共通テスト数学の問題数を数え違える—小問と解答欄を一対一と思わない演習記録｜武蔵野個別指導塾

分数の分子と分母を別欄に記入する例から、復習記録を揃える基準へ進みます。問題数の数え方を整えます。

演習の問題数は、解答欄の個数ではなく、自分が何を求める問いとして取り組んだかで区切ります。1つの答えを複数の欄に分けて書く場合、その欄をそれぞれ別の問題として数えると、復習の記録が実際の作業とずれます。まず問題の指示を読み、答えの単位と記入する欄を対応させましょう。

よくあるのは、高2の冬、1つの分数の分子と分母を別の欄に書き、達成表には2問として記入していた夜という場面です。計算に迷った場所を翌日に探そうとすると、表には欄の数しか残っていません。何を求めようとしていたかを一緒に残せば、答えの形と考え直す作業を結び直せます。

欄が増えると問題も増えたように見える

たとえば、2つの正の数 2 と 3 の和に対する、小さい方の数の割合を求める問いを考えます。答えは 2/5 です。分子と分母を別々の欄に書く様式なら、記入する場所は2つですが、問われているのは1つの割合です。分子の 2 と分母の 5 が独立した2つの解答なのではなく、組になって1つの値を表します。

図1のように、問いから答えへ進み、その答えを記入欄へ分けて対応させます。左から右へ進むとき、最後に欄が2つに分かれても、途中の答えが2つに増えたわけではありません。逆に欄から読み始めると、目に見える枠の個数に引っ張られ、求める対象を見落としやすくなります。

このとき、欄を数えること自体が誤りなのではありません。記入漏れを探すには欄の数が役に立ちます。一方、何問取り組んだかを振り返る記録にその数を転記するなら、欄の数が何を表すかを明記する必要があります。「記入欄 2」と「割合を求める問い 1」は、異なるものを数えた結果として両立します。

また、欄が埋まったかどうかと答えが正しいかどうかも別です。2つの欄に数字が入っていても、和を求める前に大きい方の数を分母にしていれば割合は正しくありません。記入の完了を確認した後に、分子が比べる量、分母が全体を表すという関係まで戻ることが必要です。

自分の答案で境目を探す

最初に、解答欄の上ではなく問題文の指示に目を戻します。「何を求めるか」を短い言葉で書き、その答えを表すのにどの欄を使ったか線で結びます。割合なら「小さい方の割合」と書き、分子と分母の両方につなぎます。記録の1行はその問いに対応させ、欄の数は必要な場合に別の項目として記します。

ただし、分数の欄が隣り合っているから常に1問だと決めることもできません。別々の量についてそれぞれ割合を求める指示なら、分数が2つでき、それぞれを独立した問いとして記録する方法があります。欄の見た目だけでは区切りが決まりません。指示の内容と、復習で何を別々に見直したいかを合わせて決めます。

途中の計算を記入する欄がある場合も同様です。途中の値と最終結果を同じ解答欄の数として並べるだけでは、計算過程のどこでつまずいたのかが見えません。1行の問いの中に「途中式」「最終結果」という小さな記録を添えれば、問いをむやみに分割せず、誤りの位置を残せます。

複数の操作が必要な問いを、学習の都合でさらに細かく分けたい場合もあります。そのときは「問い 1、作業 2」のように異なる単位の名前を付けます。別の日の表と比べる前には、両方で同じ単位を使っているか確認します。数が大きい方が多く学んだと判断する前に、何を数えたのかを揃えることが先です。

問いから記録を作り直す

図2のように、指示、答え、欄、記録の順にたどります。最初の例なら、指示は「小さい方の割合」、答えは「2/5」、欄は分子と分母の2か所、記録は割合を求める問いとして1行です。各段階の名前を省かないことで、欄が増えても問いまで増やす誤りを防げます。

