高校受験の数学 相似の証明—対応する角と辺をそろえて相似条件を使う｜武蔵野個別指導塾

平行線や対頂角から三角形の相似を証明し、対応を取り違えずに長さを求める道筋をたどります。辺の組は頂点の対応順から決めます。

よくあるのは、中3で相似な三角形を見つけたあと、対応しない辺を同じ比に並べてしまう場面です。図の上では近くにある2辺でも、相似な三角形の中で同じ役割を持つとは限りません。頂点の対応を証明の中で確かめてから長さの式へ進むと、どの辺を比べるかを自分で説明できます。答えが出たあとも、図の条件に戻して長さの関係を確かめます。

相似が必要になる場面

相似の証明では、角の等しさや辺の比から、頂点どうしの対応を決めていきます。第1学年の学習範囲には正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式が含まれます。ここでは三角形の相似条件と頂点の対応を使い、証明から辺の長さまでを考えます。

出方の1つは、三角形の内部に平行な線が引かれ、小さい三角形と全体の三角形を比べる型です。共通の角と平行線の角を使うと、相似を示せます。もう1つは、交わる2直線と平行線によって向きの異なる三角形ができる型です。対頂角と錯角を使い、向きに惑わされず対応を決めます。辺の長さやその比が与えられ、角と合わせて相似条件を選ぶ型もあります。

長さだけが問われても、比の式を最初に置くのではなく、なぜその辺が対応するのかを確かめます。図に記号を書き込み、仮定から得られることと結論を分けると、図の見た目に頼らず順序を追えます。相似比から面積比や体積比へ進む問題は、ここでは扱いません。

頂点を並べて対応を見る

三角形ABCと三角形DEFが相似で、AとD、BとE、CとFがそれぞれ対応するとき、△ABC∽△DEFと書きます。この順序が対応を表します。辺ABはDEに、BCはEFに、CAはFDに対応し、角Aは角Dに対応します。ABCという並びの1番目とDEFの1番目を結びつけ、2番目、3番目も同じように見ます。

図1のように、対応する辺を同じ向きで並べると、AB:DE = BC:EF = CA:FDです。逆にDE:ABのように大きい側から小さい側へ比べるなら、残りの辺もEF:BC、FD:CAと向きをそろえます。ABとEFは互いに対応していないため、同じ位置に並べる根拠にはなりません。

三角形の相似を示す条件は3つあります。3組の辺の比がすべて等しいこと、2組の辺の比が等しくその間の角が等しいこと、2組の角がそれぞれ等しいことです。2組の辺を使う場合の「間の角」は、選んだ2辺が接する頂点の角です。比が合う2辺とは別の場所の角が等しくても、その条件をそのまま使うことはできません。

角から始めるときは、角を等しいとする理由を添えます。平行線の同位角や錯角、向かい合う対頂角、2つの三角形に共通する角が手がかりになります。どの角がどの角と等しいかを書けば、残る頂点も対応し、相似記号の後の文字順を決められます。

基本例題：平行線で小さい三角形を取り出す

三角形ABCで、Dは辺AB上、Eは辺AC上にあり、DEとBCは平行です。AD = 3 cm、AB = 6 cm、AE = 5 cm、BC = 8 cmとします。△ADEと△ABCが相似であることを証明し、ACとDEの長さをそれぞれ整数のcmで求めてください。

図2のように、DとEを通る線がBCに平行です。仮定は点の位置、平行関係、与えられた長さです。結論は2つの三角形の相似と、指定された2辺の長さです。角の理由を先に確認してから比を使います。

証明を順に書きます。

△ADEと△ABCにおいて、DはAB上、EはAC上にあるので、

∠DAE = ∠BAC　……共通の角

また、DEとBCは平行なので、同位角から、

∠ADE = ∠ABC

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ADE∽△ABC

対応はAとA、DとB、EとCです。したがって、ADとAB、AEとAC、DEとBCがそれぞれ対応します。小さい三角形から大きい三角形への比は、AD:AB = 3:6 = 1:2です。

