共通テスト数学の空間図形で直角に見えたら—見取り図と垂直条件を切り分ける｜武蔵野個別指導塾

見取り図の直角らしさを根拠と分け、内積と平面への垂直を判断する道筋をたどる空間図形。

見取り図で直角に見えても、それだけでは垂直とは決められません。問題文で与えられた条件、そこから証明した性質、まだ確かめていない見た目を分けます。ベクトルを使えるときは、対象となる2方向の内積が0かどうかも根拠になります。

直角の印が先に増えるとき

よくあるのは高2の冬、立体の図を復習していて、勝手に直角マークを書き入れていた場面です。紙の上では2本がきれいに交わって見えたため、その印を使って次の長さを出します。計算の途中は整っていても、印をつけた根拠がなければ結論は支えられません。

たとえば、底面上の点O、A、Bと、底面の外にある点Pを考えます。OAとOBは垂直、OPとOAも垂直と与えられています。ここで図のOPとOBも直角らしく見えたとして、OPとOBが垂直だと書いてよいでしょうか。答えは、与えられた2つの垂直関係だけでは決められない、です。共通のOAに対してOPとOBがともに垂直でも、OPとOB同士の角度は一定とは限りません。

図1のように、見た目から引いた線と、条件として受け取った線を分けます。矢印は根拠の有無を確認する流れです。直角に見えることは、調べる候補を見つける助けにはなりますが、垂直を証明した印には変えられません。

紙に投影した方向が垂直に見えることと、空間内の方向が垂直であることは別です。斜め方向の長さや角度が紙面で変わるため、描かれた線の角度を測っても元の立体の角度は決定しません。一方、問題文に垂直と明記された箇所や、すでに証明した箇所の印は根拠と対応させて使えます。

印が誤っていると、そこから直角三角形の定理を使う段階も危うくなります。答えが偶然合っていても、別の条件に変わると同じ式は使えません。印を消すことが目的ではなく、その印を使う前に出どころへ戻ることが目的です。

何に垂直と言ったのかを答案で追う

まず、垂直と書いた2つの対象を名前で特定します。2直線の垂直と、直線が平面に垂直であることは同じ条件ではありません。直線が平面に垂直なら、その平面に含まれる方向と直交します。しかし、平面内の1方向と直交しただけでは、その直線が平面に垂直とは言えません。

たとえばOPとOAの垂直から、OPが平面OABに垂直だと進めるのは早すぎます。平面内にはOAとは異なる方向もあります。O、A、Bが一直線上になければ、OAとOBは平面内の交わる2直線です。OPがその両方に垂直であると示せれば、OPは平面OABに垂直と判断できます。交わる2直線という条件を確かめず、同じ方向の線を2本並べても不足します。

答案を見直す際は、直角マークの隣に「与条件」「証明済み」「未確認」のいずれかを小さく記します。「証明済み」なら、どの式や定理で示したかをたどります。結論を使って同じ結論を証明していないかも確認します。未確認の印は、結果として正しいかもしれませんが、その時点で根拠にできません。

図に直角の記号がすでにある場合も、何と何の間の印かを読みます。頂点が同じでも、別の辺の間の角に読み替えることはできません。与えられた印を無視する必要はなく、対象を正しく対応させることが重要です。問題文と図に食い違いがあるように感じたら、先にその食い違いを記録し、勝手に条件を補わず確認します。

内積で候補を確かめる

座標が使える自作例で、同じ条件から異なる立体が作れることを確かめます。Oを原点、Aを(2, 0, 0)、Bを(0, 3, 0)とし、Pを(0, 1, 2)とします。長さの単位は共通とし、点の座標はそれぞれ横、奥行き、高さの順です。O、A、Bは一直線上にありません。

OAを表すベクトルは(2, 0, 0)、OBは(0, 3, 0)、OPは(0, 1, 2)です。成分ごとの積を足すと、OAとOBの内積は0、OAとOPの内積も0です。いずれも長さが0でないので、与えた2つの垂直条件を満たします。

