共通テスト数学で前問の答えが複数残る—連動型の組み合わせをどう読むか｜武蔵野個別指導塾

前問の候補と後問の値を対にして条件へ戻し、交差した組を除く道筋をたどる連動型の読み方です。

前問に複数の候補が残っても、直ちに誤植や計算ミスとは限りません。後の問いの答えと対にし、その組が問題の条件を満たすか調べます。前問の候補を独立に選び、後問の候補も独立に選ぶと、成立しない組を混ぜるおそれがあります。

よくあるのは、高3の冬、前の問いだけを見ると二通り残り、誤植かと迷った演習の場面です。片方を消す理由が見つからないまま先に進むと、次の問いで出た値がどちらの前提から生まれたのか見失います。迷った位置に戻れるよう、候補とその先を同じ行に置くことから始めます。

前問の候補を混ぜたところで起きること

令和9年度の大学入試センターの問題作成方針は、連続する複数の問いで前問と後の問いの答えを組み合わせ、正答となる組合せが複数ある連動型の問題を出題する場合があるとしています。毎年必ず出るという意味ではありません。この説明から採点上の部分点の有無も決められません。自分が受ける年度の扱いを知りたいときは、その年度の公式文書を確認します。

たとえば、実数 x について x² = 9 を満たす x を前問で求め、後問で y = x + 2 を求める自作の練習を考えます。前問の候補は x = 3 と x = -3 です。後問の値はそれぞれ 5 と -1 ですが、どちらでも好きに組み合わせてよいわけではありません。x = 3 に対応するのは y = 5、x = -3 に対応するのは y = -1 です。

図1のように、前問と後問の間の線は計算の対応を表します。片方の数を見てから別の枝の結果へ飛ぶと、候補の値自体は正しくても対として条件を満たしません。たとえば x = 3、y = -1 は、後問の式に代入すると -1 = 3 + 2 とはならないため不適切です。

前問が二通りあることと、後問が二通りあることから、4通りの組がすべて成立すると判断するのが誤りの入口です。逆に、二通りの前問から小さい方を消せば解決すると考えるのも危険です。問題に正負を限定する条件がないなら、負の候補も元の式に戻して調べます。

普通の誘導では、前問で一つに定まった数値を後問へ使うこともあります。それは前の結果を使う関係ですが、それだけで正答の組が複数ある連動型とは言えません。候補が複数あるか、後問との対応を含めてどの組が条件を満たすかを、問題の指示に即して判断します。

自分の答案のどこで枝が切れたか

答案に二つの値が書いてある場合、まず元の条件で両方を確認します。上の例では 3² も (-3)² も 9 です。ここで負の値を除く追加条件はありません。前問の段階ではどちらも候補として保持し、後問へ進める必要があります。

次に、後問で使った前問の値を見ます。答案に y = 5 とだけ書いてあると、それが x = 3 から得られたことは計算をたどればわかりますが、隣に -1 があると取り違える余地が残ります。各行に前提と結果を並べ、どの代入から得た値かを残します。二つの候補を別々の箱に入れるのではなく、対応を保った行にします。

後問が同じ値になる場合もあります。異なる前問の候補から同じ値が得られても、前問の値が違えば組としては別です。反対に、数値の候補が二つずつ見えても、問題の条件を破る組は除きます。候補の個数だけをかけ算して成立する組の個数にすることはできません。

自分の答案が合わなかったときは、前問の候補の不足、後問への代入、組の結び付け、元の条件の確認を分けて見ます。前問の式の解を一つ落としたなら方程式に戻ります。候補は両方あるのに後問の値が違うなら、対応する行の代入を調べます。各行の計算が正しいのに最終的な組が違うなら、行をまたいで値を取り替えていないかを点検します。

選択肢に並ぶ数を見ただけでは、どの値とどの値を対にすべきかは決まりません。問題文が求める組の順序も読みます。前問を先、後問を後に書く指示なら、その順番を答案の行に合わせます。順序を逆にした対は、同じ数を含んでも同じ記録ではありません。

