高校数学I 二次不等式の二実根—グラフの上下と係数の符号から解区間を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

異なる2実根を端に持つ二次不等式で、放物線の向きと等号から解を選ぶ道筋を、根号を含む例までたどります。判断の鍵は二実根です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、二次方程式の2つの根を求めたところで「根の間はいつも正」と決めてしまう場面です。上に開く放物線なら根の間は横軸より下ですが、下に開く放物線なら根の間は上です。同じ2つの根を持つ式でも、全体の符号が逆になれば、不等式の解も入れ替わります。式が0より大きいのか、小さいのか、0を含めるのかまで読み取って選びましょう。

どの判断が問われるか

二次不等式では、左辺を0と比べる形に直し、対応する二次方程式の実数解を境目にして範囲を調べます。ここでは二次係数が0でなく、方程式が異なる2つの実数解を持つ場合を扱います。判別式が0以下の場合は境目の数や符号の変わり方が異なるので、同じ図をそのまま使えません。

問題の出方は大きく3つあります。因数分解して整数や分数の境目を求める型、平方完成や解の公式から根号を含む境目を求める型、文字を含む係数の符号を分けてから解く型です。いずれも、境目を小さい順に並べ、左辺の符号を選び、最後に等号を点検する手順は共通です。

準備として、二次方程式の解、積の符号、負の数を掛けた不等式では不等号の向きが逆になることを使います。範囲を「または」でつなぐときは、左右のどちらかに入ればよいという意味です。たとえば x < -2 または x > 5 は、間の数を含まない2つの部分を表します。

2つの根は符号が切り替わる境目

f(x) = ax² + bx + c とし、a ≠ 0、判別式 D = b² − 4ac > 0 とします。方程式 f(x) = 0 の異なる2つの実数解を小さい順に α、β とおくと、α < β です。グラフ y = f(x) は x 軸と (α, 0)、(β, 0) で交わります。図1のように、上に開くか下に開くかで、交点の間が軸の上か下かが逆になります。

図1の左では a > 0 なので、根の間で f(x) < 0、外側で f(x) > 0 です。右では a < 0 なので、根の間で f(x) > 0、外側で f(x) < 0 です。どちらも根そのものでは値が0です。図は符号を見やすくするために縦横の縮尺を変えています。

この符号は積からも説明できます。2つの根を用いると f(x) = a(x − α)(x − β) と書けます。x < α では2つの括弧がともに負、α < x < β では前が正で後が負、x > β ではともに正です。したがって括弧の積は順に正、負、正となり、最後に a の符号を掛けると図の結果になります。境目では少なくとも一方の括弧が0なので、積も0です。これは図の形に頼らない確認にもなります。

不等号が > または < なら、0となる α、β は答えに含めません。≥ または ≤ なら両方の根を含めます。たとえば a > 0 のとき、f(x) ≥ 0 の解は x ≤ α または x ≥ β、f(x) < 0 の解は α < x < β です。a < 0 では正負に対応する内側と外側が逆になります。どの記号で書くかは「根を含むか」を考えてから決めます。

範囲を選んだ後に1点を代入するときは、選んだ部分と選ばなかった部分の両方から点を取ると、取り違えを見つけやすくなります。ただし、1点の値が合っただけでその部分のすべてを証明したことにはなりません。2つの根の間や外側では、それぞれの括弧の符号が変わらないことを合わせて説明します。

右辺に0以外の式があるときは、先に左辺へ移して0と比べます。移項後の最高次の係数を見落とすと、もとの見た目から開き方を誤ることがあります。また、解を求める方程式に異なる2実根がなければ、この節の3つの区間に分ける方法は使えません。判別式と二次係数を調べた結果に応じて、問題の式から判断をやり直します。

基本例題：整数の根を境にする

次の不等式を解き、解の範囲を不等号で表してください。

x² − 2x − 8 ≤ 0

まず左辺が0となる方程式を解きます。積が -8、和が -2 となる2数は -4 と 2 です。

x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 または x = -2

小さい順に並べると -2、4 です。二次係数は 1 > 0 なので放物線は上に開きます。図2のように、横軸より下にあるのは -2 と 4 の間で、2つの交点では値が0です。縦横の縮尺は異なります。