ところがOBとOPの内積は 0×0 + 3×1 + 0×2 = 3 です。0ではないため、この2方向は垂直ではありません。見取り図をどう描いても、内積の計算による判断は変わりません。ここでは反例が1つあるので、もとの2条件からOPとOBの垂直を必ず導くことはできないとわかります。

図2のように、対象を指定し、方向を式にし、内積を計算してから結論へ進みます。数値だけを見ず、どの2本に対応する式かを残すことが必要です。

方向を逆にしたベクトルを使っても、内積の符号は変わりますが、0かどうかは変わりません。ただし、端点の引き算を混同して別の辺のベクトルを作れば、正しい判定になりません。たとえばAPを調べるならPの座標からAの座標を引き、OPの成分をそのまま使わないことが必要です。

内積が0でも、どちらかが零ベクトルなら方向を持たないため、2直線が垂直だと結論できません。点が重なっていないか、対象の直線が定まっているかを先に確かめます。式が0になったところで止まらず、その0が非零の方向同士の内積なのかを確認する手順です。

座標が与えられないときに、図から適当な座標を読み取って証明してはいけません。条件を満たす座標を置いて反例を示すことと、図の形を正確な座標として扱うことは異なります。証明には、問題の条件から座標を設定できる理由や、設定が一般性を失わない理由が必要です。設定できない場合は、与えられた垂直関係や証明済みの性質を使って進めます。

成り立つ場合と決められない場合

同じO、A、Bを使い、Pを(0, 0, 2)に変えれば、OPとOAの内積もOPとOBの内積も0です。2つの方向は平面OAB内で交わり、OPはその平面に垂直です。先のPではOPとOBの内積が3だったので、平面には垂直ではありません。両方とも最初の2条件を満たしているため、その2条件だけで平面への垂直は決まりません。

図3のように、平面内の2方向を確認できる場合と、1方向しか確認できない場合を分けます。後者では「垂直でない」と断定するのではなく、追加の条件や証明を探します。垂直な場合も、そうでない場合も残るからです。

直線同士が交わらない図では、まず問題で問われた方向を特定します。空間の直線の直交を方向ベクトルで扱う場合も、図で線が交わって見えるかどうかを根拠にしません。平面への垂直を調べる場合は、方向の直交に加え、対象となる平面が確かに定まっていることを確認します。

条件の不足を見つけた後の戻り方

演習の途中で直角の根拠が見つからないと、計算全体を最初からやり直したくなるかもしれません。まずは、その直角を初めて使った行を探します。そこより前に書いたことが問題文や証明済みの関係から導かれていれば、残せる部分があります。誤った印を用いた行には印をつけ、そこから先を条件に戻して組み直します。

たとえば、平面への垂直を示す前に、その平面内のある辺との垂直を使っていた場合を考えます。その辺との垂直自体が与条件なら、そこまでは使えます。しかし、同じ平面の別の方向にも垂直だという主張は別途調べなければなりません。根拠が足りない箇所を明確にすると、使ってよい事実まで捨てずに済みます。

逆に、与条件に平面への垂直が明記されているなら、平面内の方向との直交を毎回最初から証明する必要はありません。ただし、引いた線が確かにその平面内にあるかは確認します。平面の外にある点を結んだ線まで、同じ平面内の線として扱ってはいけません。結論を適用する対象が条件に入っているかを見ることが、短い答案にも必要です。

見取り図には、隠れた辺を破線で示すことがあります。実線と破線の違いは見える部分を区別するための表現であり、それだけで垂直の根拠にはなりません。また、紙の上で交差して見える2線が、空間でも同じ点で交わるとは限りません。点の名前と所属する面を読み直し、交点を使う推論の前に関係を確かめます。

