高校受験の数学 関数y=ax²の変域—増減と変化の割合を区間ごとに分けて考える｜武蔵野個別指導塾

0をまたぐ区間の最小値や、負の係数での最大値を、平方と端の値から読み解く変域の考え方をたどります。

よくあるのは、中3が放物線の左右の端に対応する値を計算し、小さい方をそのまま最小値とする場面です。途中に原点があると、両端より小さい値をとることがあります。端を調べる計算は必要ですが、それだけで範囲が決まるとは限りません。xが動く道筋を0で区切り、yがどちらに動くかを追ってみましょう。

区間を読む問題で求められること

ここではy=ax²の区間内の増減から変域を求め、両端の値の差から変化の割合を計算します。微分を使わず、二乗と0からの距離を手がかりに考えます。学習範囲の確認に用いる中学校学習指導要領の確定値表には、第1学年の数と式として正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式が挙げられています。

関数y=ax²の変域では、xがとる範囲からyがとる範囲を求めます。たとえば、xが負から正まで動くとき、端の値だけでなく途中の0に注目します。また、aが負なら上下の向きが逆になり、0で最大値をとります。もう一つの型は、xがある値から別の値まで変わるときの変化の割合です。こちらは区間全体でのyの増加量をxの増加量で割ります。

変域と変化の割合は似た言葉ですが、答えるものが違います。変域は通過するyの値の範囲で、変化の割合は2点の間での平均的な変化です。答案を書く前に、どちらを求められているか線を引いて区別しましょう。

0からの距離と値の動き

xの変域が -2以上3以下なら、両端を含み、その間の数もとります。記号では -2≦x≦3 です。整数だけでなく、-1/2や1/3も含みます。等号が付いているので、端の -2と3も実際に使えます。

図1のように、x²はxの符号にかかわらず0以上です。xが0から離れるほどx²は大きくなります。反対に、負の側から0へ近づくと、xは増えてもx²は小さくなります。たとえば -3、-2、-1、0の順では、二乗は9、4、1、0の順です。

図1の左右で同じ距離にある -2と2は、どちらも二乗すると4です。aが正なら、この二乗に正の数をかけるので大小の向きは保たれます。aが負なら、負の数をかけることで大小が逆になります。したがって0を含む区間では、aが正ならy=0が最小、aが負ならy=0が最大です。a=0ならyは常に0で、どの区間でも変域はy=0です。

区間が0を含まないときは、0に近い端と遠い端を見比べます。区間が0をまたぐとき、0から遠い方の端が二乗の大きい方です。両端の距離が同じなら、両端のyは等しくなります。グラフの見た目だけに頼らず、0が範囲に入るか、両端が0からどれだけ離れているかを順に確かめます。

変化の割合は、xがpからqに変化するとき、pとqが異なることを前提に、次の式で求めます。

変化の割合 = yの増加量 ÷ xの増加量 = (aq² − ap²) ÷ (q − p)

ここでq² − p² = (q − p)(q + p)なので、変化の割合はa(p + q)です。これは区間の両端から求める値です。途中で増加と減少が切り替わっても、この計算は両端の差を表します。xの増加量が0なら割ることができないため、変化の割合はこの式では求められません。

範囲の端をどう扱うか

不等号の向きにも意味があります。例えば0≦y≦18は、0と18を含み、その間の値もとるという答えです。最小値と最大値を別々に求めてから、小さい方を左に置くと、負の数を含む場合にも書きやすくなります。最小値が -48、最大値が0なら、-48≦y≦0です。0≦y≦-48と逆に並べると、どの数も条件を満たせません。

端を代入した後は、その値が最大か最小かの理由を添えます。0を含む区間では、原点に対応する値と両端の値を並べて終わるのではなく、0からの距離が途中でどのように変わるかを考えます。負の側から0までと、0から正の側までを分ければ、それぞれで二乗が増えるか減るかを追えます。各部分で得た範囲を合わせると、全体の範囲になります。

変化の割合を計算する際には、引く順番を上下でそろえます。終わりのyから始めのyを引いたなら、下も終わりのxから始めのxを引きます。逆に両方とも始めから終わりを引いても商は同じですが、片方だけ順番を変えると符号が逆になります。負の値を引くときは括弧を残して書くと、符号の間違いを見つけやすくなります。

左右対称と区間の違い

放物線が左右対称であっても、指定されたxの区間が左右対称とは限りません。例えば負の端が0から1離れ、正の端が0から3離れていれば、端での二乗は等しくありません。一方、両端が0から同じ距離なら、係数が正でも負でも両端のyは一致します。そのとき変化の割合は、異なる2つのxに対応するyの差が0なので0です。途中のyまで一定という意味ではありません。

また、xが負の範囲内で増えるときは、数直線で右に進みます。負の値が大きくなることと、絶対値が大きくなることは別です。0へ近づく動きか、0から離れる動きかを言葉にしてから二乗の大小を考えると、符号の見落としを防げます。

たとえば変化の割合が正でも、区間の途中で常にyが増えているとは限りません。始めと終わりを比べて終わりの値が大きいことを示す値だからです。逆に変域は、途中に現れる最も小さい値と大きい値を含めて調べます。求める量に応じて、途中の動きを見る目的が変わります。

基本例題：0を通る区間

関数y=2x²について、xの変域が -1≦x≦3 のときのyの変域を求めなさい。また、xが -1から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。答えは整数で表しなさい。

まず端を代入します。x=-1では、

y = 2×(-1)² = 2×1 = 2

x=3では、

y = 2×3² = 2×9 = 18

両端の値は2と18ですが、これで最小値を2と決めることはできません。-1≦x≦3には0が含まれ、x=0ではy=0だからです。x²は0以上で、2をかけたyも0以上です。よって0より小さいyは現れません。