ACをx cmとすると、対応する辺を小さい側から大きい側へ並べて、

AE:AC = AD:AB

5:x = 3:6

3x = 5 × 6

3x = 30

x = 10

よってACは10 cmです。DEをy cmとすると、同じ対応を使って、

DE:BC = AD:AB

y:8 = 3:6

6y = 8 × 3

6y = 24

y = 4

よってDEは4 cmです。元の図に戻すと、AE:AC = 5:10 = 1:2、DE:BC = 4:8 = 1:2で、AD:ABとも一致します。点Eは辺AC上なのでAEよりACが長く、答えの10 cmもその条件に合います。Dが辺AB上にあることからDB = 6 − 3 = 3 cmとも確かめられます。

もし3:6とBC:DEを等しく置けば、小さい側から大きい側と大きい側から小さい側が混ざります。計算を始める前に、式の各比の左側を小さい三角形、右側を大きい三角形の辺にそろえると、その取り違えを見つけやすくなります。

向きが変わる交点の例題

2直線BEとCDが点Pで交わり、BとEはPをはさんで反対側、CとDもPをはさんで反対側にあります。BCとDEは平行です。BC = 8 cm、DE = 12 cm、PB = 4 cm、PC = 5 cmとします。△PBCと△PEDが相似であることを証明し、PEとPDを分数または整数のcmで求めてください。

△PBCと△PEDにおいて、直線BEとCDが交わるので、対頂角から∠BPC = ∠EPDです。また、BCとDEは平行なので、錯角から∠PBC = ∠PEDです。2組の角がそれぞれ等しいので、△PBC∽△PEDです。PとP、BとE、CとDが対応します。三角形が反対向きに見えても、文字の順は角の等しさに従って決めます。

対応する辺から、PB:PE = PC:PD = BC:ED = 8:12 = 2:3です。PEをs cm、PDをt cmとすると、

4:s = 2:3 なので 2s = 12、s = 6

5:t = 2:3 なので 2t = 15、t = 15/2

PEは6 cm、PDは15/2 cmです。PB:PE = 4:6 = 2:3、PC:PD = 5:(15/2) = 2:3で、与えられたBC:DEとも一致します。Pをはさんで反対側という条件によりBE = 4 + 6 = 10 cm、CD = 5 + 15/2 = 25/2 cmとなります。どちらも交点Pで2つの部分に分かれています。

分かれ目は、点が同じ側か、Pをはさんで反対側かです。反対側なら上のように対頂角を利用できます。同じ側の図では、その角を対頂角と書けるとは限らないので、点の並びを確認し、問題の仮定から使える角を探し直します。見た目が似た2つの図でも、点の位置が違えば理由の書き方も変わります。

比を取り違えたときの直し方

図2の条件で、ACをx cmとして「AD:AB = AC:AE、3:6 = x:5」と置く誤答を考えます。この式を解くとx = 5/2となります。しかしEは辺AC上にあり、AEが5 cmですから、全体のACが5 cmより短いという結果は条件に合いません。

図3のように、AD:ABは小さい三角形から大きい三角形への比ですが、AC:AEは逆向きです。原因は対応する辺の組を選べても、2つの比の向きをそろえていないことです。ADとAB、AEとACを組に戻し、小さい側から大きい側にそろえて3:6 = 5:xと直します。これならx = 10となり、AEがACの半分という条件にも戻ります。

別の誤りは、△ADE∽△ACBと書くことです。共通のAは合っていますが、これではDがCに対応することになります。平行線から得た∠ADE = ∠ABCを見直し、DにBを合わせて△ADE∽△ABCと並べます。文字の並びを直すことは、後のDE:BCという辺の組を直すことにもつながります。

また「図を見ると同じ形だから相似」と書くと、等しい角の根拠が残りません。線が平行であることが仮定にあるか、等しい角が同位角か錯角かを確かめてから、相似条件を書き添えます。長さがもっともらしくても、理由の欠けた証明は補う必要があります。

手を動かして試す問題

次の問題はそれぞれ別の図をかいて取り組んでください。長さは指定した形で、証明は使った角や辺の根拠と相似条件を示して書きます。

1. 三角形RSTで、Uは辺RS上、Vは辺RT上にあり、UVとSTは平行です。RU = 4 cm、RS = 10 cm、RV = 6 cmとします。△RUV∽△RSTを証明し、RTを整数のcmで求めてください。

