共通テスト数学の計算が合った気になる—特殊な値の代入だけでは見抜けない式変形｜武蔵野個別指導塾

0で一致する二つの式を比べ、一例の一致から踏み込みすぎない代入の落とし穴をたどります。

ある値を代入して両辺が一致しても、式変形が常に正しいとは限りません。一致しない値が1つ見つかれば、同じ範囲のすべての値で等しいという主張は否定できます。一方、一致した値を何個か見つけても、それだけでは恒等式の証明にはなりません。変形の前後の差や、各段階で使った規則に戻って確かめます。

よくあるのは、高3の夏、自分の式に0を代入して正しいと決めたあと、解説と食い違った日です。展開した結果をもう一度計算し直す前に、元の式と自分の答えに0を入れると、両方とも同じ数になりました。その一致は事実ですが、文字が表せるほかの値でも一致するという結論は、まだ得られていません。食い違いの原因を探すには、一致したことと、確かめ終えたことを分けます。

0で同じになっても消えない差

たとえば実数 x について、元の式を x(x + 2)、変形後の候補を x² + x とします。正しく分配すると x(x + 2) = x² + 2x です。ところが、かっこ内の2に x を掛けるところで係数を落とすと、候補の x² + x になってしまいます。

図1のように、x = 0 では元の式も候補も0です。これを見て「元の式と候補は同じ式だ」と判断すると、失われた x の項を見逃します。0を掛けると、その項の違いが表に現れないからです。値が一致したことは計算で確認できますが、そこから言えるのは、0における値が一致したということまでです。

たとえば x = 1 では元の式は3、候補は2です。両者に同じ値を入れて違う結果になったので、実数全体で同じ値をとるという主張は成り立ちません。この1は主張を崩す反例です。反例にするには、代入する値がもとの式の扱う範囲に含まれ、両方の式がその値で定義される必要があります。

数値の照合に意味がないわけではありません。異なる値が出たときは、等しいという主張か、代入後の計算の少なくとも一方に問題があります。代入後の計算も確かめたうえで、前後の式が異なると判断できます。逆に一致したときは、間違いがないと確定するのではなく、その値では違いが現れなかったと記録します。

答案のどの等号が主張を広げたか

式の途中に等号を書いたとき、その等号は単に左辺と右辺の見た目をつなぐ記号ではありません。対象としている値の範囲で、左右が同じ値を表すという関係を置いています。問題に x の値が指定されているならその値での等しさ、文字を動かして使う変形なら対象範囲での等しさを考えます。何を確かめたいかによって、必要な根拠が変わります。

上の例では、x = 0 を入れる点検が、文字を含む式の変形全体の点検にすり替わっています。自分の答案に「0で合う」と書いたとしても、その記録を「いつでも合う」と読み替えることはできません。解説と答えが違うときは、最後の数字から推測するだけでなく、元の式から隣り合う行へ順に戻ります。

元の x(x + 2) の x は、かっこの中の x と2の両方に掛かります。候補を書いた行では、最初の積 x・x は x² ですが、次の積 x・2 を x としていないかを見ます。正しい積は 2x です。後の行をいくら整理しても、この係数の欠落は元に戻りません。違いが初めて現れた等号の左右を狭く見れば、規則のどこを使い損ねたかが言葉になります。

似ているようで別の判断もあります。方程式 x(x + 2) = x² + x を解くなら、両辺の差が0になる x を探します。差は x なので解は x = 0 です。この方程式が0で成立することと、両辺が実数全体で恒等的に等しいことは別です。問題が「ある値を求める」のか、「式を変形する」のかを取り違えないようにします。

解説の式が自分の式と違って見えても、すぐに一方を誤りと決める必要はありません。形が違っても展開や因数分解で同じ式を表す場合があるからです。ただし、数値の一致だけで同じだと認めるのでもありません。両者を同じ規則で整理し、差がどうなるかを確認します。

差を作ってから各行へ戻る

図2のように、まず比較する2つの式を明記し、同じ値で定義される範囲を押さえます。ここではどちらも実数の x について定義されています。続いて元の式から候補を引き、分配法則を使って整理します。x(x + 2) − (x² + x) = x² + 2x − x² − x = x です。

差が x という式になったので、x = 0 では差が0になり、x = 1 では差が1になります。差が0でない値を1つ示せば、全実数で等しいという主張に対する反例になります。図2の矢印は、差を出した後に具体的な値で検算する向きです。差が0でないという判定は、どちらからどちらを引いたかにかかわらず同じですが、差の符号を追うなら引く順序を固定します。

差が0という式に整理できた場合はどうでしょうか。両方の式が同じ範囲で定義され、その範囲の任意の値について成り立つ規則を使って差を0にできたなら、その範囲では両式は等しいといえます。大事なのは、0という結果を書いたことだけでなく、そこまでの各等号が正当かどうかです。1つの値を代入して差が0になった場合とは、根拠が違います。

差を整理している途中で不安になったときは、差の計算にも同じ点検を使います。マイナスの後ろにあるかっこを外す際、各項の符号が反転しているか。分配の際、かっこ内の項を落としていないか。元の2式を別々に展開してから引くと、どちらの操作で迷ったかを特定しやすくなります。間違った差から選んだ数値は、反例である保証がありません。

具体的な代入をするときは、左右の計算を別々に書いて比べます。差の式から結果を予想し、その予想だけを両辺に書き込むと、差を求めた際の誤りを見逃しかねません。元の式から3、候補から2をそれぞれ計算できれば、差の式に1を入れた結果ともつながります。3つの結果が食い違えば、差の整理か代入計算のどちらかに戻る場所があります。

