共通テスト数学のよく出る公式を探す前に—問題中で定義された式を使う練習｜武蔵野個別指導塾

分母が0にならない条件と代入する量を自作例で照合し、初めて見る記号の意味へ戻る定義式の使い方。

見慣れない式が出ても、問題文がその記号の意味を定めているなら、まず定義と使える条件を読みます。入力する量を対応させ、条件を満たすと確かめてから代入します。覚えている公式を探す前に、問題の中にある手がかりを使う練習です。

よくあるのは、高3の秋、演習で問題に定義された式を見たのに、覚えていないと考えて手を止める場面です。記号の形が教科書で見たものに似ていると、思い出そうとするほど問題文の条件から目が離れます。解説を見る前に、記号の隣の文と、自分が代入しようとした量を結び直してみましょう。

定義を見落とすと何がずれるか

たとえば、2つの実数 a、b に対し、a + b が0でないとき、記号 T(a, b) を (a − b)/(a + b) と定めます。T はこの例のために作った名前です。括弧の左に入った数が a、右に入った数が b に対応します。定義を覚えていたかどうかより、この文から対応を取り出せるかが出発点です。

T(5, 3) なら a = 5、b = 3 です。和は8で0ではないため、定義を使えます。分子は5 − 3 = 2、分母は5 + 3 = 8なので、値は1/4です。この順序で書けば、分母が0でないことも計算も別々に点検できます。

図1のように、最初の数を分子と分母の両方の a に、次の数を両方の b に対応させます。片方の場所にしか代入しないと、見た目が似た別の式になります。また、引き算の順序を逆にすると符号が変わります。足し算の順序は入れ替えても同じですが、分子も同じように扱ってよいとは限りません。

名前に気を取られると、T を既知の公式の略だと思い込むことがあります。けれども、この例では右辺が T の意味を決めています。まず定義に印を付け、その直後の条件も同じ場所に囲みます。文字の読み方が不明なときは、記号そのものを暗記するより、どの量がどの場所に入るかを確認します。

答案で探したい3つの場所

答案には、定義、条件、代入した量の3か所を残します。定義は問題文から写した右辺です。条件は a + b が0でないことです。代入した量は a = 5、b = 3 のような対応です。これらがあれば、計算結果が合わないときに、どの段階から直すかを選べます。

たとえば答えが -1/4 になった場合、分子を3 − 5と書いていないか調べます。これは数の計算以前に、左右の対応を逆にした可能性があります。一方、分母を5 − 3と書いた場合は、定義自体の写し間違いです。両者をまとめて計算ミスと呼ぶと、次に見直す場所がわかりにくくなります。

途中式の数字が合っていても、条件を書かずに進んだ答案は点検が必要です。別の入力では分母が0になる場合があるからです。たとえば T(4, -4) は和が0なので、この定義では値を定められません。分子が8と計算できても、分母が0の割り算は実行できません。0を答えにしたり、分子の8をそのまま答えにしたりせず、条件に戻ります。

逆に、負の数が入ること自体は使用不可を意味しません。T(5, -3) は和が2なので定義でき、値は8/2 = 4です。符号だけを見て拒むのではなく、問題に書かれた条件を確かめます。条件に合わない場合と、条件に合うが計算の符号に注意する場合を分けることが大切です。

定義から値までの戻り道

手順を一度、紙の上でたどります。図2のように、定義を読む、入力と文字を対応させる、条件を調べる、右辺を計算する、という順番です。条件が満たされない枝では計算へ進まず、その定義では値が定まらないと記します。

まず、T(a, b) の括弧には2つの量が順に並ぶことを見ます。問題の別の場所で T(5, 3) と書かれていれば、左の5を a、右の3を b と置きます。順序があることを明示するため、式の近くに小さく a = 5、b = 3 と書いてもよいでしょう。

