高校受験の数学 三平方の定理—直角を確かめて平面と空間の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

直角の向かいの辺を選び、長方形と直方体の対角線を自作例題で求めます。斜辺を取り違えた式の直し方と逆の使い分けから、斜辺の判断に効く三平方です。

よくあるのは、中3が斜辺以外を二乗の和に置くという場面です。直角三角形に3つの長さが書かれると、図で横に伸びた辺を何となく右辺に置いてしまいます。計算そのものは合っていても、その式が別の三角形の関係になっていれば、求めたい長さには届きません。まず直角の頂点を指し、その向かいの辺に印を付けると、式の出発点が定まります。保護者がお子さまのノートを見る際にも、答えの数字に加えて、どの辺を斜辺としたかを確かめると、直す箇所が見えてきます。

長さを求める前に、直角の根拠を探す

ここで扱うのは、三平方の定理とその逆、斜辺の判断、平面の長方形と直方体の対角線の長さです。角度を比で求める方法や、直方体以外の複雑な立体の切断は扱いません。

問いの形は、次の3つに整理できます。第1は、直角三角形の2辺が与えられて、残る1辺を求める形です。求める辺が斜辺なら二乗を足し、直角をはさむ辺なら斜辺の二乗から引きます。ただし、この足し引きを先に暗記するよりも、斜辺の二乗を一方に置いた等式を作る方が取り違えを防げます。

第2は、3辺の長さから直角三角形かどうかを判断する形です。この場合は、まだ直角だと決まっていません。最も長い辺を候補として選び、その二乗が残りの2辺の二乗の和に等しいかを調べます。等しいことを確かめてから、三平方の定理の逆を理由に直角だと述べます。

第3は、長方形や直方体の中から、計算に使う直角三角形を取り出す形です。特に直方体では、見えている斜めの線をすぐに使うのではなく、底面の対角線を先に求め、それと高さでできる三角形へ進みます。どの面のどの辺が垂直なのかを言葉にすると、平面の計算を空間へつなげられます。

斜辺は向きではなく、直角との位置で決まる

三角形ABCで∠C=90°とします。直角をはさむ辺はACとBC、直角の向かいにある辺はABです。このABを斜辺と呼びます。図を回転させても、直角の位置が変わらなければ、斜辺はABのままです。紙の上で斜めに見えるかどうかは、斜辺の定義ではありません。

AC=a、BC=b、AB=cとすると、三平方の定理はa²+b²=c²です。二乗の和になっている側には直角をはさむ2辺を置き、もう一方には斜辺を置きます。a+b=cという長さの足し算ではありません。各辺を1辺とする正方形の面積を考えると、a²とb²の和がc²になる関係です。長さの単位がcmなら、式の各二乗はcm²に当たります。

図1のように直角の印を最初に見れば、ACとBCが組になり、ABが反対側に置かれます。aとbを入れ替えても和は同じですが、cを別の辺と入れ替えることはできません。文字を図に書くときには、問題文の名前と一致させます。公式のcという文字を覚えていても、問題の辺BCが斜辺とは限らないからです。

また、直角三角形の斜辺は、ほかの2辺より長くなります。a、bが正の長さなら、c²=a²+b²はa²よりもb²よりも大きいためです。したがって、計算後に斜辺より長い脚が出たら、式の配置を見直す必要があります。この比較は誤りを発見する手掛かりであり、正しい等式による検算の代わりにはしません。

定理と逆では、出発点が違います。定理は「直角である」を出発点として二乗の等式を使います。逆は「二乗の等式が成り立つ」を出発点として直角を結論にします。問題文に直角の印がなく、平行や垂直の条件もないのに、見た目を頼りに定理を使ってはいけません。逆で判断するときも、最長辺がどれかを確かめる段階を飛ばさないようにします。

長方形の対角線を、1本の斜辺として計算する

基本例題です。長方形ABCDで、AB=8cm、BC=6cmとします。頂点は周に沿ってA、B、C、Dの順です。対角線ACの長さを、整数のcmで答えてください。

長方形の隣り合う辺は垂直なので、∠ABC=90°です。三角形ABCを取り出すと、直角をはさむ辺はABとBC、直角の向かいはACです。AC=x cmと置き、長さなのでx>0とします。図2のように、対角線ACが斜辺となる三角形に注目します。

三平方の定理より、次の順に進めます。

8²+6²=x²

64+36=x²

100=x²

x²=100

x>0より、x=10です。したがって、対角線ACは10cmです。x²=100を満たす数には-10もありますが、今回は長さを置いた文字なので負の値を答えに含めません。平方根を求める計算と、図形の長さとして答える段階を分けて考えます。

検算では、求めた10cmを斜辺ACへ戻します。10²=100、8²+6²=64+36=100で、同じ値になります。さらに、10は8よりも6よりも大きく、斜辺としての大小も合っています。長方形の辺の和8+6=14を答えにすると、それはAからBを通ってCへ進む折れた道の長さです。求めるACはその2点を直接結ぶ線分なので、別の量を答えていないかも確かめます。

