高校受験の数学 四角形の証明—平行四辺形になる条件を選んで結論までつなぐ｜武蔵野個別指導塾

一組の対辺の等しさから何を足せば結論に届くか、対角線や合同を使ってたどる四角形の証明です。

よくあるのは、中2の生徒が四角形の一組の対辺の長さが等しいことを見つけ、そのまま平行四辺形と結論する場面です。辺の等しさは有力な手がかりですが、それだけでは形を決められません。何をもう1つ示せばよいかを条件の言葉に戻し、仮定からその条件まで道をつなぎましょう。

どこをゴールにするか

ここでは平行四辺形の性質と成立条件、対角線、長方形やひし形を扱います。相似や円の性質を使う証明は扱いません。中学校の学習指導要領では、第1学年の数と式に正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式が置かれています。

出方の1つは、平行四辺形だと与えられた図で、対辺や対角線の性質を使って線分の等しさを証明する型です。もう1つは、四角形の中に合同な三角形を見つけ、その対応する辺や角から平行四辺形であると示す型です。さらに、平行四辺形に直角や隣り合う辺の等しさを加え、長方形やひし形と判断する型もあります。

最初に問題文の「である」部分と「示せ」部分を分けます。前者が使ってよい仮定で、後者が到達したい結論です。結論を図に書き込んで眺めるのは方針を探すためには役立ちますが、証明の根拠として先に使うことはできません。結論から逆向きに必要な条件を探し、書くときは仮定から順に進めます。

性質と成立条件を取り違えない

四角形ABCDで、ABとCD、BCとDAはそれぞれ対辺です。ACとBDは対角線です。図1のように対角線の交点をOとすると、平行四辺形ではAOとOC、BOとODがそれぞれ等しくなります。つまり対角線は互いの中点で交わります。

図1のように、平行四辺形とわかっているときには、2組の対辺が平行、2組の対辺がそれぞれ等しい、2組の対角がそれぞれ等しい、対角線が互いに中点で交わる、という性質を使えます。例えばAO=OCを使う際は、まずABCDが平行四辺形であることが仮定か、前の証明で示されているかを確かめます。

反対に、四角形が平行四辺形かどうかを示すには、次のいずれかの成立条件を証明します。

• 2組の対辺がそれぞれ平行である。
• 2組の対辺がそれぞれ等しい。
• 2組の対角がそれぞれ等しい。
• 対角線がそれぞれの中点で交わる。
• 1組の対辺が平行で、その1組の長さが等しい。

最後の条件では、平行な組と等しい組が同じでなければなりません。ABとCDが平行でも、別の組のBCとDAが等しいという情報だけでは足りません。どの辺について言っているかを文字で書いて確認します。

長方形は4つの角が直角の四角形、ひし形は4つの辺が等しい四角形です。平行四辺形であることが先にわかっていれば、1つの角が直角なら長方形、隣り合う2辺が等しければひし形といえます。正方形は4辺が等しく、4角が直角の四角形です。対角線の長さが等しいか、垂直に交わるかも特別な平行四辺形を見分ける手がかりになりますが、一般の四角形に性質をそのまま逆用しないようにします。

基本例題：対角線の中点を使う

四角形ABCDの対角線ACとBDは点Oで交わっています。AO=OC、BO=ODのとき、ABCDが平行四辺形であることを証明しなさい。結論までの根拠を文章で示します。

図2のように、与えられた等しさはどちらも交点Oをはさんでいます。これは各対角線の中点が同じOであることを表します。成立条件を直接使う道と、合同な三角形から平行を示す道を比べましょう。

図2のようにOはAC上にあり、AO=OCなので、OはACの中点です。同様にOはBD上にあり、BO=ODなので、OはBDの中点です。したがって対角線がそれぞれの中点で交わっています。よって、この四角形は平行四辺形です。これが成立条件を直接使った証明です。

