共通テスト数学の漸化式で最初だけ合わない—操作前と操作後の項番号をそろえる｜武蔵野個別指導塾

初めの個数と操作回数を表に並べ、ずれた項番号から立て直す漸化式。

最初の状態が第何項かを問題文の定義で確かめ、操作回数と項番号を別々に書きます。操作前を第1項とするなら、1回後は第2項です。式を作ったら初項と次の項を実際の操作と照合し、一般項にも同じ番号を代入します。

よくあるのは高2の冬、一般項はきれいに出たが最初の個数と一致しなかった演習の場面です。計算の途中を見返しても、足し算には間違いが見つかりません。そこで式の形から調べ始める前に、問題文が最初の状態に付けた番号と、自分の表に書いた操作回数を並べてみます。見た目の整った式でも、番号が別の状態を指していれば、求めた個数は1段階ずれます。

最初の状態は何回目の操作の後か

たとえば、箱の中に最初はカードが4枚あり、操作を1回行うたびに3枚加えるとします。操作前の枚数を a₁ とし、操作を n 回行った後を aₙ₊₁ と定めます。n は0以上の整数です。操作の途中でカードを取り除かないので、この例では各段階の枚数が定まります。

図1のように、左端は操作をまだ行っていない状態です。矢印1本が1回の操作を表し、その前後で項番号が1つ進みます。操作回数と項番号が同じでないのは、開始状態に第1項という名前を付けたからです。

この定義から、a₁ = 4、aₙ₊₁ = aₙ + 3 です。後者は n が1以上の整数のとき、ある項から次の項への移り方を表します。最初の枚数と、次へ進む規則は別の情報です。規則を正しく書けても、出発点を別の項に置けば、実際の並びは変わります。

つまずきやすいのは「n 回後」と「第 n 項」を同じ欄に入れるところです。ここで aₙ を n 回後と読むと、a₁ は操作を1回済ませた7枚の状態になります。しかし問題の定義では a₁ は操作前の4枚です。同じ文字に2つの意味を持たせたまま進むと、式の計算が正確でも表の最初と合いません。

一般項を aₙ = 4 + 3n と書いた場合、n = 1 では7になり、初項の4と食い違います。この式は操作回数を n と置いたときの枚数としては使えますが、定義された第 n 項の式としては使えません。数字が偶然合う段階を探すのではなく、その文字が何を数えるかを先に確認します。

答案のどこで番号が切り替わったか

自分の答案では、まず問題文の「操作前」「操作後」と、数列の定義に線を引きます。次に a₁ の横へ操作回数0と書き、a₂ の横へ操作回数1と書きます。問題文が初項を明示していれば、その定義を優先します。普段のノートで別の番号を使っていても、今回の定義を読み替えないことが大切です。

続いて、漸化式の左辺と右辺がどの状態を指すかを日本語で読みます。aₙ₊₁ は次の状態、aₙ はその直前の状態です。この2つの間に操作が1回あるため、3枚を加えます。もし右辺に初めの4枚を毎回足していれば、それは番号のずれとは別に、操作の内容自体を取り違えています。項の対応と、増える枚数の対応を分けて調べると、直す位置を選べます。

また、a₂ = 7 が合っていても、それだけでは式全体の確認にはなりません。たとえば途中で増える枚数を変えてしまった式なら、初めの1回が合っても次から違う可能性があります。a₃ まで操作を実行して照合し、さらに漸化式が問題文の「毎回」を表すかを調べます。表は間違いの場所を見つける手がかりであり、有限個の値の一致だけで一般の式を証明するものではありません。

逆に、初項も次の項も正しいのに一般項が合わないときは、漸化式から一般項へ移った行を見ます。初項から第 n 項までに操作が何回あるかを書き直してください。第1項から第2項までに1回、第1項から第3項までに2回なので、第 n 項までには n − 1 回です。第 n 項という番号そのものを回数に使うと、余分な1回を数えます。

