共通テスト数学を誘導なしで解き直す—補助の式を隠した練習で確かめること｜武蔵野個別指導塾

面積を表す式を一度隠し、何を文字で置き直すかから終点へつなぐ練習を、補助式の目的でたどります。

補助式を隠して解き直す練習では、式を暗記して再現することより、その式が何を表し、次の問いにどう役立つかを言えるか確かめます。最初は元の文や解説を読んで構いません。途中で止まったら隠した部分を開き、必要な情報と操作を結び直します。

高3の冬、解説を閉じたら途中の補助式を何のために作ったか説明できなかった夜を考えてみます。計算の行は見覚えがあるのに、問題のどの条件からその行へ進んだかが思い出せません。答えにたどり着けなかったことだけを記録すると、式を立てるところで止まったのか、立てた式を使うところで止まったのかが区別できません。そこで、元の文を確認した後に補助式の行だけを覆い、どこから先に進めなくなるかを調べます。

式が見えているときに抜けるもの

たとえば、周の長さが20 cmの長方形について、面積の最大値を求める自作の問題を考えます。縦と横の長さはどちらも正とします。横を x cm と置くと、縦は 10 − x cm です。横だけで縦が決まるのは、周の条件から縦と横の和が10 cmとわかるためです。ここで面積を S cm² とすれば、補助式 S = x(10 − x) ができます。長方形なので x の範囲は 0 < x < 10 です。

図1のように、周の条件と面積の問いの間には、縦を横で表す操作があります。解説で S = x(10 − x) が最初から目に入ると、この操作を自分で選んだように感じることがあります。しかし、式を隠すと「横と縦の2つがわからないまま、何を掛ければよいか」と迷うかもしれません。迷った場所は知識の不足を決めつける材料ではなく、次に確認する場所です。

この例の補助式は、周そのものを計算するための式ではありません。周の条件を使って2つの長さを1つの文字で表し、面積という求めたい量へ渡す役割を持ちます。縦と横の和が10であることと、面積が縦と横の積であることは別の関係です。両者を区別しないまま「10を掛ける」と進めば、縦の長さを 10 − x にした理由が抜け落ちます。

式を見た状態で変形を追えることにも意味があります。平方完成の計算や、最大値に至る道筋をたどれるからです。ただし、それだけでは、問題文から補助式を作る段階が確かめられません。式を隠す練習は、すでに読んだ解説の価値を否定するためではなく、見えていた橋を自分の言葉でもう一度渡れるかを調べるために使います。

答案のどこで止まったかを分ける

解き直しの紙には、隠す前に問題の条件と最終的に求めるものを残します。周が20 cmであること、縦と横が正であること、面積の最大値を問われていることは消しません。これらまで覆うと、覚えているかどうかの試験に変わり、補助式の役割を点検しにくくなります。解説の行だけを紙で覆い、問題自体は読み直せるようにします。

止まる位置は少なくとも3つに分けられます。最初に、文字を何に置けばよいか決められない場合があります。次に、横を x と置けても、縦を 10 − x と表す根拠がつながらない場合があります。さらに、面積の式まで作れたのに、最大値を求めるための変形へ進めない場合もあります。いずれも同じ「解けなかった」ですが、戻すべき情報が違います。

文字を置けないときは、何を求めるかに関係する量を問題文から拾います。縦と横のどちらを文字にしても構いませんが、置いた文字の意味と単位を紙に残します。もう一方の長さが出ないときは、周の式 2x + 2y = 20 を書き、和が10になることを確かめます。最大値の操作で止まったときは、面積の式が作れていることを認めたうえで、二次式を平方完成する手順へ戻ります。

形が似ている式でも役割は同じとは限りません。周を表す 2x + 2y = 20 は条件を表し、S = x(10 − x) はその条件を反映した面積です。前者から後者に進む途中で y = 10 − x を使っています。式を1行ずつ写して正しく並べられても、どの量を減らして何を計算できるようにしたかを説明できなければ、誘導の役割はまだ曖昧です。

