高校受験の数学 円周角の定理の逆—四点が一つの円に乗る条件を証明で確かめる｜武蔵野個別指導塾

等しい角の頂点が直線の同じ側かを図と反例で調べ、四点を結ぶ鍵は円周角の定理の逆です。

よくあるのは、中3の図形の問題で2つの角が等しいと気づき、点の位置を調べないまま4点が同じ円の上にあると書く場面です。角の大きさは大事な手がかりですが、どの線分を見ている角か、頂点がその線分を含む直線のどちら側にあるかも結論を支えます。図に円が描かれていない問題では、円を見つける理由を自分の言葉で示す必要があります。

円が描かれていない図から始める

ここでは、円周角の定理の逆を使い、同じ側にある点と角の条件から4点が同じ円周上にあることを示します。接弦定理は扱いません。学習範囲を確かめると、第1学年の数と式には正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式が置かれています。

出方の1つは、2つの角が等しいという条件から、まだ描かれていない円を見つける問題です。もう1つは、直角や角の和を手がかりにして、等しい角を作ってから4点が同じ円周上にあると示す問題です。さらに、点が直線の反対側にある図で、同じ側の場合と条件を区別する問題もあります。

どの場合も、最初に角の両辺が通る2点を調べます。その2点をA、Bとすると、残りの点P、Qは角の頂点です。共通の線分ABを見込む角になっているかを確かめ、その後にP、Qの位置と角の大きさを調べます。等しい数値だけを追うと、別の線分を見ている角を取り違えることがあります。

同じ線分をどちらから見るか

図1のように、異なる2点A、Bを結び、直線ABの同じ側にP、Qをとります。PとQはA、Bとは異なり、どちらも直線AB上にはありません。このとき、∠APB = ∠AQBなら、A、B、P、Qは1つの円周上にあります。これがここで使う円周角の定理の逆です。

図1では、角の両辺がAとBを通ります。頂点P、Qは直線ABの上側にあり、同じ側です。円周角の定理では、同じ弧ABに対する円周角が等しくなります。その逆では、同じ側から線分ABを見る角が等しいことを手がかりに、4点が同じ円周上にあると判断します。仮定と結論を入れ替えた命題なので、元の定理の名前だけでなく「逆」と書きます。

角の記号は真ん中の文字が頂点です。∠APBはPを頂点とし、辺PAとPBでできる角です。∠AQBもAとBを両端に持ちます。一方、∠PABは頂点がAで、同じ線分ABを見る角としてそのまま組にすることはできません。記号を読む際は、真ん中を丸で囲み、両端がそろうかを確かめると整理できます。

「同じ側」は線分ABの上か下かを紙の端に合わせて判断する言葉ではありません。線分を両方に延ばした直線ABを境にして、PとQが同じ半平面にあるという意味です。図を回転しても位置関係は変わりません。点が直線上にある場合、ここで述べた条件は使えません。角が0°や180°となる並びでは、3点を通る通常の円も決まりません。

なぜ同じ側が必要か、角が60°の場合を想像してください。A、B、Pを通る円を描くと、直線ABのPと反対側の円周上にある点Rから見る角∠ARBは120°です。同じ円でも、反対側からは一般に同じ角にはならず、2つの角の和が180°になります。逆向きに考えると、反対側の2点については角が等しいだけでは足りません。90°同士という特別な場合には和も180°なので、同じ円周上にあることがあります。

基本例題：角の等しさから円を見つける

異なる4点A、B、C、Dについて、CとDは直線ABの同じ側にあり、どちらも直線AB上にありません。∠ACB = 48°、∠ADB = 48°です。4点A、B、C、Dが同じ円周上にあることを証明してください。また、∠AOBを、Cを含まない弧ABに対する中心角とするとき、度を単位とする整数で求めてください。ただしOはその円の中心です。

