が右端以上にあり、最小値は右端です。g(2) = 4 − 4t + t + 2 = 6 − 3t が正なら t < 2 となり、t ≥ 2 と両立しません。この場合に答えはありません。

以上を合わせて -2 < t < 2 です。t = 0 では左端と頂点が重なって最小値は 2、t = 2 では右端で 0 です。さらに t = -2 では左端で 0 になり、t = -3 では左端で -1、t = 3 では右端で -3 になります。境界とその外側も指定区間で確認できます。

標準例題では軸の位置が分岐の理由でした。次は二次係数そのものが変わり、放物線という前提が成立しない値も現れます。先に次数を調べることが発展問題への分かれ目です。

発展例題：二次の項が消える境界

実数 a について、h(x) = ax² − 2ax + 3 が閉区間 0 ≤ x ≤ 4 で常に正となる a の範囲を、不等号で求めてください。

平方完成して形を整理します。

h(x) = a(x² - 2x) + 3
     = a(x - 1)² + 3 - a

まず a > 0 なら上に開き、軸 x = 1 は区間内です。最小値は h(1) = 3 − a なので、正となる条件は a < 3 です。この場合は 0 < a < 3 となります。

次に a = 0 なら h(x) = 3 です。これは二次関数ではありませんが、指定されたどの x でも正ですから a = 0 は条件を満たします。

a < 0 なら下に開き、最小値は端点の小さい方です。端点を計算すると h(0) = 3、h(4) = 8a + 3 です。a < 0 なので h(4) < h(0) となり、必要十分条件は 8a + 3 > 0、つまり a > -3/8 です。この場合は -3/8 < a < 0 です。

3つの場合を合わせると答えは -3/8 < a < 3 です。a = -3/8 では右端の値が 0、a = 3 では区間内の x = 1 で 0 です。a = -1/2 は右端で -1、a = 4 は x = 1 で -1 になり、いずれも条件を満たしません。逆に a = -1/4 では最小値が 1、a = 1 では最小値が 2、a = 0 では値が 3 です。これらは区間と式に戻した確認であり、全範囲が答えである理由は上の最小値による場合分けにあります。

間違いを図に戻す

基本例題で「D = 16 − 4k < 0 より k > 4」と答えたとします。式の計算は合っていますが、判別式が判定するのは横軸との交点が実数全体に存在するかどうかです。問題が要求したのは 3 ≤ x ≤ 5 に限った正の値ですから、範囲を取り違えています。

図3の k = 4 では、グラフは x = 2 で横軸に接します。接点は指定区間の左にあり、区間内の最小値は x = 3 で 1 です。D = 0 という事実から、区間内に 0 があると結論することはできません。

修正するときは、まず問題文の区間を数直線に書き、軸を置きます。次にその区間で最小となる点を決め、元の式へ代入して値が正かを調べます。最小値が 0 の境界は、正という条件から外します。非負と書かれているなら、その境界を含められるか改めて確かめます。

もう1つの誤りは、文字が二次係数に含まれる式で、常に上に開くとして頂点を最小値にすることです。係数が負なら頂点は最大値、0 なら頂点という扱い自体ができません。符号を分けてから、その形に合う候補を選んでください。

練習問題

答えは範囲を不等号で表してください。各問で、指定された範囲のすべての x を対象とします。

1. f(x) = x² + 2x + p が全実数で常に正となる p の範囲を求めてください。
2. f(x) = x² − 6x + q が閉区間 0 ≤ x ≤ 1 で常に正となる q の範囲を求めてください。
3. f(x) = x² − 2sx + s + 1 が閉区間 0 ≤ x ≤ 1 で常に正となる s の範囲を求めてください。
4. f(x) = b x² + 2b x + 2 が閉区間 -2 ≤ x ≤ 1 で常に正となる b の範囲を求めてください。
5. f(x) = (r − 1)x² + 2 が全実数で常に非負となる r の範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 平方完成すると f(x) = (x + 1)² + p − 1 です。全実数での最小値は x = -1 で p − 1 なので、答えは p > 1 です。p = 1 はその点で 0、p = 0 は -1 になるため、正という条件に合いません。p = 2 なら最小値が 1 で、全実数で正です。

2. f(x) = (x − 3)² + q − 9 で、軸 3 は区間の右側です。最小値は右端で f(1) = q − 5 となるので、答えは q > 5 です。q = 5 では区間に含まれる x = 1 で 0 です。q = 6 では最小値 1、q = 4 では右端の値が -1 であり、区間に戻して判定できます。

3. f(x) = (x − s)² + s + 1 − s² です。s ≤ 0 では左端が最小で s + 1 > 0 より -1 < s ≤ 0 です。0 ≤ s ≤ 1 では頂点が最小です。この区間で s + 1 − s² = 1 + s(1 − s) ≥ 1 なので、すべて条件を満たします。s ≥ 1 では右端が最小で f(1) = 2 − s ですから 1 ≤ s < 2 です。合わせて -1 < s < 2 です。s = -1 と s = 2 はそれぞれ左端と右端で 0、s = 0 と s = 1 では最小値がともに 1 です。s = -2 と s = 3 では対応する端点の値が -1 です。

4. f(x) = b(x + 1)² + 2 − b とします。b > 0 なら軸 -1 は区間内で、最小値 2 − b が正となるのは 0 < b < 2 です。b = 0 では値が常に 2 です。b < 0 なら両端を比べます。f(-2) = 2 − b、f(1) = 2 + 3b で、後者が小さいので、2 + 3b > 0 より -2/3 < b < 0 です。答えは -2/3 < b < 2 です。両境界ではそれぞれ x = 1、x = -1 で 0 になります。b = -1 なら右端で -1、b = 3 なら軸上で -1 です。

5. r − 1 > 0 なら (r − 1)x² ≥ 0 なので f(x) ≥ 2 です。r − 1 = 0 でも f(x) = 2 です。r − 1 < 0 なら、十分大きな x で値が負になります。したがって答えは r ≥ 1 です。たとえば r = 0 では x = 2 で -2 となり、全実数で非負という条件を満たしません。r = 1 は定数 2 なので含みます。

要点を手元に

全実数で二次式が常に正なら、二次係数が正で判別式が負です。 閉区間では、その区間の最小値が正かを調べます。 0 を許す非負と、0 を許さない正を区別します。 二次係数が 0 の場合は、残った式を直接調べます。

説明が止まる場所を見つける

判別式を計算できても、調べる範囲を説明できなければ、区間外の交点を反例と取り違えることがあります。式の隣に区間を書き、軸と端点の位置を指しながら、なぜその点で最小になるかを言葉にしてみてください。境界値を含めるか迷うときは、その値を元の式に戻し、指定範囲のどの x で 0 になるかを探します。

個別指導で確かめるなら、判別式の符号を求める計算だけでなく、区間の図、最小値を取る x、境界値を戻した式を並べます。係数が 0 のときの式も書き出すと、場合分けが抜けている場所を特定できます。対象の範囲を定めてから最も低い値を調べれば、常に正となる条件にたどり着きます。