番号がずれたとき、最初の値を都合よく変えて辻褄を合わせるのは避けます。定義を変えずに済むのか、それとも別の番号で数え直して元に戻すのかを区別します。問題が求めた記号の意味を保ったまま、操作の前後を対応させることが修正の目的です。

表から漸化式と一般項へ戻す

図2のように、初期状態、1回の操作、次の状態の順に矢印をたどります。図の4枚から7枚への移動は、表の a₁ から a₂ への移動と同じです。まず初期値 a₁ = 4 を書き、次に1回の変化を表す aₙ₊₁ = aₙ + 3 を書きます。

一般項を求めるときは、初期状態からの矢印の本数を数えます。a₁ には矢印が0本、a₂ には1本、a₃ には2本です。したがって第 n 項では n − 1 回、3枚ずつ加えています。式は aₙ = 4 + 3(n − 1)、すなわち aₙ = 3n + 1 です。適用する n は1以上の整数です。

この式へ n = 1 を代入すると4、n = 2 を代入すると7です。さらに隣り合う項の差は3なので、式が最初の状態と1回ごとの操作の両方に合っています。初項への代入だけでは、たとえば別の増え方をする式も初項を通り得ます。差も確かめることで、出発点と移り方を別々に点検できます。

操作回数を直接数えたい場合には、別の記号 bₖ を操作 k 回後の枚数と定義しても構いません。k は0以上の整数で、b₀ = 4、bₖ₊₁ = bₖ + 3 です。この表し方では bₖ = 4 + 3k と書けます。先ほどの aₙ と同じ状態を指す関係は aₙ = bₙ₋₁ です。数字が1つずれているのは、最初に付けた番号が違うためです。

ただし別記号へ移す際、b₁ を最初の状態として扱えば、再び同じ混乱が起こります。b₀ と b₁ を実際の枚数と結び付けてから式を使います。別の表し方は誤りではありませんが、最後には問題で定義された aₙ へ戻す必要があります。

式が合わない場合の戻り方も決めておきます。初項が合わなければ開始状態の定義と回数を見直します。初項が合い、次の項が合わなければ、1回の操作と漸化式の符号や増減を見直します。表と漸化式は合うのに一般項が合わなければ、初項からの操作回数と代入の行へ戻ります。複数箇所が違う場合は、開始状態から順番に直します。

減る操作と確かめ問題

増える場合と同じように、減る操作でも矢印の本数と項番号を分けます。たとえば最初に18個の部品があり、1回につき2個取り出せる間だけ続けるとします。操作前を c₁ とすると c₁ = 18、c₂ = 16、c₃ = 14 です。cₙ₊₁ = cₙ − 2 は、実際に次の操作ができる範囲で使います。

図3のように、0個になった後も同じ現実の操作を続けられるとは限りません。式を形式的に先まで計算することと、部品を取り出せることは別です。この例では9回後に0個になり、その状態は c₁₀ です。次の操作には必要な2個が残らないので、現実の操作を表す漸化式の適用は n = 1 から9まで、項は c₁ から c₁₀ までです。

問題文が操作を途中で止める条件を与えている場合は、初項だけでなく終点も書きます。一般項を得ても、定義された範囲外の項をそのまま個数として答えないようにします。負の数が計算上出たことだけを根拠に、存在しない部品の状態を付け足すことはできません。

次の問題で、表と式を自分で作ってみてください。

机に石が5個あります。1回の操作で石を4個ずつ追加します。操作前の個数を d₁、操作を1回行った後を d₂ とします。d₁、d₂、d₃ と、第 n 項 dₙ を求めてください。n は1以上の整数です。

答えは d₁ = 5、d₂ = 9、d₃ = 13、dₙ = 5 + 4(n − 1) = 4n + 1 です。操作前から第 n 項までに n − 1 回追加するためです。dₙ = 5 + 4n とした場合は、n = 1 で9となり、操作前の5個と一致しません。問題文の d₁ に戻り、操作回数0と書いてから矢印を数え直します。

もし d₂ と d₃ は合ったのに一般項が違えば、それらを無理に変更せず、一般項を作ったときの回数の数え方を点検します。反対に d₂ が違えば、一般項を先に直すより、1回の操作が何個を加えるかを読み直します。答えの数字だけを比べるのでなく、どの状態がどの項かを説明できるかも確かめます。