図2のように、まず2つの角の頂点と、両辺が通る点を対応させます。CとDが同じ側という条件を、数値の等しさと別の行に書くと、使う定理の条件が見えます。

証明：

仮定より、∠ACB = 48°、∠ADB = 48°です。

したがって、∠ACB = ∠ADBです。

また、CとDは直線ABの同じ側にあります。

よって、円周角の定理の逆から、4点A、B、C、Dは同じ円周上にあります。

中心角の問いでは、まずCを含まない弧ABを確かめます。∠ACBはその弧に対する円周角です。円周角は同じ弧に対する中心角の半分なので、

∠AOB = 48° × 2 = 96°

となります。答えは96°です。逆の定理で円があると示した後に、円周角の定理を使いました。円があることを示す前に円周角の定理を使うと、根拠が循環するので順番に気をつけます。

検算では、中心角96°の半分が48°となり、Cの角に戻ることを確かめます。DもCと同じ側にある円周上の点なので、同じ弧に対する円周角は48°です。2つの与えられた角と位置の条件に戻りました。図は角の位置関係を示すもので、見た目を測って48°と判断するのではありません。

もしCとDが同じ側にあることを問題から読み取れなければ、上の証明の3行目を書けません。図で同じ側に見えても、点の配置が与えられているかを確認します。条件が不足している場合は、勝手に補わず、そのままでは逆を適用できないと判断します。

反対側にあるときの分かれ目

異なる4点E、F、G、Hについて、GとHは直線EFの反対側にあり、どちらも直線EF上にありません。∠EGF = 65°、∠EHF = 115°です。4点が同じ円周上にあることを証明してください。角の大きさは度を単位とする整数のまま扱います。

GとHは反対側なので、同じ側の点についての逆をそのまま使うことはできません。そこで、E、F、Gを通る円を考えます。3点は一直線上にないため、この円は1つに決まります。この円の中心をOとします。Gを含まない弧EFの中心角は130°なので、Oは直線EFのGと同じ側にあり、二等辺三角形OEFから∠OEF=25°です。三角形EFHの内角の和より0°<∠FEH<65°です。Hは反対側なので∠OEH=25°+∠FEH<90°となります。Oから直線EHに下ろした垂線の足をMとすると、Mは半直線EH上でEとは異なります。Mを中点としてEの反対側にJをとれば、直角三角形OMEとOMJは合同なのでOJ=OEです。よってJはこの円上にあり、E以外の交点になります。JはGと直線EFの反対側です。

円周上のGとJはEFの反対側にあるので、円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°です。よって、

∠EJF = 180° − 65° = 115°。

また、HとJは半直線EJ上にあるので、∠FEH = ∠FEJです。三角形EFHとEFJでは、Eの角が等しく、HとJの角もともに115°です。内角の和からFの角も等しくなります。辺EFは共通で、その両端の角がそれぞれ等しいため、2つの三角形は合同です。対応する辺からEH = EJとなります。HとJは同じ半直線上でEからの距離が等しいため一致し、Hも円周上にあります。

この証明で、GとHが反対側にあることは、円周上のJの位置と、向かい合う角を選ぶために使っています。角の和を検算すると65° + 115° = 180°です。円周上の反対側の点から見た角はこの和に戻り、問題の条件と一致します。角の和が180°でない場合、この結論は成り立ちません。例えば65°と105°では和が170°なので、4点が同一円周上にあると仮定すると、向かい合う角の和が180°という性質に反します。

同じ側では同じ線分を見る角の等しさ、反対側ではその角の和が180°というように、位置を見てから条件を選びます。両方の角が90°の場合は、和が180°でもあり、等しくもあります。それを一般の角に広げないことが分かれ目です。

誤答を図で点検する

図3のように、A、Bを結ぶ線分の反対側にP、Qを置き、∠APB = ∠AQB = 60°とします。「角が等しいから円周角の定理の逆により4点は同じ円周上にある」という答えは誤りです。

原因は、等しいという条件だけを見て、頂点が直線ABのどちら側にあるかを落としたことです。図3のPとQは反対側にあります。もし4点が同じ円周上にあれば、向かい合う角の和は180°ですが、60° + 60° = 120°です。180°にならないので、4点は同じ円周上にはありません。

修正するときは、まず直線ABを延ばしてP、Qの位置を確かめます。次に、同じ側なら同じ線分を見る角が等しいか、反対側なら角の和が180°かを調べます。この例では反対側で和が120°なので、逆を使う証明に進まず、同一円周上にはないと結論します。