まず問題文の中で、何を求める指示なのかに印を付けます。数値を見つけるだけでは、何を求めるかは決まりません。どの量を全体とするかも確認し、言葉で「小さい方を和で割る」と書きます。比べる量と全体を逆にすると、分数の形ができても別の値になります。

次に式を立てます。全体は 2 + 3 = 5、小さい方の割合は 2/5 です。分母は正なので割る操作ができます。割合が 0 と 1 の間にあることも、今回の正の数という条件に照らして確認できます。分数にする前に和を作る作業と、求めた割合を欄へ書く作業は別ですが、ここでは同じ問いに属します。

それから記入欄を見ます。分子の欄に 2、分母の欄に 5 を書き、2つの欄の間にある分数の形も含めて答えとして読み直します。片方が空白なら「問いが半分終わった」と数える前に、記入が完了していないと記します。欄が2つ埋まったことを、問いが2つ解けたことには変換しません。

最後に表を直します。元の記録が「2問」となっていたら、元の数字を消す前に、その数字が欄の個数だったことを余白に残します。問いの数を1に直し、「分子と分母の欄に記入」「全体を和で求めた」と添えれば、後で数の変化を説明できます。表を修正する目的は過去の努力を減らすことではなく、次に見直す対象を特定することです。

正解だった場合も、答えと指示を結び付けた記録を残します。もう一度同じ型に取り組むとき、どの量を全体にしたかを短く再現できるからです。間違えた場合は、まず欄への転記が違ったのか、式の段階で違ったのかを分けます。転記が違えば式と欄を照合し、式が違えば指示と量の関係へ戻ります。

もし正の数という条件を読み落とし、全体が 0 になる可能性のある別の問いを扱うなら、同じ割り算をそのまま使えません。分母が 0 の場合には割合をその式で表せないため、条件に戻って場合を分けます。今回の例では和が 5 と確認できるので、この例外は生じません。答えの欄を数える前に、答えがその形で定義できるかを確かめます。

数え方を変える必要があるとき

図3は、答えが1つの場合と、求める対象が別に示された場合の分岐です。複数の欄があっても、まず指示に戻り、何を答えるのかを決めます。対象が別々なら、それぞれの問いを別行にできます。記録の単位は答案の見た目ではなく、指示と学習目的から選びます。

同じプリントで、答えの欄だけに番号が振られているときは、その番号を手掛かりとして使えます。ただし番号の個数をそのまま自分の問いの数にせず、どの番号が同じ答えに属するかを対応表にします。問題文に区切りが明示されているなら、その区切りと、自分の復習記録の区切りを両方書きます。別の数になっても、対象が違うと明記すれば混乱しません。

時間が足りず途中で止まった場合は、未完成の問いを完成済みとして数えません。たとえば式は立てたが欄への記入が終わっていなければ、「着手、未完了」と記します。翌日続きをする際は、その行の式と指示から再開できます。無理に正解・不正解のどちらかに入れるより、止まった位置が残る方が見直しに役立ちます。

問題文の一部が読めない、印刷が切れている、欄と指示の対応が不明という場合も、推測で数を確定しないでください。読める範囲と不明な箇所を記録し、元の資料や授業で使った紙を確かめます。元の資料を確認できなければ、その行は保留にします。後で資料が見つかったとき、保留の理由があれば、最初から数え直す場所を選べます。

表計算などの道具で記録するときも、入力した数字の意味を列名に残します。計算式が壊れた、保存できなかった、読み込みに失敗した場合は、表示された合計を正しいとみなさず、元の紙と照合します。道具が復旧するまで紙に問いと状態を控え、再入力後に行数と内訳を確かめます。時間切れや不明な記録を空欄のまま正解として集計しないことも、手作業と同じ条件です。

記録の単位を決めたら、同じ紙の別の問いにも一度当てはめます。1つの指示に複数の欄が結び付くところと、別の指示にそれぞれ欄が結び付くところを見比べてください。数え方の説明が片方にしか通用しないなら、欄の配置ではなく求める対象を基準に書き直します。解き終わった数だけを残すより、判断を再現できる基準があると、翌週の表にも同じ方法を使えます。