途中から読み直すときの目印

表の途中を見ていると、開始状態に戻らなくても次の値を求められます。たとえばカードの表の a₃ が10枚だとわかっていれば、そこから1回加えて a₄ は13枚です。ただし「a₃ から1回後」と「操作を最初から3回行った後」は、数えている起点が違います。前者の1回は途中からの回数、後者の3回は開始状態からの回数です。両方を同じ数字の欄に書かず、起点を添えて記録します。

途中の値が不明な場合も、前の項と次の項の間に何が起こるかを先に書きます。aₙ と aₙ₊₁ を並べたら、その間に「3枚加える」と記し、矢印の向きを確かめます。右から左へ戻るときは、加えた3枚を引きます。戻る操作を使うときも、問題で定めた最初の状態より前まで遡ってよいとは限りません。定義された項の範囲の中で、対応する2つの状態を照合します。

表を書いたのに答えが合わないときは、表の値を式に合わせて直す前に、1行ずつ操作を再現します。たとえば最初の行は問題文の初期値から、次の行は直前の値と1回の操作から作ります。一般項から表を逆算すると、一般項に含まれる誤りが表にも写り、互いに一致して見えることがあります。操作から作った表と式から出した値を別々に並べれば、その食い違いを見つけられます。

計算の時間が足りなくなり、最後まで一般項を出せなかった場合でも、初期値と最初の移動を表に残しておくと、後でどの定義から始めたかを追えます。空欄を推測で埋めるより、どこまで操作を確認できたかを区切ります。復習では最後に書けた行から再開し、その行が問題文の状態に対応するかを確かめてから先へ進みます。

途中の式を写し間違えた場合には、元の問題文から操作の増減と初期値を取り直します。式の文字が欠けているときに、その前後だけから番号を推測すると、別の定義を持ち込むかもしれません。問題文そのものが欠けていて開始状態を読めないなら、初項を仮に決めた答えを確定せず、欠けた部分を確認してから表を完成させます。

計算機や外部の道具で値を確かめる場合も、入力した式が何を表すかを手元に残します。応答がない、入力が壊れた、結果が表と一致しないというときは、出力を正解と決めず、初項と1回後を手計算で再現します。そこで一致すれば、入力した項番号と演算の順序を見直します。一致しなければ道具の結果以前に、問題の定義と自分の表の対応を調べます。

同じ表を人に見せるときも、回数の欄と項の欄を省かずに残します。数字だけが並ぶ表では、最初の数字が操作前なのか操作後なのかを読み手が判断できません。番号の付け方を示せば、違う式を比べる際にも同じ状態を指しているか確かめられます。

定義を指して質問する

教科書で漸化式の記号を確認するときは、初項と隣り合う項の関係がそれぞれ何を決めているかを見ます。問題文の定義、操作回数を付けた表、自分の漸化式と一般項を並べ、「この項は操作前から何回後ですか」と尋ねると、話が具体的になります。答えが違う行を消さずに残せば、番号の読み違いと計算の間違いを分けて検討できます。

お子さまが説明するときは、記号をすぐ言い換えられなくても、表の2つの状態を指して間の操作を話せば十分です。聞く側は先に一般項を伝えるより、最初の状態と次の状態に付けた番号を一緒に確認します。問題ごとに開始番号が違う場合もあるので、前の問題の慣れを持ち込まず、今回の定義へ戻ります。

個別指導では、問題文の定義を書き込んだ紙と、操作回数を並べた表を見比べます。答案の aₙ が表のどの欄に当たるかを指し、次の項までの矢印が1回の操作に対応するかを確かめます。一般項が合わない場合も、初項から順に照らし、ずれが生じた行を探します。

漸化式の出発点と1回の変化を揃えれば、一般項に入れる操作回数も定まります。第 n 項までの矢印を数え、最初の状態に代入して確かめることが、番号のずれを見つける手がかりです。