答えが合った場合も、途中を見ます。たまたま正方形を思いつき、面積が25 cm²と出せた場合、その値を実際に取れることは示せます。しかし、ほかの長方形でそれより大きくならない理由は別に必要です。直感で候補を見つけることと、最大であることを示すことを分けて記録します。

隠した行へ戻るための手順

まず問題文を読み、与えられた条件と求める量を別々に書きます。この例なら「周が20 cm」「面積の最大値」です。次に、縦横を独立に置いたままでは面積 xy に2文字が残るので、周の条件から一方を他方で表す方針を立てます。ここで必要なのは、解説の文字と同じ文字を選ぶことではありません。選んだ文字で条件と面積が矛盾なく表せることです。

図2のように、条件、長さ、面積、最大値の順につなぎます。周の式から y = 10 − x とし、S = x(10 − x) に代入します。展開して平方完成すると S = -(x − 5)² + 25 です。平方は0以上なので、S は25以下です。x = 5 は 0 < x < 10 を満たし、そのとき縦も5 cmです。したがって最大値は25 cm²で、候補を実際に取れることまで確かめられます。

この手順では、式の途中を再現するたびに「この行で何が減り、次に何が可能になるか」を短く言います。y を消す行では、面積を1文字の式にすることが目的です。平方完成の行では、面積が25を超えない理由を見える形にすることが目的です。単に「公式を使う」とだけ書くと、問いとのつながりが残りません。

自分の答えが S = 10x になったときは、最終行からやり直す前に、その10が何を表すかを調べます。10は縦と横の和であり、縦そのものではありません。たとえば x = 4 なら縦は6で、面積は24 cm²です。10x では40になり、元の条件に合う長方形の面積と一致しません。この1つの確認は誤りを見つける助けになりますが、別の値で一致したとしても、それだけで式が常に正しい証明にはなりません。

もう一つのつまずきは、平方完成後に x = 5 を書くだけで、条件へ戻らないことです。式の頂点が見つかっても、問題で許される範囲に入っているとは限りません。この例では5が範囲内にあり、両辺の長さが正です。範囲外なら、頂点の値をそのまま答えにはできず、与えられた範囲に戻って考えます。端が含まれない場合には、近づける値と実際に取れる値も区別します。

隠した状態で進めなくなったら、まず問題文の条件を読み直します。それでも進まなければ、隠した行のうち直前の1行を開き、その行が何を表すかを自分で言います。式だけ写して先へ進むのではなく、隣に「周から縦を表した」など役割を添えます。さらに理由が不明なら解説を開き、問題文のどの条件を使ったかに印を付けます。

開いた後は、同じ行をもう一度覆い、直前に戻って再現を試します。すぐに再現できなくても、そこで解説を見直した事実と、最後に自分で説明できた地点を残せます。次の機会に、問題文からその地点までを短く説明できるかを確かめれば、答えの暗記とは別の点検になります。最初から最後まで一度も見ないことを達成基準にはしません。

見直しの記録には、成功した箇所だけでなく、どの助けを開いたら先へ進めたかも残します。たとえば「縦を表す式を見た後は、面積の式を自分で作れた」と書けば、次回は周の条件から縦を表す部分を中心に確かめられます。逆に、縦の式は言えたのに面積と結びつかなかったなら、長方形の面積が縦と横の積であることに戻ります。記録するのは自分の操作とその理由であり、見た回数の評価ではありません。

解説と違う式を作った場合も、文字の意味が明確なら、すぐに書き直す必要はありません。縦を x と置けば横が 10 − x となり、同じ面積の式が得られます。反対に、同じ記号を使っていても、その記号を縦と横のどちらと定義したかを途中で取り違えれば意味が変わります。式の形だけではなく、文字の定義と元の条件まで戻して照らしてください。