同じ長方形で未知の辺を求める場合にも、出発する等式の形は変わりません。斜辺が既知でも、まず「直角をはさむ2辺の二乗の和=斜辺の二乗」と書きます。その後、既知の項を移して未知数の二乗を残します。足すか引くかを図の印象で決めず、等式の性質によって決めると、向きの違う図でも手順が揺れません。

根号が残る場合、無理に小数へ直す必要はありません。二乗した値が整数でも、その長さが整数になるとは限らないからです。答え方に根号を使う指定があれば、根号の中から平方数を取り出して簡単にし、最後に単位を付けます。長さを求める途中で丸めると、後の二乗に誤差が入るので、正確な値を保ちます。

箱の中の対角線は、底面と高さを順につなぐ

少し難しい例題です。直方体の底面をABCDとし、その真上の頂点を順にE、F、G、Hとします。AB=9cm、BC=12cm、CG=8cmです。向かい合う頂点AとGを結ぶ、直方体の対角線AGの長さを整数のcmで答えてください。

ここでACは底面の対角線、AGは空間を通る対角線です。文字が1つ違うだけでも、通る場所は異なります。まず底面ABCDの長方形でACを求めます。三角形ABCはBを直角とするので、AC²=AB²+BC²です。

AC²=9²+12²

AC²=81+144

AC²=225

AC>0より、AC=15cmです。まだ求めるAGには届いていません。ここで15cmと答えてしまうと、高さ8cmを使わずに計算を終えたことになります。使っていない条件があるときは、求める線分の端の文字をもう一度読みます。

次に三角形ACGを見ます。直方体の高さの辺CGは底面に垂直なので、底面上の線分ACとも垂直です。したがって、∠ACG=90°で、AGが斜辺です。高さの辺と底面の対角線を2辺とする、新しい直角三角形ができています。

AG²=AC²+CG²

AG²=15²+8²

AG²=225+64

AG²=289

AG>0より、AG=17cmです。これがAとGを直接結んだ長さです。答えを箱の寸法へ戻すと、17²-8²=289-64=225で、底面の対角線の二乗が出ます。その225は9²+12²に等しく、与えた底面の2辺と高さの関係を両段階で満たしています。

考え方の分かれ目は、求める対角線が面上にあるか、箱の内部を通るかです。面上のACなら底面の2辺で終わります。内部を通るAGなら、そのACと高さでもう一度定理を使います。9、12、8をいきなり二乗して足しても計算結果は同じですが、なぜ3つ足せるのかを説明するには、2つの直角三角形が必要です。

途中のACが根号を含む場合には、2回目でACを二乗するので、AC²をそのまま使うこともできます。ただし、これは三角形を省略してよいという意味ではありません。「底面で求めたAC²を、三角形ACGの式へ入れる」と、使う場所を明らかにして計算を短くします。立体図が読みにくければ、底面ABCと縦の断面ACGを別々にかき直すと、必要な直角と斜辺が見つかります。

斜辺を取り違えた式を、図へ戻して直す

三角形PQRで、∠Q=90°、PR=13cm、PQ=5cmとします。QRの長さを整数のcmで求める問題を考えます。QR=x cmと置いたとき、「13²+5²=x²、だからx=√194」とするのが誤答です。二乗の計算をし直しても、この誤りは消えません。誤りの原因は、未知の辺を必ず二乗の和の反対側に置こうとして、QRを斜辺として扱ったことです。

図3のように直角はQにあり、その向かいはPRです。したがって斜辺は13cmのPRで、5cmのPQと未知のQRが直角をはさみます。正しい式は次の通りです。

5²+x²=13²

25+x²=169

x²=169-25

x²=144

x>0より、x=12です。答えはQR=12cmとなります。元の三角形へ戻すと、5²+12²=25+144=169=13²です。12<13なので、求めた脚が斜辺より短いことも確かめられます。誤答の√194は、その二乗が194で13²の169より大きいため、脚なのに斜辺より長くなってしまいます。

もう1つ区別したいのは、3辺が与えられたときの判断です。辺の長さが6cm、8cm、11cmの三角形なら、最長辺は11cmです。6²+8²=36+64=100に対し、11²=121なので等しくありません。この三角形は直角三角形ではありません。図に角の印がないのに、6と8から斜辺を10と計算し直すと、もともとの11という条件を変えてしまいます。

修正するときには「公式を間違えた」とまとめず、直角の見落とし、斜辺の取り違え、移項の符号、平方根の整理のどこに原因があるかを分けます。例えば最初の式が合っていてx²=169+25と続いたなら、斜辺の判断ではなく、等式を変形する段階を直します。間違った最初の行と、そこから生まれた結果を結び付けると、次に見るべき印が具体的になります。