対応を残して条件に戻す

先ほどの練習で、紙の左に前問の式、右に後問の式を書きます。次に前問の解をそれぞれ別の行に書き、その行で後問の値を計算します。図2のように、候補を分ける操作と組を確かめる操作を続けると、答えを一つに絞る理由を無理に作らずに済みます。

最初の行は x = 3 として y = 3 + 2 = 5 です。元の二つの条件へ戻すと、3² = 9 かつ 5 = 3 + 2 が成立します。したがって (3, 5) は条件を満たす組です。ここでは括弧の左を前問の値、右を後問の値と定めています。

次の行は x = -3 として y = -3 + 2 = -1 です。(-3)² = 9 かつ -1 = -3 + 2 なので、(-3, -1) も条件を満たします。候補を出すときと確かめるときで同じ式を使っていますが、後者では両方の条件に同じ組を入れることが重要です。

交差した (3, -1) と (-3, 5) も試すと、どちらも y = x + 2 に合いません。前問の式だけを確認すると両方の x が通るため、後問の条件まで戻す必要があります。条件を一つずつ通り抜ける作業と、各条件に別の組を代入する作業は違います。判定したい一組を固定してから、すべての条件に入れます。

もし途中で前問の値が求まらなければ、後問に適当な数を置いて先へ進めず、前問の式と定義域を確認します。前問の候補を一つも作れない原因が計算なのか、条件の読み落としなのかを分けるためです。候補を出せても後問の計算が途中で止まったら、その行を未確定のまま残し、別の行の結果を借りません。

途中までしか復習の時間が取れない場合も、未確認の組には印を付け、正しいと判定した組と区別します。確認の印は計算の代わりにはなりません。次に開いたとき、前問の式に戻るのか後問への代入から再開するのかがわかるように、止まった場所を短く書きます。

解答欄への記入を考えるときは、実際の問題に書かれた指示を優先します。この練習の括弧は対応を見せるための記録であり、実際の解答欄の形を示すものではありません。前問と後問がどのように指定されているかを確かめ、作った行の値を取り違えないようにします。

組を検査するときの行き止まり

条件を満たす組が見つからないとき、まず候補の範囲を読み直します。前問で実数を扱うのか、整数に限るのか、正の値に限るのかによって、後問へ渡せる値が変わります。自分が勝手に範囲を狭めたために、必要な候補を捨てている場合もあります。逆に、範囲を広げて余分な候補を作った場合は、後問で計算ができても元の条件で除かなければなりません。

後問の式に代入できない値があるときも、前問の段階でその値を消す理由が与えられているかを確かめます。式の分母が 0 になるなど、後問の操作が定義されない場合には、その操作を行える範囲を確認します。数を無理に入れて結果を作らず、何が定義されないのかを記録し、元の問題にある条件と照合します。前問では候補でも、後問の条件を加えた組として成立しないことがあります。

候補を見つけた後の検査では、成立する例をいくつか見つけただけで終えず、前問に残った各候補を漏れなく調べます。選択肢から組を選ぶ練習なら、各選択肢を同じ条件で判定する方法もあります。どちらの場合も、調べた対象と調べていない対象を区別すると、見つけた組以外に成立する組があるか追跡できます。

一方、後問の値を計算したら、それが問題で指定された候補や範囲に入っているかも見ます。式には合うが選択肢にない値は、選択肢から選ぶ問題の答えにはできません。計算値と候補が食い違うとき、まず符号や写し間違いを確認し、それでも一致しなければその枝を条件に照らして判定します。

解答を見て自分の行と違っていたら、答えの数字だけを直して終わらせないことも大切です。前問の値を同じにした行を探し、後問の式への代入から比較します。最初に違った箇所が代入なら、その行を直した後で追加条件も改めて確認します。途中の訂正によって後の判定が変わるからです。

