高校数学I 二次関数の絶対値を含むグラフ—負の部分を折り返して水平線との共有点を数える｜武蔵野個別指導塾

負の部分の折り返しと零点を手がかりに、水平線の高さによる共有点の個数を左右するのは絶対値です。

よくあるのは、復習中に放物線の正の部分まで折り返してしまう場面です。絶対値の記号を見ると、曲線全体をひっくり返したくなるかもしれません。しかし、絶対値が変えるのは負の数の符号です。元の点の高さが正なら、その点はそのまま残ります。まず各点の高さを調べ、次に水平線との交点を数えるという順序で整理しましょう。

要点（結論から）

• 元の値が負の部分を x軸に関して折り返し、正の部分を残します。
• 零点と頂点は枝の切り替えと高さの境界を示します。
• k < 0、k = 0、k > 0 を分け、正のときは f(x) = ±k を調べます。

どんな問いに分けられるか

二次関数 f(x) に対して y = |f(x)| を扱います。二次係数は 0 でなく、定義域は断りがなければ実数全体です。問いの型は、グラフを描くもの、方程式 |f(x)| = k の異なる実数解の個数を数えるもの、個数を指定して k の範囲を求めるものに分けられます。どれも最初に f(x) の符号を調べる点は共通です。

元の放物線の零点、つまり f(x) = 0 となる x を求めます。零点は符号の切り替わりを調べる境界です。零点が2個ある場合はその間と外側を、重解の場合はその前後を調べます。実数の零点がない場合もあり、そのときは放物線全体の符号を見ます。軸や頂点の位置は、折り返した後の山の高さを読むときにも役立ちます。

方程式の解の個数とグラフの共有点の個数は対応します。異なる x の値を数えるので、2つの式が同じ x を返したときに2回数えてはいけません。特に k = 0 は、正の高さと負の高さを別に調べる方法の境界です。

高さの符号で枝を選ぶ

実数 t の絶対値は、t ≧ 0 なら |t| = t、t < 0 なら |t| = -t です。したがって、f(x) ≧ 0 の場所では y = f(x)、f(x) < 0 の場所では y = -f(x) となります。零点ではどちらの式も 0 です。境界を両方に含めて式を書くことはできますが、図の点や解は1個として数えます。

図1のように、元の点 (x, y) が x軸より下にあれば、同じ x の点 (x, -y) に移ります。x軸より上の点は動きません。折り返しは縦の座標の符号を変える操作ですから、左右の位置は変わりません。零点はx軸上にとどまり、そこで枝がつながります。

図1では下の点と上の点が同じ縦線上にあります。例えば高さが -3 の点は高さ 3 に移り、高さ 2 の点は高さ 2 のままです。軸より下の部分がなければ折り返す部分はありません。逆に元のグラフが軸より下だけにある場合は、その全体が上へ移ります。

|f(x)| は負になりません。よって k < 0 の水平線とは交わらず、k = 0 では f(x) = 0 の解を数えます。k > 0 では絶対値の定義から f(x) = k または f(x) = -k です。この2つは同じ x で同時には成立しません。したがって各方程式の異なる実数解の個数を足せます。k = 0 で同じ手順を機械的に足すと、同じ零点を二重に数えてしまいます。

基本例題：零点を境に描く

例題1　f(x) = x² − 4x + 3 とします。y = |f(x)| を、枝の式と適用する x の範囲を示して描き、y = 2 との共有点の x 座標を根号を用いてすべて求めてください。

まず二次係数は 1 で、上に開く放物線です。零点を求めるために因数分解します。

f(x) = x² - 4x + 3
     = (x - 1)(x - 3)

積の符号を調べると、x < 1 では両方が負なので正、1 < x < 3 では一方が正で他方が負なので負、x > 3 では両方が正なので正です。x = 1, 3 では 0 です。そこで枝を次のように表せます。

x ≦ 1 または x ≧ 3: y = x² - 4x + 3
1 ≦ x ≦ 3:          y = -x² + 4x - 3

境界の 1 と 3 では両式の値がともに 0 なので、曲線に切れ目はありません。平方完成すると f(x) = (x − 2)² − 1 です。元の頂点は (2, -1) であり、折り返した枝の頂点は (2, 1) です。図2のように外側の正の枝を残し、内側の負の枝だけを上へ移します。

図2の山の高さは 1 なので、水平線 y = 2 は内側の枝とは交わりません。式でも確かめます。2 は正ですから、f(x) = 2 と f(x) = -2 に分けます。

(x - 2)² - 1 = 2
(x - 2)² = 3
x = 2 - √3, 2 + √3

(x - 2)² - 1 = -2
(x - 2)² = -1

実数の平方は負にならないため、後の式に実数解はありません。答えは x = 2 − √3, 2 + √3 です。前の2値はそれぞれ (x − 2)² = 3 を満たし、元の f(x) の値は 2 です。したがって絶対値を取っても 2 となり、求める水平線上にあります。2つの値は異なります。