4つの問いで、辺の役割を入れ替える

次の問題は、答えを整数または簡単にした根号を使う形で、長さにはcmを付けて答えてください。問3は直角三角形かどうかを理由とともに答え、直角なら直角の向かいにある辺の長さも書いてください。問題を一通り読んだ後、必要な図を自分でかいて解きます。

問1　札の対角線

縦7cm、横10cmの長方形の札があります。札の1本の対角線の長さを求めてください。

問2　直角をはさむ辺

三角形KLMで∠L=90°、KM=19cm、KL=11cmです。LMの長さを求めてください。

問3　部材でできる三角形

長さが7cm、24cm、25cmの3本の部材を辺として三角形を作りました。この三角形は直角三角形ですか。三平方の定理の逆を使って判断してください。

問4　収納箱の内部

直方体の収納箱の内側の底面は縦4cm、横6cm、高さは7cmです。底面の1つの頂点から、その真上の頂点とは異なる、最も遠い上面の頂点までを結ぶ対角線の長さを求めてください。厚みは考えません。

答えを図形の条件に戻して確かめる

問1の解き方

長方形の対角線で分かれた三角形の直角は、縦と横の辺が出会う頂点にあります。対角線をd cmとすると、斜辺はd cmなので、d²=7²+10²です。計算するとd²=49+100=149、d>0よりd=√149です。答えは√149cmです。149には1より大きい平方数の因数がないので、この根号はこれ以上簡単にしません。

札の条件へ戻して、(√149)²-10²=149-100=49=7²となることを確かめます。縦が7cmであることと一致しています。また149>100なので√149>10となり、対角線は横の辺より長くなります。7+10を計算する方法では、札の縁をたどる長さになり、対角線の長さにはなりません。

問2の解き方

∠Lが直角なので、その向かいのKM=19cmが斜辺です。LM=t cmとすると、KLとLMが直角をはさむ2辺になり、11²+t²=19²です。121+t²=361、t²=361-121=240と進めます。t>0よりt=√240=√(16×15)=4√15です。答えは4√15cmです。

検算では(4√15)²=16×15=240を使います。11²+(4√15)²=121+240=361=19²なので、与えられた斜辺へ戻せます。長さの大小も、240<361より4√15<19となり、脚が斜辺より短い条件を満たします。根号の計算で4×15としてしまうと二乗が240に戻らないので、根号を簡単にした後にもう一度二乗することが有効です。

問3の解き方

最長辺は25cmです。短い2辺の二乗の和は7²+24²=49+576=625、最長辺の二乗は25²=625です。両者が等しいので、三平方の定理の逆より直角三角形です。直角の向かいの辺は25cmです。直角は7cmの辺と24cmの辺の間にできます。

3本が三角形を作れる条件も確かめると、7+24=31>25で、最長辺がほかの2辺の和より短くなっています。答えを出す際には、「625になった」で終わらず、どの定理の逆で、何が結論になったかを書きます。二乗の等式を確認した事実と、直角だという図形の判断を文章でつなぎます。

問4の解き方

底面の対角線をp cm、箱の内部を通る対角線をq cmとします。底面の直角三角形で、p²=4²+6²=16+36=52です。次に、底面の対角線と高さ7cmは垂直なので、q²=p²+7²=52+49=101となります。q>0よりq=√101です。答えは√101cmです。

底面の対角線そのものは√52=2√13cmですが、今回はp²=52を次の式に入れれば計算できます。検算ではq²-7²=101-49=52となり、底面の縦と横の二乗の和16+36に戻ります。√101>7で高さより長く、101>52なので底面の対角線よりも長くなっています。箱の内部の対角線を求めたという、線分の役割にも合う答えです。

式を書く前の短い確認

直角の向かいが斜辺です。
直角をはさむ2辺の二乗の和を、斜辺の二乗と等しく置きます。
3辺から直角を判断するときは、最長辺を選んで定理の逆を使います。
直方体では底面の対角線と高さをつなぎ、答えを元の寸法へ戻します。

ノートのどの行で止まったかを見る

式が立たないときは、計算の練習を増やす前に、直角の頂点と斜辺をそれぞれ指せるかを確かめます。直角を指せるのに斜辺を選べないなら、図を回転させ、向かいの辺という位置関係が保たれることを見ます。斜辺を選べるのに式が崩れるなら、辺の名前と数を図から式へ移す順番を確認します。

個別指導で見る箇所も、本人の最初の等式と、その理由の説明です。「なぜその角が直角なのか」「なぜこの辺が二乗の和の反対側なのか」を尋ね、長方形の性質や直方体の垂直の条件を使えているかを確かめます。保護者がお子さまの途中式を見る場合も、正解数だけで判断せず、図に付けた直角と式が対応しているかに注目できます。

立体で止まる場合は、底面の対角線を求めた段階で、求める線分の端の文字を読み直します。根号で止まる場合は、求めた値を二乗して元の数に戻せるかを確認します。直角の根拠、斜辺の選択、二乗の等式がつながれば、長さの答えを自分の図で説明できます。