条件が足りないときの説明

「決められない」という答えには、何が足りないかを添えると考えが明確になります。ある1本との垂直は与えられていても、平面の別の方向との関係がまだわからない、と書きます。そのうえで、条件を満たしながら結論が成り立たない例を示せれば、結論が必ず成り立つという主張を否定できます。

反例を作るときには、まず元の条件をすべて満たしているかを検査します。結論に反することだけ示しても、条件を破った図形では反例になりません。先ほどの座標の例なら、底面の3点が一直線上にないこと、Pが底面の外にあること、指定された2組の内積が0であることを順に確認します。最後に、問題にした残りの内積が0でないことを示します。

一方、1つの座標例で結論が成り立ったとしても、与条件を満たすすべての場合の証明にはなりません。その例は成り立つ場合が存在することを示します。一般に成り立つと主張するには、与条件から結論までを、特定の数値に限らず導く必要があります。この違いは、図を見て直角だと決める失敗を戻すときにも役立ちます。

時間がなく途中で止まったときは、未確認の直角を仮定として使ってしまうより、確認できた関係までを明示します。あとで見直すときは、止まった位置と必要だった方向を対応させます。数値の計算違いなのか、そもそも条件が不足しているのかを分けると、次に調べる場所が変わります。

図の印と式を往復する

答案に戻ったら、まず式から図へ矢印をたどります。内積の左側に書いた2つのベクトルを、それぞれ図の始点と終点に対応させてください。次に図から式へ戻り、直角の印が表す2方向と同じ組を計算したか確認します。両者がずれていれば、計算が合っていても求めた関係の答えにはなりません。

証明の途中で新しい点を置く場合も、その点がどの面や直線に属するかを先に記します。名前だけを書き足しても、元の垂直条件が新しい線に引き継がれるとは限りません。所属と方向が確定してから、使える性質を選びます。

確かめ問題

たとえば、点Cを原点、Dを(4, 0, 0)、Eを(0, 5, 0)、Qを(0, 2, 1)とします。C、D、Eの定める平面を考えます。CQはCDに垂直です。この条件と図の見た目だけから、CQが平面CDEに垂直だと結論できるでしょうか。座標を使って理由も答えてください。

答えは、結論できません。CDとCQの内積は0ですが、CEとCQの内積は10で、0ではありません。CQは平面内のCE方向と直交しないので、この例では平面CDEに垂直ではありません。CDとの垂直だけを根拠に平面への垂直とした場合は、平面内の別方向との内積に戻ります。計算が0になった場合は、使った端点と成分を点検してください。

さらに、同じC、D、Eに対してRを(0, 0, 6)とするとどうでしょうか。CRとCD、CRとCEの内積はいずれも0で、CDとCEは平面内の交わる2直線です。したがってCRは平面CDEに垂直です。最初の問いとは点が異なるので、前の結論をそのまま移さず、両方向を調べ直します。

根拠を持って質問する

教科書では直線と平面の垂直の定義、平面内の交わる2直線との関係、内積と直交の関係を確認します。問題の図と自分の答案を並べ、どの印を与条件から書いたか、どの印を自分で足したかを区別して持っていきます。式がある場合は、使ったベクトルの始点と終点も示します。

質問するときは「この直角はどこから言えますか」と対象の2本を指して尋ねます。平面への垂直が必要なら「平面内の何と何に垂直と示せばよいですか」と続けると、足りない条件を確かめられます。お子さまが答えを説明するときにも、図での印象と式の根拠を別々に言えるかを見てみてください。

個別指導では、印をつけた図と、条件を書き出した答案を見比べます。内積が0になった式がどの2方向を表すかを指でたどり、平面全体への結論に必要なもう一方向があるかを確かめます。根拠のない印が見つかったら、その行から条件へ戻します。

見取り図は立体の関係を考える入口です。直角らしさを候補として保ち、与条件や証明、非零ベクトルの内積で確認してから結論を書きます。平面への垂直は、平面内の方向を確かめて判断します。