一致する値が複数あっても、同じ理由で結論には注意が必要です。どの値を試したかは点検の記録になりますが、試していない値まで自動的に覆うことはできません。特定の種類の式について追加の条件から結論を導く方法はありますが、その条件を示さずに、数個の一致を恒等式の証明として扱わないことが肝心です。

定義されない値では比較を止める

分母がある式では、代入の前にその分母が0にならないかを見ます。たとえば (x² − 4) / (x − 2) と x + 2 を比べます。前者は x = 2 では定義されません。x² − 4 = (x − 2)(x + 2) と因数分解し、x − 2 が0でない範囲では約分できるため、x が2以外の実数なら両式の値は等しくなります。

図3のように、x = 2 を入れる枝では、左側の値を計算できないため、一致とも不一致とも比べません。右側に2を入れて4になることは、左側にも4を代入できる根拠にはなりません。約分後に消えた分母の条件を、元の式から引き継ぎます。

この例で「2を代入できないから両式は常に違う」と結論するのも早すぎます。どの範囲で比べるかを定め、共通に定義される範囲について等しさを考える必要があります。元の分数式を全実数で定義された式のように扱うことはできず、2以外という条件を付ければ、約分で等しさを示せます。

値を試す途中で計算が複雑になった場合も、無理に暗算で結論を出さず、代入前の式と代入後の各項を書き残します。途中までの値が一致したというだけでは、その点ですら最終値の一致は確認できていません。計算を続けられないときは未判定として残し、扱いやすく、しかも両式が定義される値を選び直します。条件外の値を選んだ場合も、判定を保留して共通の定義域へ戻ります。

別の式で確かめる

次の問題は、ここまでの式とは別に作った練習です。実数 t について、A = (t − 3)(t + 3)、B = t² − 6 とします。t = 0 を両式に代入して結果を比べてください。また、A と B が実数全体で恒等的に等しいかを、差を整理して判断してください。等しくないときは、両式が定義される具体的な値で結果も確かめます。

解答は、t = 0 で A = -9、B = -6 です。したがってその値で既に一致せず、両式は実数全体で恒等的に等しいとはいえません。差を整理すると A − B = (t² − 9) − (t² − 6) = -3 です。任意の実数 t で差が -3 なので、実数の範囲には一致する値がありません。ここでは両式がすべての実数で定義されることも確認できます。

もし差を0としたなら、後ろのかっこを外すときの -6 の符号に戻ります。もし A の定数項を -6 としたなら、(t − 3)(t + 3) の定数どうしの積を見直します。t = 0 で両方を同じ数にしてしまった場合は、それぞれの式に代入した行を分けて書き、途中の値を混ぜていないか調べます。反例の値が見つからなくても、差の整理が正しいか点検する道は残っています。

別の問いとして、ある方程式の解を確かめるときは、得られた候補を元の方程式に戻します。その候補が解かどうかの確認は、文字を含む左右の式が恒等的に等しいかの確認とは目的が違います。候補を戻して成立すればその候補についての証拠になり、ほかの候補がないことは導出の過程や別の検討で支えます。

点検が途中で止まったとき

差の整理を始めたものの、式が長くなってどの行から誤ったかわからなくなることがあります。その場合は、完成した差を最初から書き直す前に、元の式と候補を別々の行で展開します。各項が元のどの積から生じたかをたどり、最後に同じ種類の項を集めます。途中の行が抜けているなら、その空白に必要な積を書き足すことで、係数の取り違えと符号の取り違えを区別できます。

代入を計算機などで確かめるときも、表示された値の一致だけを最終判断にしません。入力した式のかっこと符号を紙の元の式と照合し、分母がある場合は代入できる値かを先に確認します。入力が途中で切れた、表示が読めない、道具が動かないといった場合は、その結果を一致の証拠にせず、紙に代入した式を残して計算し直します。途中で時間が足りなくなった場合も、確かめられた範囲と未確認の行を分けて残します。

たとえば差の式を出した後、元の2式に代入した結果と差の値が合わない場合は、どちらかの計算に誤りがあるかもしれません。差を求める過程、元の式への代入、候補への代入をそれぞれ見直します。元の式を写し間違えたまま両方を比べても、もとの問いについての判定にはなりません。比較対象を確定できないときは、問題文と自分の答案を照合してから再開します。

自分の等号を持って聞く

教科書を開くときは、分配法則や因数分解の例で、等号の左右がどの操作で結ばれたかを追います。公式の形だけを覚え直すより、自分が係数を落とした行と、教科書で各項に掛けている行を並べると、質問する場所が具体的になります。分母を含む式なら、約分の条件も元の式に戻って確認します。

先生に尋ねる際は、元の式、自分が書いた変形、代入して一致した値を一緒に示します。「この値では合いましたが、どの等号が任意の値でも成り立つと言えるのか迷っています」と伝えれば、答えだけでなく判断の根拠を相談できます。差を作った途中で止まったなら、止まった行まで持っていき、符号や定義域のどちらが不安かを添えます。

お子さまの答案を見るときも、最後の数値だけで正誤を判断せず、等号の前後にどんな操作をしたのかを尋ねてみてください。説明が途中で止まれば、その行が教科書に戻る目印になります。すぐに言葉にできなくても、元の式と候補を並べるところから始められます。

個別指導の場では、自分の答案と教科書の該当箇所を並べ、代入で確かめた事実と、変形の規則で示した事実を区別します。講師と各行を指しながら、どの値を比較できるか、係数や符号がどこから来たかを言い直します。解説を写す前に疑問のある等号を示すと、次に自分で確かめる場所が明確になります。

特殊な値での一致は、式の正しさを考える入口です。反例があれば主張を退け、反例が見つからなければ変形の根拠へ戻る。この区別が、一例の一致を恒等式と取り違える誤りを防ぎます。