同じ枝の式を得た後でも、範囲を忘れて y = -f(x) を全域に描くと、外側に不要な線が残ります。どの式をどこで使うかは、式と同じくらい重要です。横軸との交点を先に打ち、頂点が元のどちら側にあるかを確かめてから曲線をつなぐと、変形の対象が明確になります。

標準例題：高さごとに個数を整理する

例題2　g(x) = x² − 6x + 5 とします。実数 k に対し、方程式 |g(x)| = k の異なる実数解の個数を、k の範囲ごとに求めてください。

平方完成と因数分解を行います。

g(x) = (x - 3)² - 4
     = (x - 1)(x - 5)

元の頂点は (3, -4)、零点は 1 と 5 です。1 < x < 5 で負なので、この部分を折り返すと、零点の間に高さ 4 の山ができます。外側の枝は上へ伸びます。水平線の高さが 0、4 を通るときに交点の数が変わると予想できますが、境界を別に計算して確定します。

k < 0 では絶対値が負にならないので 0 個です。k = 0 では g(x) = 0 となり、x = 1, 5 の 2 個です。k > 0 では次の2つを調べます。

g(x) = k  →  (x - 3)² = k + 4
g(x) = -k →  (x - 3)² = 4 - k

k + 4 は正なので、最初の式は常に異なる2解を持ちます。もう一方の右辺は、0 < k < 4 で正、k = 4 で 0、k > 4 で負です。よって後の式の解は順に 2 個、1 個、0 個です。k > 0 では2つの方程式の解が重ならないため、そのまま足します。

例えば k = 4 では、g(x) = -4 の解は x = 3 の1個です。折り返した頂点に水平線が触れるので、左右から近づく2つの交点を別々に数えません。一方、g(x) = 4 の2解は (x − 3)² = 8 を満たし、元の値は 4 です。頂点の解では元の値が -4 ですから、どの解も絶対値は 4 です。

この問題では山の高さが個数の変化点でした。標準例題で必要なのは、元の頂点と零点の位置を読み、水平線の高さを境界ごとに分類することです。頂点が x軸より上にあれば、同じ表をそのまま使うことはできません。先に符号とグラフの形を調べます。

発展例題：定義域が枝を途中で切るとき

例題3　h(x) = (x − 1)² − 4 を 0 ≦ x ≦ 4 で考えます。方程式 |h(x)| = k が異なる実数解をちょうど2個持つような実数 k の範囲を、不等号を用いて求めてください。

全実数で数えた解をそのまま採用せず、定義域に入るかを最後に調べます。零点は (x − 1)² = 4 から x = -1, 3 です。定義域内の零点は 3 で、0 ≦ x < 3 では h(x) < 0、3 < x ≦ 4 では h(x) > 0 です。端点と頂点の値は h(0) = -3、h(1) = -4、h(4) = 5 です。折り返した後の高さは順に 3、4、5 となります。

k < 0 では 0 個、k = 0 では x = 3 の1個です。k > 0 について、2つの式を解きます。

h(x) = k  →  (x - 1)² = k + 4
             x = 1 ± √(k + 4)

h(x) = -k →  (x - 1)² = 4 - k

h(x) = k の負号側は、k > 0 なら x < -1 で定義域外です。正号側は x = 1 + √(k + 4) で、下端の条件は満たします。上端に入る条件を調べると、平方根が非負であることから次のように同値変形できます。

1 + √(k + 4) ≦ 4
√(k + 4) ≦ 3
k + 4 ≦ 9
k ≦ 5

したがって、この枝の解は 0 < k ≦ 5 で1個、k > 5 で0個です。次に h(x) = -k は、0 < k < 4 なら x = 1 ± √(4 − k) の2候補です。正号側は 1 < x < 3 なので常に定義域内です。負号側が下端以上となる条件は次のとおりです。

1 - √(4 - k) ≧ 0
√(4 - k) ≦ 1
4 - k ≦ 1
k ≧ 3

k = 4 では2候補が x = 1 に重なり、1個です。k > 4 では平方が負の数になるので解はありません。以上を合わせます。

答えは 0 < k < 3 または k = 4 です。境界の k = 3 では x = 0 の高さがちょうど 3 なので端点を含めます。k = 4 では x = 1 と x = 1 + √8 が該当し、後者は √8 < 3 より 4 未満です。それぞれ元の h の値は -4 と 4 です。k = 5 では x = 4 の1個となり、端点を含んでも2個にはなりません。境界の前後だけでなく境界そのものを検算する理由がここにあります。

間違いを図と式で直す

誤答として、例題1の y = |f(x)| を全域で y = -f(x) として描く場合を考えます。図3のように、x = 0 では元の f(0) = 3 です。誤った操作では高さ -3 になりますが、|3| = 3 なので正しい高さは 3 です。絶対値の値が負になった時点で、描いた線は条件に反しています。

図3の確認点は、グラフ全体を描く前にも使えます。元の値が正の点を1つ、負の点を1つ選び、それぞれ絶対値を直接計算します。例題1なら x = 0 では 3 のまま、x = 2 では -1 が 1 に変わります。これらを通らない線は、どこかで符号か枝の範囲を取り違えています。