別の条件なら何を補うか

たとえば、長方形の横の長さと縦の長さが別々に与えられ、面積を求めるだけの問題なら、周の条件から縦を表す補助式は必要ありません。与えられた2つの長さを掛ける理由を言えれば、その問いには進めます。逆に、周だけが与えられた場合は、長さが1つに定まらないので、面積の候補を比較できる形にする必要があります。図3は、すでに両方の長さがあるかどうかで、間に置く操作を分けています。

補助式は長ければよいものではありません。両方の長さが示されているのに、わざわざ新しい文字を増やすと、何が既知かを見失うことがあります。一方、必要な量がまだ決まらないのに、直接計算しようとすると、条件にない値を勝手に置くことになります。式を書く前に、何がわかっていて何が未定かを分けてください。

確かめ問題

ある展示の入場券は大人券と子ども券を合わせて12枚あります。大人券は1枚700円、子ども券は1枚400円です。合計金額が7200円のとき、それぞれ何枚でしょうか。大人券の枚数を a 枚と置き、子ども券の枚数を表す補助式を作ってから考えてください。枚数は0以上の整数です。

解答は、大人券が8枚、子ども券が4枚です。子ども券は 12 − a 枚なので、金額の条件は 700a + 400(12 − a) = 7200 です。整理すると 300a = 2400 となり a = 8 です。8は0以上12以下の整数で、子ども券は4枚です。枚数の和は12枚、金額は 700 × 8 + 400 × 4 = 7200 円となり、元の条件をどちらも満たします。

補助式 12 − a の役割は、枚数の合計を使って子ども券を大人券の枚数で表すことです。金額の式に直接12を子ども券の枚数として入れた場合は、合計の12枚を両方の券に重ねて数えています。まず大人券を何枚と置いたかを確認し、残りの枚数がどのように決まるかに戻ります。計算後に小数や範囲外の値が出た場合も、整数条件と式の立て方を照合します。

もし途中で問題文の意味がつかめなければ、いきなり計算を続けず、枚数の条件と金額の条件を分けて書きます。枚数の式は作れたが金額へ進めなければ、各券の単価に何を掛けるかを言葉にします。答えが出た後に金額が合わなければ、展開と計算を逆にたどります。解説を見てもどの条件から式が出たかわからない場合は、わからない行とその直前の行を残して質問できます。

質問するときに持っていくもの

教科書では、文字を使って数量を表す例や二次関数の最大値を扱う箇所を開き、自分の問題と条件を照らします。公式の形を探すだけでなく、文字が表す量、取りうる範囲、変形の前後で何が保たれているかを見ます。平方完成の計算に不安があるときは、自分の途中式と教科書の変形を1行ずつ比べます。

先生に聞く際は、問題文、覆った補助式、見ずに書けたところを一緒に見せます。「なぜこの式になるのですか」だけでなく、「周の条件から縦を表すところまではわかりますが、面積の最大値とのつながりを説明できません」と伝えると、必要な行から話せます。解説を読んでも理解できなかった箇所をそのまま持っていって構いません。

保護者がお子さまの復習を見る場合も、解説を開いた回数で判断する必要はありません。本人が指せる条件と、まだ説明しにくい式を紙の上で分けてみてください。答えを急いで補う前に、どの量を何と置いたのかを尋ねると、本人の考えがどこまでつながっているかを共有できます。

個別指導では、問題文を残した紙と、補助式を覆って書いた答案を並べて確かめます。講師は条件から作れた行と、解説を開いてつながった行を見比べ、次に説明する箇所を絞ります。式の見た目が同じかだけでなく、その式が次の判断にどう使われるかを言葉でも確かめます。

補助式を隠した練習は、見ずに完走する競争ではありません。必要なときに元の行へ戻り、条件と目的を結び直すことで、見えていた誘導を自分の考えとしてたどり直せます。