なぜその条件でよいかを、合同を使ってたどることもできます。△AOBと△CODにおいて、仮定よりAO=CO、BO=DOです。∠AOB=∠CODは対頂角だからです。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOB≡△CODです。対応はAとC、OとO、BとDです。

合同な図形の対応する角より、∠OAB=∠OCDです。これらは直線ABとCDに対し、直線ACが横切ってできる錯角なので、ABとCDは平行です。また、合同な図形の対応する辺よりAB=CDです。1組の対辺ABとCDが平行で長さも等しいので、ABCDは平行四辺形です。

この道では合同の式の順番が重要です。△AOB≡△CODと書くと、最初の文字同士が対応し、ABに対応する辺はCDと読めます。三角形の名前を並べる前に、等しいとわかっている辺と角を順に対応させてみます。最後にABとCDが対辺であることも元の四角形に戻って確かめます。

一歩進める：途中でできる四角形を見る

平行四辺形ABCDの辺AB上に点E、辺CD上に点Fをとり、AE=CFとします。ただしE、Fはそれぞれ辺の端点ではありません。四角形AECFが平行四辺形であることを証明しなさい。

求める四角形は元のABCDではなくAECFです。辺を順にたどると、AEの対辺はCFです。元の平行四辺形からABとCDは平行なので、それぞれの一部であるAEとCFも平行です。また、AE=CFは仮定です。したがって四角形AECFでは、1組の対辺AEとCFが平行で、その長さが等しいので、AECFは平行四辺形です。

ここで分かれ目になるのは、平行と等しい長さが同じ対辺の組にそろうかどうかです。AEとCFについて両方そろうため、合同な三角形を探さず成立条件を使えます。もし平行だけが与えられ、長さの等しさが別の辺についてしかわからなければ、この条件はまだ使えません。仮定から必要な等しさを別に導けるか、あるいは他の成立条件を満たせるかを検討します。

証明の後にもとの場面に戻ると、AEはAB上、CFはCD上にあり、ABとCDの平行から必要な平行が得られています。等しさも仮定そのものです。求める四角形の頂点をA、E、C、Fの順にたどって対辺を確かめたので、別の四角形の性質を誤って結論にしていません。

間違いを反例で止める

「AB=CDだからABCDは平行四辺形」と書いた答案を考えます。図3のように、左右が傾いた台形でも一組の対辺の長さを等しくできます。図ではAD=BCですが、ADとBCは平行ではありません。一組の対辺が等しいという情報は結論を決めるには不足しています。

図3のような反例が1つあれば、その主張を一般の四角形に使うことはできません。原因は、成立条件に含まれる2つの情報のうち、片方を落としたことです。修正するときは、等しい対辺と同じ組が平行か、もう1組の対辺も等しいか、対角線が互いに中点で交わるかを確かめます。

別の誤りとして、ABとCDが平行、AD=BCだから平行四辺形とするものがあります。図3はこの主張の反例にもなります。平行なのはABとCD、等しいのはADとBCで、組が異なります。平行な辺をABとCDと書き、その隣に等しい辺をADとBCと書けば、同じ組ではないことが見えます。足りない関係を勝手に補わず、仮定から証明できるかを調べます。

また「対角線が交わるから互いに中点で交わる」とするのも誤りです。交点があることと、それぞれの線分がそこで2等分されることは別です。AO=OCとBO=ODの両方に根拠があるかを点検してから、成立条件を使います。

長方形とひし形へ進むとき

平行四辺形の対角線について、もう少し条件を見てみます。平行四辺形で対角線の長さが等しければ長方形、対角線が垂直に交わればひし形です。前提に平行四辺形があることを忘れないようにします。例えば、一般の四角形では対角線が等しいという情報だけで4つの角が直角とはいえません。図3の台形も左右対称なので対角線は等しいですが、直角を持ちません。