もう1つの誤りは、k = 0 で f(x) = k と f(x) = -k の解を足すことです。両式は同じ f(x) = 0 になるため、零点を2回数えます。原因は、k > 0 のときに限って2組が重ならないという条件を落としたことです。修正するときは k < 0、k = 0、k > 0 の3つを最初に分けます。さらに重解を2個と数える誤りには、解の式で平方が 0 になる場合を別に置き、実際の x の値を列挙して対応します。

練習：まず5問を自分で考える

以下の定義域は、指定がなければ実数全体です。座標や解は整数または根号を用いた正確な形で表し、個数は異なる実数解の個数を答えてください。

1. p(x) = x² − 2x − 3 とします。y = |p(x)| の枝の式とそれぞれの範囲、および折り返した枝の頂点の座標を求めてください。
2. q(x) = x² + 2x + 5 とします。y = |q(x)| のグラフを元の放物線と比較し、|q(x)| = 5 の解をすべて求めてください。
3. r(x) = -(x − 2)² + 9 とします。|r(x)| = 9 の解をすべて求めてください。
4. s(x) = (x + 1)² − 9 とします。|s(x)| = k が異なる実数解を4個持つ k の範囲を求めてください。
5. t(x) = x² − 4 を 0 ≦ x ≦ 3 で考えます。|t(x)| = k が異なる実数解を2個持つ k の範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1. p(x) = (x − 3)(x + 1) = (x − 1)² − 4 です。零点は -1 と 3 で、その間の積は負です。したがって x ≦ -1 または x ≧ 3 で y = x² − 2x − 3、-1 ≦ x ≦ 3 で y = -x² + 2x + 3 です。後者は y = -(x − 1)² + 4 と書けるので頂点は (1, 4) です。元の p(1) = -4 の絶対値が 4 であり、両端では両式が 0 になります。

2. q(x) = (x + 1)² + 4 ≧ 4 です。元の値は常に正なので、グラフは元の放物線と一致します。q(x) = 5 から (x + 1)² = 1、x = -2, 0 です。それぞれ q(-2) = 5、q(0) = 5 となり、元の条件に戻ります。負の値を取らないことを先に確認すれば、不要な枝を描かずに済みます。

3. 9 > 0 なので r(x) = 9 または r(x) = -9 です。前者は (x − 2)² = 0 から x = 2、後者は (x − 2)² = 18 から x = 2 ± 3√2 です。答えは x = 2, 2 − 3√2, 2 + 3√2 です。後の2値では (3√2)² = 18 なので r(x) = -9、頂点では r(2) = 9 です。3つは異なり、いずれも絶対値が 9 です。

4. k < 0 では解がなく、k = 0 では (x + 1)² = 9 の2解です。k > 0 では s(x) = k と s(x) = -k を分けます。

s(x) = k  → (x + 1)² = 9 + k
s(x) = -k → (x + 1)² = 9 - k

前者は常に2解です。後者は 0 < k < 9 で2解、k = 9 で1解、k > 9 で0解です。2組は k > 0 で重ならないので、答えは 0 < k < 9 です。この範囲では各解を代入すると s の値はそれぞれ k または -k となり、絶対値はいずれも k です。k = 9 は頂点の解が1個なので含めません。

5. 0 ≦ x ≦ 2 では t(x) ≦ 0、2 ≦ x ≦ 3 では t(x) ≧ 0 です。前半の枝は y = 4 − x² で高さ 4 から 0 まで、後半は y = x² − 4 で 0 から 5 まで動きます。各枝はそれぞれの範囲で同じ高さを重複して取りません。0 < k ≦ 4 では両枝に1個ずつ、k = 0 では共有する x = 2 の1個です。4 < k ≦ 5 では後半に1個、それ以外では0個です。答えは 0 < k ≦ 4 です。実際に2解は x = √(4 − k), √(4 + k) で、前者は 0 以上 2 未満、後者は 2 より大きく 3 以下です。元の t の値は順に -k と k になり、端の k = 4 でも x = 0 と √8 の2個です。

要点を短く

• 元の値が負の部分を x軸に関して折り返し、正の部分を残します。
• 零点と頂点は枝の切り替えと高さの境界を示します。
• k < 0、k = 0、k > 0 を分け、正のときは f(x) = ±k を調べます。
• 重なった解は1個と数え、定義域と端点に戻して確かめます。

どこでつまずいたかを見分ける

正の点まで移してしまう場合は、図を消す前にその点の元の高さと絶対値を紙に並べます。枝の式は合うのに共有点が合わない場合は、零点、山の頂点、定義域の端点の高さをそれぞれ書き出し、水平線がそこを通る場合を独立に数えます。個別指導で確かめるなら、例えば例題3の k = 3 で x = 0 が含まれる理由を、式と図の両方で説明できるかを見ると、等号と定義域の理解を区別できます。点の高さを一つずつ確かめると、折り返した曲線の形と解の個数が結びつきます。