高校受験の数学 二次方程式の解法—因数分解と平方根と解の公式を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

積が0になる条件から解の漏れを防ぎ、平方完成や解の公式で得た候補を元の方程式に戻して確かめます。

よくあるのは、中3が二次方程式を積の形に直し、片方の括弧が0になる場合だけを書いて手を止める場面です。もう片方も0になり得ると気づけば、見落とした解を拾えます。途中式は答えへ急ぐための飾りではなく、どの場合を調べたかを残す記録です。

式の形から入口を選ぶ

この単元では、二次方程式を因数分解、平方根、平方完成、解の公式で解き、実数の範囲で解を確かめます。長さや個数などの文章題を立式して条件に合う解を選ぶことは扱いません。中学校学習指導要領の確定値表では、第1学年の数と式に一元一次方程式が置かれています。

出方の1つは、式を0と等しい形にして積へ直せる問題です。積が0なら、少なくとも一方の因数が0です。各因数を0とおいた一次方程式をそれぞれ解きます。もう1つは、二乗した式が数に等しい形から平方根を使う問題です。右辺が正か0か負かで、実数の解の数が変わります。

さらに、因数分解がすぐに見つからない式もあります。そのときは平方完成で二乗の形を作るか、解の公式に係数を入れます。どの方法を選んでも元の方程式に戻ることが目標です。見た目で決めた方法が進みにくければ、式を整理して別の入口を選び直せます。

二乗と積の意味をつなぐ

二次方程式は、整理したときに ax² + bx + c = 0 と表せる方程式です。a、b、cは数で、aは0ではありません。x²の係数が0になると二次の項がなくなるため、この形の二次方程式ではなくなります。解とは、代入したとき元の等式を成り立たせる数です。

図1のように、積が0になる道筋は左右に分かれます。例えば (x − 2)(x + 5) = 0 なら、x − 2 = 0 または x + 5 = 0 です。前者からx = 2、後者からx = -5を得ます。両方の因数が同時に0である必要はありません。どちらかが0なら積は0になり、どちらも0でなければ積は0になりません。

図1のように各枝を最後までたどってから解を並べます。同じ解が両方から出る場合は、異なる数として2回数えません。例えば (x − 3)² = 0 は x − 3 = 0 が重なった形で、解はx = 3です。

一方、x² = 9 なら、二乗して9になる数は3と-3です。正の数を二乗しても負の数を二乗しても0以上になるので、x² = -9 を満たす実数はありません。x² = 0 ならx = 0です。平方根を使う前に右辺の符号を見ると、存在しない実数解を書かずに済みます。

平方完成では、x² + 2px + p² = (x + p)² という等式を使います。xの係数の半分をpとし、その二乗を補って一つの二乗にまとめる操作です。補った数は等式の両辺に同じだけ加えます。解の公式も、この操作を一般の係数で行った結果です。

基本例題：二つの枝を最後まで追う

次の方程式を解き、解を整数で答えてください。

x² − 3x − 10 = 0

左辺を (x + m)(x + n) とすると、展開した式は x² + (m + n)x + mn です。そこで和が-3、積が-10となる2数を探します。2と-5は、和が-3、積が-10なので条件に合います。

x² − 3x − 10 = 0

(x + 2)(x − 5) = 0

積が0なので、x + 2 = 0 または x − 5 = 0 です。前者の両辺から2を引くとx = -2です。後者の両辺に5を加えるとx = 5です。したがって、解はx = -2、5です。

図2のように、和と積を照らして括弧を作り、左右の枝を別々に解きます。符号の組を探すとき、積が負なら2数の符号は異なります。絶対値の差が3になる組を見つけた後、和が負になるよう大きい方を負にします。

図2のように得た値を元の左辺へ戻します。x = -2では (-2)² − 3 × (-2) − 10 = 4 + 6 − 10 = 0、x = 5では 5² − 3 × 5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 です。どちらも右辺と一致します。展開して元の左辺に戻ることも、因数分解の符号を確かめる手掛かりです。

積が0の形でない段階で、各項を勝手に0と置くことはできません。例えば和が0でも、正の項と負の項が打ち消し合うことがあります。まず片辺を0にして、左辺全体を積に直してから枝分かれさせます。