対角線が垂直という情報からひし形へ進む理由も確認しましょう。平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、ACとBDが垂直だとします。△AOBと△COBは、AO=CO、OBが共通、∠AOB=∠COB=90°です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同です。対応する辺よりAB=CBとなり、隣り合う辺が等しい平行四辺形だからひし形です。直角だけでなく、AO=COを平行四辺形の対角線の性質から得ている点が要です。

逆に、ひし形から対角線が垂直であることを使う場面では、ひし形である根拠が先に必要です。結論の種類が平行四辺形、長方形、ひし形のどれかで必要な条件は変わります。問題の最後の言葉を確認し、そこに届く条件を選びましょう。

練習：条件を選んで書く

次の問題では、結論とその根拠を文章で答えてください。点は指定された辺の端点ではないものとします。

1. 四角形PQRSでPQ=RS、QR=SPです。PQRSは平行四辺形といえますか。理由も書きなさい。
2. 平行四辺形JKLMの対角線JLとKMの交点をNとします。JN=4 cm、KN=7 cmのとき、JLとKMの長さをそれぞれ整数と単位で答え、理由を示しなさい。
3. 平行四辺形WXYZでWX=WZです。この四角形がひし形であることを示しなさい。
4. 四角形EFGHでEFとGHは平行、EF=GHです。対角線EGとFHの交点をTとするとき、ET=TGであることを示しなさい。

練習の答えと確かめ方

1. 平行四辺形といえます。PQとRS、QRとSPはそれぞれ対辺であり、2組の対辺がそれぞれ等しいからです。四角形の周をP、Q、R、Sの順にたどると、示された2組がどちらも対辺であることを確認できます。隣り合う辺の等しさと読み違えないようにします。

2. 平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるので、JN=NL=4 cm、KN=NM=7 cmです。よってJL=4+4=8 cm、KM=7+7=14 cmです。答えを図の状況に戻すと、長さ8 cmのJLをNで半分にしたJNは4 cm、長さ14 cmのKMをNで半分にしたKNは7 cmです。与えられた長さに戻ります。

3. 平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいので、WX=YZ、WZ=XYです。仮定WX=WZと合わせると、WX=XY=YZ=ZWです。4辺が等しい四角形なのでWXYZはひし形です。元の仮定に戻ると、隣り合うWXとWZも確かに等しく、対辺の等しさも平行四辺形の性質と一致します。

4. EFとGHは対辺です。この1組が平行で長さも等しいので、EFGHは平行四辺形です。平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるため、交点TはEGの中点です。よってET=TGです。最初に使った平行と等しさはいずれもEFとGHについての仮定であり、最後の等しさは求められたEGについて述べています。

問題4では、対角線の性質を初めから仮定することはできません。平行四辺形と証明した後に性質を使う順序です。問題3でも、隣り合う辺が等しいという仮定だけでなく、元の四角形が平行四辺形であることを使って4辺をつなげています。どちらも、使った情報を元の問題に戻してたどることが点検になります。

手元に残す4行

仮定と結論を分け、結論に届く成立条件を選びます。
対辺の平行と等しさを使うときは同じ組か確かめます。
対角線の中点には、2本それぞれの等しさが必要です。
平行四辺形と示した後に、その性質を使います。

書き出せないときの見分け方

手が止まったら、まず四角形の頂点を順に指でたどり、対辺を2組書きます。そこで辺の組を取り違えていれば、条件を覚え直す前に図の読み方を確認できます。組は合っているのに理由が抜ける場合は、等しい辺や角ごとに「仮定」「平行四辺形の性質」「合同な図形の対応」のどれで得たかを書き添えてみます。

個別指導で確かめるなら、結論から選んだ成立条件と、仮定から得られた関係を別々に説明してもらうと、間に残る1段が見えます。保護者がお子さまの答案を見るときも、結論だけでなく、その直前の関係がどの四角形のどの辺について述べられているかを一緒に確認できます。四角形の名前と根拠がそろうと、証明の道筋は読み手に伝わります。