図2のように、xが -1から0に近づくとyは2から0へ減り、0から3に進むと0から18へ増えます。2つの区間を合わせて、0以上18以下の値をとります。したがってyの変域は 0≦y≦18 です。端も原点も含まれるので、両方に等号を付けます。

次に変化の割合を計算します。xの増加量は3 − (-1) = 4、yの増加量は18 − 2 = 16です。よって16÷4 = 4です。途中で一度減ることは、端から端への増加量を求める計算と矛盾しません。式a(p + q)でも、2×((-1) + 3) = 4となります。

検算では、問題の両端へ戻ります。x=-1と3でyはそれぞれ2と18となり、その差16はxの差4の4倍です。さらに範囲内のx=0でy=0となり、提示した最小値を実際にとります。最大値18もx=3で実際にとるので、両端の扱いまで確認できます。

係数が負のときは上下が入れ替わる

関数y=-3x²について、-4≦x≦2 のときのyの変域と、xが -4から2まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。

x=-4ではy=-3×16=-48、x=2ではy=-3×4=-12です。区間に0が含まれるため、x=0の値も調べるとy=0です。x²は0以上なので、負の数 -3をかけたyは0以下です。したがって最大値は0です。

最小値を決めるには、0からの距離を比べます。-4の距離は4、2の距離は2で、遠い端は -4です。二乗が最大の16となり、負の係数をかけた値は最も小さい -48です。答えは -48≦y≦0 です。

変化の割合では最大値と最小値を引くのではなく、xの始めと終わりに対応する値を使います。xの増加量は2 − (-4)=6、yの増加量は -12 − (-48)=36です。よって36÷6=6です。別の式でも -3×((-4)+2)=6となります。

答えを元の条件に戻すと、始めの値は -48、終わりの値は -12で、その差36は6の6倍です。範囲内の0で最大値0、端の -4で最小値 -48をとります。区間がたとえば負の側だけにある場合は、0を最大値の候補に入れられません。0を含むかどうかが、調べる点の分かれ目です。

端だけを比べた誤答を直す

基本例題で「両端が2と18だから 2≦y≦18」とすると誤答です。原因は、xが端から端まで動く途中の値を調べていないことです。図3のように、区間に含まれる0を代入するとy=0となり、誤答の範囲から外れます。この1点で誤りだと確かめられます。

図3の修正では、0を候補に足すだけでなく、それが本当に最小かも説明します。x²は負にならず、2x²も負にならないので、0より下の値はありません。端の18は0から最も遠いx=3でとります。よって 0≦y≦18 と書き直せます。

もう一つの誤りは、負の係数でも0を最小とすることです。たとえばy=-3x²なら、x=0で0ですが、x=1で -3です。負の数をかけたときに大小が逆になることを、具体的な代入で確認します。誤答を直すときは、範囲内の値を1つ代入して反例を探し、その後で範囲全体を説明します。

手を動かす問題

次の4問は、指定された形で答えなさい。xは示された範囲の実数をとり、両端を含みます。

1. y=3x²、1≦x≦4のとき、yの変域を整数で求めなさい。
2. y=-2x²、-3≦x≦1のとき、yの変域を整数で求めなさい。
3. y=(1/2)x²で、xが -2から4まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。
4. y=-x²で、xの変域が -5≦x≦-2のとき、yの変域と、xが -5から -2まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。

問題の答えと道筋

1. xは正の範囲にあり、1から4へ増えるとx²も1から16へ増えます。y=3x²の両端は3×1=3、3×16=48です。したがって 3≦y≦48 です。問題のx=1と4に戻して代入すると、それぞれ3と48となり、両方の端をとることが確かめられます。

2. 区間に0が含まれます。x²は0以上で、-2をかけるとyは0以下なので、x=0のとき最大値0です。0から遠い端は -3で、最小値は -2×(-3)²=-18です。よって -18≦y≦0 です。もう一方の端x=1では -2となり、この範囲に収まります。x=-3と0はともに元の範囲内で、両端の値を実際にとります。

3. x=-2のときy=(1/2)×4=2、x=4のときy=(1/2)×16=8です。xの増加量は4 − (-2)=6、yの増加量は8 − 2=6です。したがって変化の割合は6÷6=1です。元の2つのxに戻した値の差は6で、xの差6の1倍です。途中の最小値を使って差を作らないようにします。

4. 区間に0は含まれません。x=-5から -2へ動くと0に近づき、x²は25から4へ減ります。負号を付けたyは -25から -4へ増えるので、変域は -25≦y≦-4 です。xの増加量は -2 − (-5)=3、yの増加量は -4 − (-25)=21です。変化の割合は21÷3=7です。元の端に代入して得た -25と -4の差は21で、xの差3の7倍です。どちらの端も範囲に含まれるので、変域の等号も妥当です。

覚えておくこと

• 変域を求める前に、xの範囲が0を含むか調べます。
• x²は0からの距離が大きいほど大きくなります。
• aが負なら、x²の大小とyの大小は逆です。
• 変化の割合は、対応する両端のyの差をxの差で割ります。

答案のどこを見るか

お子さまが両端だけを計算して止まったときは、区間の中に0があるかを数直線上で指してもらいます。0を見つけても最小と最大を逆にした場合は、係数の符号と、範囲内の別の値を代入した結果を並べます。誤りが計算なのか、値の動きの読み違いなのかが見えます。

個別指導で確かめるなら、最初にxの範囲、次に候補となるx、最後に対応するyを書く順番を見ます。変化の割合では、最大値と最小値の差を使っていないか、始めと終わりの対応を矢印で説明してもらいます。自分の答えに端と途中の値を戻し、範囲から外れる値がないかを調べる習慣が、変域の読み違いを減らします。