2. 2直線ACとBDが点Oで交わり、AとC、BとDはそれぞれOをはさんで反対側にあります。ABとCDは平行です。OA = 3 cm、OC = 5 cm、OB = 6 cmとします。△OAB∽△OCDを証明し、ODを整数のcmで求めてください。

3. 三角形GHIと三角形JKLで、GH = 6 cm、HI = 9 cm、JK = 8 cm、KL = 12 cm、∠GHI = ∠JKLです。相似を証明し、GI = 10 cmのときJLを分数のcmで求めてください。

4. 三角形MNPと三角形QRSで、MN = 5 cm、NP = 7 cm、MP = 8 cm、QR = 15 cm、RS = 21 cm、QS = 24 cmです。相似を証明し、対応する頂点を相似記号の順序で示してください。

答えと筋道

1. △RUVと△RSTにおいて、∠URV = ∠SRTは共通の角です。UVとSTは平行なので、同位角より∠RUV = ∠RSTです。2組の角がそれぞれ等しいため、△RUV∽△RSTです。RTをa cmとすると、RU:RS = RV:RTより4:10 = 6:aです。4a = 60なのでa = 15です。答えは15 cmです。RV:RT = 6:15 = 2:5、RU:RS = 4:10 = 2:5と、元の条件へ戻して比を確かめられます。Vが辺RT上にあることと6 < 15も合っています。

2. △OABと△OCDにおいて、対頂角より∠AOB = ∠CODです。ABとCDは平行なので、錯角より∠OAB = ∠OCDです。2組の角がそれぞれ等しいため、△OAB∽△OCDです。ODをb cmとすると、OA:OC = OB:ODから3:5 = 6:bです。3b = 30なのでb = 10です。答えは10 cmです。3:5と6:10はいずれも3:5で、与えられた2組の長さの関係に戻ります。BとDはOをはさんでいるため、BD = 6 + 10 = 16 cmです。

3. △GHIと△JKLにおいて、GH:JK = 6:8 = 3:4、HI:KL = 9:12 = 3:4です。さらにその間の角は仮定より∠GHI = ∠JKLです。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、△GHI∽△JKLです。JLをc cmとするとGI:JL = 3:4なので10:c = 3:4、3c = 40、c = 40/3です。答えは40/3 cmです。10:(40/3) = 3:4で、元の2組の辺の比に一致します。等しい角が、比較した2辺の間にある点も仮定へ戻して確認します。

4. △MNPと△QRSにおいて、MN:QR = 5:15 = 1:3、NP:RS = 7:21 = 1:3、MP:QS = 8:24 = 1:3です。3組の辺の比がすべて等しいので、△MNP∽△QRSです。対応はMとQ、NとR、PとSです。逆に大きい三角形の3辺をそれぞれ3で割ると15/3 = 5、21/3 = 7、24/3 = 8となり、与えられた小さい三角形の各辺に戻ります。

書き終えたら見るところ

仮定から等しい角や辺の比を探し、理由を添えます。
相似条件を示して、対応する頂点を同じ順に並べます。
辺の比は対応と向きをそろえ、求めた長さを元の条件へ戻します。

どの段階で迷ったかを確かめる

お子さまが式に進めないときは、まず2つの三角形を指でたどり、等しい角の組を言えるかを見ます。角を見つけられても相似の文字順が変わるなら、1つ目、2つ目、3つ目の頂点を対応させる練習が役立ちます。比の計算で止まる場合は、対応する辺を別々の色や印で結び、小さい側から大きい側へ式を読み直します。

個別指導で確認する際も、答えの数字だけでなく、平行線や対頂角を理由として挙げた箇所と、相似条件の選び方を見ます。正しい答えでも証明に理由がなければ、どの仮定からその角が等しいと言えるかをたずねます。反対に証明が正しく比だけが逆なら、文字順から辺の組をたどり直します。対応する頂点が見えれば、証明と長さの計算が同じ筋道でつながります。