平方完成と公式の分かれ目

次の方程式を解き、解を根号を使って正確に答えてください。

2x² + 4x − 1 = 0

整数の因数をすぐに見つけにくいので、平方完成を使います。まず両辺を0ではない2で割り、x²の係数を1にします。

x² + 2x − 1/2 = 0

x² + 2x = 1/2

xの係数2の半分は1、その二乗は1です。両辺に1を加えます。

x² + 2x + 1 = 1/2 + 1

(x + 1)² = 3/2

右辺は正なので、x + 1は正と負の2通りです。√(3/2) = √6/2 を使うと、次のようになります。

x + 1 = ±√6/2

x = -1 ± √6/2

ここで ± は、プラスとマイナスの両方を表します。検算では t = ±√6/2 とおくと t² = 3/2 です。x = -1 + t を元の左辺に代入すると、2(-1 + t)² + 4(-1 + t) − 1 = 2t² − 3 = 0 です。正と負のどちらのtでも成り立ちます。

公式を使うなら、ax² + bx + c = 0 の解は x = (-b ± √(b² − 4ac))/(2a) です。根号内が0以上のときにこの式を実数として使えます。この例ではa = 2、b = 4、c = -1です。根号内は4² − 4 × 2 × (-1) = 24、分母は4なので、x = (-4 ± √24)/4 = -1 ± √6/2となります。cの負号も括弧ごと代入するのが要点です。

平方完成した右辺が0なら、二乗される式は0に限られます。右辺が負なら実数の二乗は負にならないため、実数解はありません。公式でも根号内が負なら実数の範囲で平方根をとれず、実数解がないと判断できます。公式の記号を機械的に埋める前に、この分かれ目を確かめます。

誤答から戻る場所を探す

(x − 4)(x + 1) = 0 に対して、x = 4とだけ答える誤りを考えます。x − 4 = 0 の枝は正しく解けていますが、x + 1 = 0 の枝が抜けています。図3のように、積のそれぞれの因数を0とする2本の道を記録し、後者からx = -1も得ます。

図3のように修正した後、4と-1を元の積に入れます。4なら前の因数が0、-1なら後ろの因数が0になり、どちらも積は0です。解の代入は書いた解が正しいかを確かめますが、抜けた解を見つけるには枝の数も見直す必要があります。

また、(x − 4)² = 7 から x − 4 = √7 とする誤りは、負の平方根を落としています。正しくは x − 4 = ±√7 なので x = 4 ± √7 です。対して (x − 4)² = -7 には実数解がありません。負の数を二乗しても負にはならないからです。右辺が0の場合は x − 4 = 0 となり、解はx = 4です。

公式で b = -3 を代入するときに -b を-3のままにする誤りもあります。-b = -(-3) = 3と一度書き、分母の2aが分子全体にかかることも確認します。符号と括弧を省かず書けば、どこで変わったかを後から追えます。

自分で解く問題

次の4問を、指定された形で答えてください。途中の等式と、元の式への代入も紙に残します。

1. x² + 7x + 12 = 0 を解き、解を整数で答えてください。
2. (x + 3)² = 20 を解き、解を根号を使って正確に答えてください。
3. 3x² − 6x − 2 = 0 を解き、解を根号を使って正確に答えてください。
4. x² − 6x + 11 = 0 について、実数の解を求め、存在しない場合はその理由を答えてください。

解答と確かめ方

1. 和が7、積が12の2数は3と4です。したがって (x + 3)(x + 4) = 0 となり、x + 3 = 0 または x + 4 = 0 です。解はx = -3、-4です。-3を元の左辺に入れると9 − 21 + 12 = 0、-4を入れると16 − 28 + 12 = 0です。両方の値が問題の等式を満たします。

2. 20は正なので、x + 3 = ±√20 = ±2√5です。両辺から3を引き、x = -3 ± 2√5を得ます。元の左辺の括弧に戻すと、それぞれ2√5、-2√5です。どちらも二乗すると4 × 5 = 20となり、問題の右辺に一致します。