次に、条件の a + b にその対応を入れ、5 + 3 = 8 と計算します。8は0ではないので先へ進めます。ここで分子を計算し始めると、分母についての判断が後回しになりがちです。条件を先に調べると、計算を進めてよいかの分岐が答案に残ります。

最後に、右辺全体を (5 − 3)/(5 + 3) と書きます。分子と分母をそれぞれ計算して2/8、約分して1/4です。結果を見て違和感があれば、分子の順序、分母の演算、文字と数の対応を順に戻ります。式を最初から全部書き直す前に、誤りが生じた箇所を特定できます。

入力の順番を入れ替えた T(3, 5) も比べます。和は同じ8で条件を満たしますが、分子は -2 となり、値は -1/4です。右辺の分子に引き算があるため、順番は結果に関わります。名前の形が同じでも、括弧内の位置を入れ替えてよいかは定義を使って調べます。

値を求める問いでなく、入力の候補を判断する問いでも、同じ順番を使えます。条件を満たす候補には定義を適用し、満たさない候補は計算の前で止めます。条件を満たすことと、求められた値になることは別の判定です。前者に通った候補でも、後者の計算を省くことはできません。

条件が満たされない枝と確かめ問題

図3のように、和が0でない入力は定義式へ進み、和が0の入力はそこで止まります。止まった理由は、記号を知らなかったことではなく、この定義の条件を満たさないことです。定義が変われば判定も変わるため、別の問題ではその問題の文を読み直します。

ここからは別の定義で練習します。実数 x に対して、x が2でないとき、P(x) = (x + 1)/(x − 2) と定めます。次の問いを解き、答えの理由も書いてみてください。

1. P(6) の値を求めてください。
2. P(2) はこの定義で値が定まりますか。
3. P(x) = 2 を満たす実数 x を求めてください。

答えは順に 7/4、定まらない、x = 5 です。1は6が2ではないので代入でき、(6 + 1)/(6 − 2) = 7/4です。2は入力が条件に反し、分母も0になります。3は x が2でないことを前提に、x + 1 = 2(x − 2) と変形します。整理すると x = 5 です。5は条件を満たし、元の式に入れると6/3 = 2なので、解集合は5を要素とする集合です。

1で5/4にした場合は、分子の x + 1 に戻り、加える数を確認します。2で0と答えた場合は、分母が0の割り算を値として扱っていないかを点検します。3で x = 2 が出た場合は、変形途中だけでなく、最初の条件と元の式に戻ります。条件を満たす候補か確かめることで、途中の計算と答えの妥当性を区別できます。

問題文を読み落として条件が見つからない場合は、勝手に条件を補う前に、記号が初めて現れる文の前後を探します。別の記号の条件を移してはいけません。定義と条件の位置が離れていたら、矢印や短い言葉で対応させてから計算します。条件がどうしても判別できないときは、推測した結論を確定せず、その文を持って質問します。

読み違えたときの小さな点検

定義の文を見つけても、どの範囲に条件がかかるのか迷うことがあります。そこで、記号の名前、入力、条件、右辺を別々に書き出します。名前は計算の命令そのものではなく、定義で決まった操作を呼ぶための印です。入力はその操作に渡す量であり、右辺は入力から値を作る規則です。条件はその規則を使ってよい範囲を示します。

条件と右辺を混同すると、条件の計算結果をそのまま答えとしてしまうことがあります。最初の T の例なら、和が8であることは使用可能かを判断するための結果です。求める値は分子を分母で割った1/4です。途中で出た8は必要な情報ですが、問いが求めた値とは役割が異なります。答案に「条件」と「値」と書き分けると、途中の数を取り違えにくくなります。

また、式の中に同じ文字が複数回現れるときは、その文字に同じ入力を入れます。片方を入力で置き換え、もう片方を文字のまま残すと、何を計算しているかが曖昧になります。先に文字と数の対応を書き、その後で右辺の各場所に印を付けてから置き換えると、代入漏れを発見できます。途中の式を省いた場合も、頭の中で各場所をたどって確認します。