採点結果を記す際には、問いの状態と答えの状態も分けます。たとえば式は合っているのに転記した数字が異なる場合、式の理解と記入の確認には別々の見直しが必要です。1行の中に「式は合う、転記を修正」と記せば、次回は記入後に式と欄を照合する練習を選べます。欄ごとに正誤を付けても構いませんが、その印の個数を問いの正答数と混ぜないようにします。

反対に、答えが合っていても、根拠の式を説明できないなら、記録にそのことを残せます。たまたま分子と分母を正しい位置に書けたことと、何を全体として選んだかわかっていることは異なるからです。次に開いたときは、先に記した数字を隠し、問題文から全体と比べる量を言葉にしてみます。その後で元の式と照合すると、どこから考え直すかがはっきりします。

複数の日にまたがって取り組む場合は、日ごとの行数を足す前に同じ問いを重複して数えていないか調べます。初日に着手し翌日に完成させた問いなら、問いの記録は同じ行にまとめ、各日の状態を添える方法があります。日ごとの作業を数えたい場合は別の列を作り、問いの数と区別します。どちらの数字も用途が異なるので、片方だけを見てもう一方を推測しません。

途中の紙を紛失したときは、以前の合計から各問いの状態を逆算しないでください。残っている指示や記録を手掛かりに、確認できる範囲を記し、失われた部分は保留にします。新しく同じ問いに取り組み直すときは、新しい答案と以前の不明な記録を混ぜず、作業した日と判断の根拠を添えます。記録を完全に見せることより、不明な部分を後で識別できることを優先します。

別の場面で試す

次の問題は、ここまでの割合の例とは別の問いです。ある長方形の縦は 4 cm、横は 7 cm です。面積と周の長さをそれぞれ求め、面積の欄と周の長さの欄に記入します。復習表には何行を設けると、どちらの考え方を見直すか区別できますか。また、それぞれの答えを求めてください。

答えは、面積が 28 cm²、周の長さが 22 cm です。面積は縦と横を掛け、周の長さは縦と横をそれぞれ2回ずつ足します。求める対象が面積と周の長さの2つなので、復習表も2行にすると、それぞれの式と誤りを別々に残せます。別の整理方法を選んでも、何を1行としたか書いてあれば記録を読み直せます。

面積を 11 cm² とした場合は、縦と横を足していないか確かめ、面積の式へ戻ります。周の長さを 11 cm とした場合は、縦と横を1回ずつしか数えていない可能性があります。辺を一周たどり、各長さが何回現れるかを見直してください。単位も面積と長さで異なるので、答えの数字だけを表に移さないようにします。

迷った記録を持って相談する

教科書で求める量の定義を見直すときは、該当する問題文と自分の式を並べます。先生に聞くなら「この2つの欄を1つの答えとして扱った理由が、指示に合っていますか」と、判断した箇所を示せます。問題文の印、欄への線、記録表の1行があれば、どこから判断が分かれたかを話しやすくなります。

お子さまの表を見るときも、合計だけを比べず、1行に何を数えたのか尋ねてみてください。途中で止まった行や保留の行があっても、状態を書き分けていれば次に開く場所がわかります。欄を多く埋めたかどうかより、問いと答えを対応させて説明できるかに目を向けます。

個別指導では、問題の指示に印を付けた紙と記録表を並べ、1行がどの問いを指すか確かめます。誤りがあれば、欄への写し間違いなのか、求める量の取り違えなのかを式まで戻って分けます。記録の基準を本人が説明できる形に直せば、次の演習でも同じ単位を使えます。

解答欄は答えを書く場所であり、問いの数を自動的に決めるものではありません。求める内容と答えを結び、記録の単位を揃えることで、次に見直す問いが見えてきます。記録を開くたびに、指示と答えの対応をたどり直せます。