求めるのは0以下なので、下にある部分と交点を合わせます。答えは -2 ≤ x ≤ 4 です。0を含む記号だから端点を入れるのであり、「根の間」と言っただけでは端点を入れるか決まりません。

元の式へ戻して確かめます。端の x = -2 と x = 4 では、順に 4 + 4 − 8 = 0、16 − 8 − 8 = 0 です。間の x = 0 では -8 < 0 です。一方、外側の x = -3、x = 5 ではそれぞれ 7 > 0、7 > 0 です。これらの代入は端と各部分の符号の確認です。部分全体の符号は、前節の積の符号によって保証されます。

標準例題：根号を含む境目

次の不等式を解き、端点を根号のまま不等号で表してください。

2x² − 4x − 3 > 0

係数 2 は0ではなく、判別式は (-4)² − 4・2・(-3) = 40 > 0 です。したがって異なる2実根があります。平方完成すると、次のようになります。

2x² - 4x - 3 = 0
2(x² - 2x) - 3 = 0
2{(x - 1)² - 1} - 3 = 0
2(x - 1)² - 5 = 0
(x - 1)² = 5/2
x - 1 = ±√10/2
x = 1 ± √10/2

(√10/2)² = 5/2 ですから、根号を小数に直す必要はありません。√10 は正なので、小さい根は 1 − √10/2、大きい根は 1 + √10/2 です。上に開くため、正となるのは根の外側です。等号はないので端点を除きます。

答えは x < 1 − √10/2 または x > 1 + √10/2 です。元の左辺を 2(x − 1)² − 5 と書き直せば、両端では二乗が 5/2 なので値は0です。軸上の x = 1 では -5 < 0、左右の外側にある x = -1、3 ではともに 3 > 0 です。実際に -1 < 1 − √10/2、3 > 1 + √10/2 となることは、2 > √10/2 を両辺正のまま二乗して 4 > 10/4 と確かめられます。

基本例題との違いは、端点を整数に置き換えられない点です。根号があるからといって符号の選び方が変わるわけではありません。大小の順と等号を正確に書くことが、ここでの作業です。

発展例題：係数の符号と次数低下を分ける

実数 t について、次の不等式を x について解き、t の範囲ごとに解を不等号で表してください。

(t − 2)(x + 1)(x − 3) ≥ 0

文字を含む係数 t − 2 の符号が決まらないので、図の開く向きを1つに決めることはできません。しかも t = 2 では二次式でなくなります。この値を先に分け、残る場合で2つの根 -1、3 を使います。

t > 2 のとき  t - 2 > 0
t < 2 のとき  t - 2 < 0
t = 2 のとき  t - 2 = 0

t > 2 では上に開きます。左辺が0以上となるのは根とその外側なので、x ≤ -1 または x ≥ 3 です。たとえば t = 3 のとき、x = 0 では -3 < 0、x = -2 と x = 4 ではともに 5 > 0 です。

t < 2 では下に開きます。左辺が0以上となるのは2根の間と根なので、-1 ≤ x ≤ 3 です。たとえば t = 1 のとき、x = 0 では 3 > 0、x = -2 と x = 4 ではともに -5 < 0 です。どちらの場合も x = -1、3 を代入すると積の一方が0になり、等号を満たします。

t = 2 では左辺がどの x に対しても0です。0 ≥ 0 は成り立つため、解はすべての実数です。この場合は二次方程式の2根を境にした判定を使わず、元の不等式に戻して判断します。結論をまとめると次の通りです。

• t > 2：x ≤ -1 または x ≥ 3
• t < 2：-1 ≤ x ≤ 3
• t = 2：すべての実数

標準例題は係数の符号が最初から定まっていました。発展例題では、文字の境界で式の次数まで変わるため、根を求める前に係数を調べます。t = 2 の両側と境界を別々に確かめると、どの値も取り残しません。

間違いを符号まで戻して直す

「-x² + 2x + 3 > 0 は、根が -1 と 3 なので x < -1 または x > 3」とした答案を考えます。根の計算は合っていますが、正になる範囲が反対です。左辺は -(x + 1)(x − 3) で、二次係数は -1 です。下に開くので、図3のように軸より上にあるのは根の間です。図の縦横の縮尺は異なります。