二人で答えを照合するときも、最終的な数の集合だけでは対応の違いが見えません。前問と後問を横に並べた行を見せ合い、同じ行に書いた理由を説明します。値の候補は一致しているのに組が違うなら、計算を全部やり直す前に矢印の結び方を調べると、ずれた場所を特定できます。

別の条件で組を選ぶ練習

次は先ほどとは別の自作問題です。整数 a は 1、2、4 のいずれかです。前問では a を選び、後問では b = 2a − 1 を満たす b を選びます。後問の候補は 1、3、6、7 です。さらに a と b の和が 7 未満という条件があります。前問と後問をこの順に並べた組で、すべての条件を満たすものを求めてください。

図3のように、まず前問の候補ごとに後問の式へ入れ、その後に和の条件を調べます。選択肢にある値かどうかも別に照合します。和を先に調べる場合でも、同じ組について式と選択肢を最後まで確認する必要があります。

答えは (1, 1) と (2, 3) です。a = 1 なら b = 1、和は 2 です。a = 2 なら b = 3、和は 5 です。どちらの b も候補にあり、和は 7 未満です。a = 4 なら式に合う b は 7 ですが、和が 11 となり追加条件を満たしません。

b = 6 は候補にありますが、a のどの候補と組にしても b = 2a − 1 を満たしません。候補に載っていることは、ある前問の値と組める証拠ではありません。また (1, 3) は和が 7 未満でも式を満たさず、(4, 7) は式を満たしても和の条件で除かれます。失敗した条件が違うため、同じ理由として処理せず、各行にどこで外れたかを書きます。

もし後問の式に合う値が候補に見当たらなければ、まず代入をやり直し、それでも見当たらない行は候補の条件で除きます。全部の行が除かれたときは、問題文の写し間違いや不等号の向きを確認します。それでも条件を満たす組がなければ、無理に選ぶのではなく、問題の作りや指示を確かめます。

追加条件が境界を含むかどうかも大切です。「未満」は境界の値を含みません。「以下」なら含みます。今回は和がちょうど境界になる行はありませんが、別の問題ではその一行で判定が変わることがあります。記号に直してから、等しい場合を含むか確認します。

問題の指示が曖昧に見えるときは、候補を一つに決めることを急がず、何を組として求めているかを文章で書き直します。前の問いと後の問いを別々に読むだけでは、両者を結び付ける条件が抜けることがあります。逆に、別の行から値を取り出して作った組が、たまたま一つの条件に合っても、残る条件を通るとは限りません。

復習では、正しい行に丸を付けるだけでなく、除いた行に理由を一語でも残します。式に合わないのか、範囲に入らないのか、追加条件に反するのかを区別すれば、後から検査の続きを再開できます。途中で手が止まった場合は、未判定と不成立を混同しないことが出発点です。

答え合わせで持ち帰るもの

教科書で方程式の解を求める方法を見直すときは、前問で候補を落とした行を開きます。代入の計算が合わないときは、前問の値と後問の式を同じ行に書き直します。形式の説明を確かめたいときは、大学入試センターの問題作成方針の出題形式の箇所を読み、対象年度と「場合がある」という表現を確認します。

質問するときは「どちらが正解ですか」だけで終えず、候補の行と、どの条件を通したかを示します。たとえば、前問の両候補を残した理由と後問で付けた値を見せれば、候補の不足と対応の取り違えを区別できます。お子さまが途中で止まった答案なら、完成した解答だけでなく、どの行まで確かめたかも一緒に持っていきます。

個別指導では、前問の候補を書いた紙と後問へ代入した紙を並べ、同じ候補がどの結果につながったかを指で追います。消した候補があれば、消した根拠が条件なのか思い込みなのかも確かめます。正しい組を得た後も、交差した組がなぜ成立しないかを元の式で説明できるか見ます。

前問に複数の答えが残ることは、そこで思考を止める理由にはなりません。候補を行ごとに後問へ渡し、同じ組を条件に戻せば、成立する対応と成立しない対応が見えてきます。連動型では、数を単独で覚えるより組の関係を追う読み方が役立ちます。