計算の途中で分母が0になったときには、いったん筆を止めます。入力を取り違えたために0になった可能性と、正しく代入した結果として条件を満たさなかった可能性があるからです。元の入力へ戻り、左右の順序と符号を確認し、それでも0なら、この定義では扱えないと判断します。約分を試して0を消したつもりになっても、元の定義の条件が変わるわけではありません。

時間をかけても式の意味がつかめないときは、答えを予想して埋めるより、見つけられた部分を残します。たとえば、条件の文に線を引き、どの文字に何を入れるかを書きます。その上で「条件の判定まではできたが右辺への代入で迷った」と記せば、後で解説を読むときに必要な箇所を探せます。何も書かずに止まった場合も、定義文へ戻ることから再開できます。

解説の式が自分の式と異なって見える場合は、すぐに自分の考えを消さず、同じ入力と条件を扱っているか照合します。約分や式変形によって見た目が違う場合もあれば、入力の順番が違う場合もあります。両方を元の定義に戻して比較すると、見た目の差と意味の差を分けられます。条件を満たさない入力で変形後の形だけを使っていないかも確かめます。

練習後には、正解した場合にも、条件を確認した位置を見直します。たまたま分母が0でなかったので計算できた答案と、先に条件を判断した答案は、次の入力に対する準備が違います。誤答の場合は、訂正した答えの横に「定義の写し」「対応」「条件」「計算」のうち戻った箇所を書きます。次に同じ形を見たとき、公式名を探す代わりに確認箇所を選べます。

別の問いへ進む前に、入力の順序を声に出して読み直す方法もあります。左の数を最初の文字、右の数を次の文字へ入れると説明し、書いた式と一致するかを見ます。言葉では合っていても式が逆なら、代入の行を修正します。言葉の説明ができない場合は、計算を速く進める前に定義文の括弧を見直します。

定義の条件は、答えが出た後の確認にも使います。条件を先に満たしていたことを確認し、最後の値が元の式の計算と一致するかを調べます。方程式を解く問いでは、得られた候補が条件に合うかを再度調べ、元の式に代入します。計算の途中で生まれた候補を、そのまま答えとして採用しないためです。

自分で点検する際は、式を覚えていたかという感想だけで終えず、問題文のどの記述を使えたかを振り返ります。定義を見つけられたが条件を飛ばしたなら、次の演習では条件の印を先に付けます。対応は合っていて計算で止まったなら、分子と分母を分けて書きます。つまずきの場所に応じて、次に試す動作を1つ決めます。

条件が複数ある問題では、それぞれを分けて調べます。条件の一部を満たしただけで先へ進まず、問題文に書かれた範囲を順に照合します。判断が難しい条件には印を残し、その意味を教科書や授業で確かめます。

質問するときに持っていくもの

教科書では、文字式の代入や分母が0になる場合の扱いを確認できます。演習の紙には、定義が書かれた箇所と、自分が文字に対応させた数を残しておきます。「この数を右側の文字に入れた理由は合っていますか」と聞けば、答えだけを教わるより、対応の段階から見直せます。

計算結果が異なる場合は、分子と分母を別々に計算した行を見せます。問題の定義を写す段階で違ったのか、条件を調べる段階で違ったのか、代入後の計算で違ったのかを分けて尋ねます。お子さまと答案を見るときも、正誤の印だけでなく、どの文を使ったかを指でたどると話が具体的になります。

個別指導では、問題文の定義が載った紙と、途中式を書いた紙を並べて見比べます。文字と入力の対応に線を引き、条件を調べた行があるかを確認します。間違いがあれば、答えを先に書き換えず、ずれた位置からもう一度進めます。

見慣れない記号に出会ったら、まず問題文が与えた意味を拾います。成立条件を通った量を、定義された場所へ代入することで、その式を使えます。