図3の x = 0 では元の左辺は 3 > 0 です。誤答の範囲はこの x を除いてしまうので、少なくとも誤りだと気づけます。修正後の答えは -1 < x < 3 です。両端では0になり、> には等号がないので含めません。x = -2、4 ではともに -5 < 0 となり、外側を除くことも確かめられます。

別の直し方として、両辺に -1 を掛けてもよいです。その際は不等号を逆向きにして (x + 1)(x − 3) < 0 とします。負号だけ消し、> をそのまま残すと同じ誤りになります。操作後の式で x = 0 を試すと -3 < 0 なので、元の式での確認とも一致します。

端点の誤りにも注意します。たとえば上の > を ≥ に変えたとき、-1 と 3 では左辺が0なので、答えは -1 ≤ x ≤ 3 です。逆に > のまま端点を入れると、条件を満たさない値を答えに混ぜます。開き方の判断と端点の判断は別々に点検すると修正しやすくなります。

練習：境目と符号を自分で選ぶ

次の5問を解いてください。各問の解は、不等号と必要に応じて「または」を用い、根号があればそのまま表してください。5問目は実数 s の範囲ごとに答えてください。

1. x² + x − 12 < 0
2. -2x² + 2x + 12 ≤ 0
3. 3x² − 12 ≥ 0
4. x² + 6x + 7 > 0
5. (s + 4)(x − 2)(x − 5) < 0

練習の答えと解き方

1. 左辺を因数分解すると (x + 4)(x − 3) です。2根は -4、3 で、二次係数は正ですから、負になるのはその間です。答えは -4 < x < 3 です。端点では積が0、間の x = 0 では -12 < 0、外の x = -5、4 ではともに 8 > 0 となり、元の条件に合います。

2. 左辺は -2(x − 3)(x + 2) です。根は -2、3 で、係数は負です。0以下となる外側と端点を取り、答えは x ≤ -2 または x ≥ 3 です。両端で左辺は0、間の x = 0 では 12 > 0、外の x = -3、4 ではともに -12 < 0 です。端点を含めることも元の ≤ で確認できます。

3. 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2) です。根は -2、2、二次係数は正です。答えは x ≤ -2 または x ≥ 2 です。両端では0、内側の x = 0 では -12、外側の x = -3、3 ではともに 15 となり、0以上の部分と一致します。

4. 平方完成すると x² + 6x + 7 = (x + 3)² − 2 です。0となるのは x = -3 ± √2 です。二次係数が正なので、正となるのは外側です。答えは x < -3 − √2 または x > -3 + √2 です。両端では (x + 3)² = 2 なので元の左辺は0です。x = -3 では -2、x = -5、-1 ではともに 2 です。2 > √2 も二乗して 4 > 2 と確かめられ、外側の代入点は答えの範囲に入ります。

5. s > -4 では係数が正なので、負となる根の間が答えで、2 < x < 5 です。s < -4 では係数が負なので、負となる外側が答えで、x < 2 または x > 5 です。s = -4 では左辺が常に0で、0 < 0 は成り立たないため解なしです。いずれも x = 2、5 では左辺が0で、厳密な不等号を満たしません。両側の確認として s = -3 では x = 3 で -2、x = 1、6 でともに 4、s = -5 ではそれぞれ 2、-4、-4 です。境界 s = -4 ではどの x でも0となり、各場合の答えに戻ります。

手元に残す4行

二次係数が0でないことと、異なる2実根があることを先に調べます。
根を小さい順に並べ、係数が正なら外側が正、負なら外側が負です。
根の間は外側と逆符号で、根では値が0です。
等号の有無を見て両端を含めるか決め、元の式へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

根を出せても範囲を選べないときは、式の係数、グラフの開き、軸の上か下かを順に言葉にしてみます。端点だけ誤るなら、根を元の左辺へ代入し、0が問題の不等号を満たすかを調べます。図は合っているのに式の範囲が逆なら、左右の外側を「または」で書けるかを確かめます。

個別指導で確かめるなら、まず本人に2つの根を数直線に置いてもらい、各部分で括弧の符号を説明してもらいます。次に係数の符号を変えたとき、同じ根のままどの部分が正になるかを図と積の両方で確かめます。文字の係数がある場合は、その係数が0となる値を元の不等式に戻せるかも見ます。根は境目であり、答えはその境目で分けた部分の符号から決まります。