もう1つの誤りは、同じ側にあるという事実から角も等しいと決めることです。点を動かせば角の大きさは変わります。同じ側にあることは条件の一部であり、角が等しいことも別に必要です。証明では「位置」「見込む線分」「角の等しさ」をそれぞれ根拠とともに書きます。

手を動かして確かめる

次の4問では、点はそれぞれ異なり、角の頂点は指定された直線上にないものとします。角度は度を単位とする整数で答え、証明では使った条件と定理を記してください。

1. C、Dは直線ABの同じ側にあり、∠ACB = 37°、∠ADB = 37°です。A、B、C、Dが同じ円周上にあることを証明し、Cを含まない弧ABに対する中心角を求めてください。
2. R、Sは直線PQの同じ側にあり、∠PRQ = 72°、∠PSQ = 68°です。4点P、Q、R、Sは同じ円周上にありますか。理由も述べてください。
3. M、Nは直線KLの反対側にあり、∠KML = 54°、∠KNL = 126°です。4点が同じ円周上にあることを証明してください。
4. U、Vは直線XYの反対側にあり、∠XUY = 80°、∠XVY = 80°です。4点は同じ円周上にありますか。理由も述べてください。

答えと考え方

1. 仮定より∠ACB = ∠ADBです。またC、Dは直線ABの同じ側です。円周角の定理の逆により、A、B、C、Dは同じ円周上にあります。同じ弧に対する中心角は円周角の2倍だから、37° × 2 = 74°です。74°の半分は37°で、CとDの与えられた角に戻ります。

2. 同じ円周上にはありません。もし同じ円周上にあれば、同じ側のRとSから線分PQを見る円周角は等しくなります。しかし72°と68°は等しくありません。仮定した円の性質と与えられた角が食い違うため、円は存在しません。差は72° − 68° = 4°で、等しいという条件を満たさないことを確認できます。

3. K、L、Mを通る円を考えます。円の中心をOとします。Mを含まない弧KLの中心角は108°なので、Oは直線KLのMと同じ側にあり、∠OKL=36°です。三角形KLNの内角の和より0°<∠LKN<54°です。Nは反対側なので∠OKN=36°+∠LKN<90°です。Oから直線KNへの垂線の足をUとすると、Uは半直線KN上でKとは異なります。Uを中点としてKの反対側にTをとると、直角三角形OUKとOUTの合同からOT=OKです。したがってTは半直線KNと円とのK以外の交点です。TはMと直線KLの反対側です。円に内接する四角形の向かい合う角の和より、∠KTL = 180° − 54° = 126°です。∠LKT = ∠LKNで、∠KTL = ∠KNLです。三角形KLTとKLNでは残りのLの角も等しく、共通の辺KLとその両端の角がそれぞれ等しいので合同です。よってKT = KNで、同じ半直線上のTとNは一致します。したがってNも円周上にあります。54° + 126° = 180°となり、反対側の角の条件に戻ります。

4. 同じ円周上にはありません。もしあれば、反対側の円周角の和は180°です。ところが80° + 80° = 160°なので矛盾します。角が等しくても、直線XYの反対側という位置を無視してはいけません。90°同士なら和は180°ですが、ここで与えられた角は80°です。

要点を短く

同じ側にある2点から同じ線分を見る角が等しければ、4点は同一円周上です。 反対側にある2点では、2つの角の和が180°かを調べます。 証明には点の位置、共通の線分、角の根拠を書きます。

答えまでの道筋を見直す

お子さまが図に円を描けても、証明で「角が等しい」しか書けないときは、その角の両辺がどの2点を通るか尋ねます。AとBを指せたら、次に角の頂点が直線ABの同じ側か反対側かを、直線を延ばして確かめます。直線を延ばす前の見た目で判断していた場合は、配置を変えた図でも同じ説明ができるか試します。

個別指導では、正しい答えに着いた場合も、同じ側という条件を自力で挙げたか、円があると示す前に円周角の定理を使っていないかを確認します。反対側の角の和が180°にならない例を説明できれば、定理を使えない場面も区別できます。角と点の位置を結びつける説明が、円を見つける根拠になります。