3. 両辺を3で割ると x² − 2x − 2/3 = 0 です。定数を右辺へ移して両辺に1を加えると、x² − 2x + 1 = 2/3 + 1 = 5/3 です。よって (x − 1)² = 5/3、x − 1 = ±√15/3、解は x = 1 ± √15/3 です。t = ±√15/3 として元の左辺へ代入すると 3(1 + t)² − 6(1 + t) − 2 = 3t² − 5 = 0 です。t² = 15/9 = 5/3なので、両方とも元の等式を満たします。

4. x² − 6x + 11 = 0 を整理すると x² − 6x + 9 = -2、つまり (x − 3)² = -2 です。実数の二乗は0以上なので、左辺が負の2になる実数xはありません。実数解なしが答えです。元の左辺は (x − 3)² + 2 と書け、どの実数を入れても2以上です。したがって、元の等式の右辺0に戻る値は存在しません。

答えが2つ出た問題では、それぞれを元の式に入れます。解がない問題では、適当な数をいくつか試すだけでは足りません。二乗が0以上という性質を使うと、調べる範囲の実数全体について理由を示せます。

手元に残す要点

積が0なら各因数を0とする場合を調べます。 二乗の右辺が正、0、負のどれかを見ます。 平方完成では係数の半分の二乗を両辺に加えます。 公式には符号を含む係数を入れ、解を元の式へ戻します。

式のどこで止まったかを見る

お子さまが解を1つしか書かなかったときは、答えだけを見て計算力の問題と決めず、積の各因数からどんな場合を考えたかを尋ねます。両方の枝を書けるのに一方の符号を間違えるなら、一次方程式を解く行に戻れます。枝そのものがないなら、片方が0のときもう片方は0でなくても積が0になることを、具体的な数で確かめます。

個別指導で確認する箇所は、式を0に整理した行、方法を選んだ理由、二乗の右辺の符号、元の式への代入です。公式を選んだ場合はa、b、cを指で示してから符号を読み上げてもらうと、転記と計算のどちらでつまずいたかを区別できます。正しい解を得た後も、別の解が残っていないかを式の形に戻って確かめる習慣が、解の漏れを防ぎます。

方法を選び直すための点検

方程式を受け取ったら、まず等号の両側を整理し、二次の項が残っているかを見ます。例えば両辺に同じ二次の項がある場合、移項すると二次の項が消えることがあります。その場合は残った式に応じて解きます。二次の項が残る場合でも、係数や定数を読み取るのは、片辺を0にして同じ次数の項をまとめてからです。

因数分解を試すときは、作った積を展開して確かめます。積の定数項が合っていても、真ん中の項の係数が合わなければ元の式とは別の式です。符号を変更して合わせる前に、2数の和と積の両方を見直します。候補が見つからず手が止まったら、平方完成や公式に移れます。方法を変える際にも、元の式を別の行に残しておくと代入検算に戻りやすくなります。

平方完成で分数が出たときは、分母をそろえて正確に足します。右辺を小数に直して丸めると、根号の中や代入結果が元の値からずれることがあります。係数を割る行では、定数項まで同じ数で割ったかを確かめます。割る数が0でないことも、等式を同値なまま変形するための条件です。

解の公式では、根号内を計算する前に b² と 4ac を別々に書くと符号を追いやすくなります。根号内が正なら正負の2通り、0なら同じ値が重なり、負なら実数解はありません。公式を使った後も、分母の約分が分子の各項に及んでいるかを確認します。分子の一部だけを割ると別の値になるからです。

代入が合わなかった場合は、元の式の写し間違い、括弧の展開、移項の符号の順にたどれます。2つの解のうち片方だけ合う場合も、合わない方を捨てて終わらず、分岐から計算し直します。解が合っていても、平方根の正負や因数のもう一方を調べた記録がなければ、漏れがないかは判断できません。

学習の途中で答えが合わないときは、途中の1行を隠して暗算で補うより、直前の行からどの操作をしたかを書き足すと原因を探せます。両辺に同じ操作をしたか、平方根をとるときに正負を残したかを順に確かめてください。式の変形を説明できれば、異なる形の問題でも適切な入口を選べます。