高校受験の数学 平方根の意味—二乗すると元に戻る数と根号の表す値を区別する｜武蔵野個別指導塾

√9が表す値と9の平方根を区別し、整数の二乗を使って根号の値をはさむ方法や負号を付けた数の大小を確かめます。

よくあるのは、中3の生徒が「√9」を見て、3と-3の両方を書きたくなる場面です。3も-3も二乗すると9ですが、記号√9が表す値はそのうちの正の数です。問いが「9の平方根」なのか「√9の値」なのかで、求められる答えは変わります。同じ9が見えても、問いの言葉まで読んでから答えを選びましょう。

何を答える問題か

ここでは平方根と根号の意味、大小の比較、根号の値がどの整数の間にあるかを扱います。根号を含む四則計算や分母の有理化は扱いません。

問題の型は大きく3つあります。まず、ある数の平方根や、根号で表した数の値を求める型です。次に、根号を含む数を大小の順に並べる型があります。さらに、根号の中の数を前後の整数の二乗と比べて、その値をはさむ整数を探す型があります。

どの型でも出発点は二乗です。ただし、二乗した結果から元の数を探すときは、正と負の両方が候補になります。一方、√という記号自体には正負の選び方が決まっています。問題の条件と記号の意味を分ければ、符号を感覚で決めずに済みます。

中学校の学習範囲では、正負の数や文字を用いた式を学んだ後に、平方根を扱います。負の数の二乗が正になることや、数直線で右にある数ほど大きいことを使います。

二乗から元の数へ戻る道

ある数を二乗してaになるとき、その数をaの平方根といいます。例えば4を二乗して16になり、-4を二乗しても16になります。したがって16の平方根は4と-4です。正の数の平方根は、絶対値が等しく符号が反対の2つです。

正の数aについて、正の平方根を√aと表します。負の平方根は-√aです。つまり16の平方根は√16と-√16であり、それぞれ4と-4です。√16という記号に、負の値まで含まれているわけではありません。

0を二乗すると0ですから、0の平方根は0です。0は正でも負でもなく、√0も0です。また、どんな数を二乗しても負にはならないので、負の数には中学校で扱う数の範囲で平方根がありません。数の前に付いた負号と、根号の中の負号は別の場所にあります。-√16は-4ですが、√の中に負の数を置く場合とは意味が違います。

図1のように、正の平方根と負の平方根は0をはさんで左右にあります。どちらも二乗すると同じ数になりますが、√の記号が直接指すのは右側の値です。

数直線では、0から遠い負の数ほど小さくなります。正の平方根の大小を調べた後に負号を付けると、数直線上の左右が入れ替わることにも注意します。例えば√2が√3より小さいなら、-√2は-√3より大きくなります。

正の数どうしを比べるときは、根号の中の数を比べられます。例えば2 < 6なら、√2 < √6です。どちらも正であり、正の数は大きい方を二乗すると大きくなるからです。根号の外にある負号は、この比較を終えた後に考えます。-√2と-√6では、0からの距離が大きい-√6の方が左にあるため、-√6 < -√2です。

整数との比較でも同じ考えが使えます。正の整数3は√9と同じ値なので、√8と比べるなら8 < 9から√8 < 3と判断できます。根号の中の8と外の3を直接比べて大小を決めると、異なる形の数を取り違えます。まず両方を正の平方根として表すか、近い整数の二乗を使って位置を決めましょう。

基本例題：平方根と記号を読み分ける

正方形の面積が25 cm²です。辺の長さを正の数とし、次の問いに答えましょう。（1）25の平方根をすべて求めてください。（2）√25の値を求めてください。（3）辺の長さを整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように、まず二乗して25になる数を探します。5と-5の両方を確かめます。

5² = 25

(-5)² = 25

したがって（1）は5と-5です。平方根を求める問いには、正負の両方が必要です。次に√25は正の平方根を表すので、（2）は5です。ここに-5を加えると、1つの記号を2つの値として読んだことになります。

（3）では辺の長さを正の数と決めています。二乗して25になる候補のうち正の数を選び、5 cmです。-5も二乗すると25ですが、長さとして指定された条件を満たしません。計算で出た候補と、場面に合う答えを選ぶ段階を分けます。

最後に辺の長さを元の場面へ戻します。1辺が5 cmの正方形の面積は5 × 5 = 25 cm²で、与えられた面積に戻ります。符号だけでなく、求めるものが面積か長さか、単位も確かめます。

「25の平方根は√25」と答えた場合、正の平方根は書けていますが、負の平方根が抜けています。逆に「√25は±5」と書いた場合は、平方根全体と正の平方根を混同しています。問いの名詞と記号に印を付け、それぞれに何個の値を求められているかを確かめると修正できます。

整数ではさみ、負号で向きを変える

√20と-√20がそれぞれどの連続する2つの整数の間にあるか、不等号を使って表しましょう。根号の値は近似せず、整数の二乗を使います。

まず20を、前後の整数の二乗ではさみます。

4² = 16、5² = 25

16 < 20 < 25

4と5は正の数なので、その間に二乗すると20になる正の数があります。よって4 < √20 < 5です。両端の二乗が20と等しくないため、不等号に等号は付きません。√20そのものを4や5と決めず、間にある数として残します。

負の平方根は数直線の0をはさんで反対側にあります。4より右で5より左にある数を反対側へ移すと、-5より右で-4より左です。したがって-5 < -√20 < -4です。両端を単に負にするだけで順番をそのままにすると、左の数が大きくなってしまいます。

元の条件も確かめます。√20は正で二乗すると20、-√20は負で二乗すると20です。また、20は16と25の間なので、正の値は4と5の間、その反対の値は-5と-4の間にあります。小数に直さなくても、位置と二乗の両方を確認できます。

もし根号の中が25なら、25 = 5²なので√25はちょうど5です。この場合は4 < √25 < 5とは書けません。整数の二乗と等しい場合は境界に来るため、先に等号の有無を確かめます。正の数どうしを二乗して比較する方法は、負の数どうしにそのまま使えません。負の数では絶対値が大きい方が小さいので、先に符号を見ます。

間違えた答えから戻る

「√9 = ±3」という答えを考えます。9の平方根を聞かれた場合なら3と-3ですが、√9は正の平方根を表します。誤りの原因は、二乗して9になる数を探す操作と、記号√9を読む操作を一緒にしたことです。

図3のように、9の平方根という問いからは2つの矢印が出ますが、√9からは正の値へ進みます。正しくは√9 = 3です。二乗の確認として3² = 9を使い、さらに3が正であることを確かめます。二乗が9になることだけでは-3も通るので、正の値という条件が必要です。

もう1つの誤りは、-√20を-4と-3の間に置くことです。20が4と5の二乗の間にあることを見落とすと、このように端がずれます。16 < 20 < 25を書き、正の側の位置を決めてから0の反対側に移せば、-5と-4の間に直せます。位置を決めた後、負の数の方が右か左かを数直線で確かめましょう。

平方根を求めるときに0を正負2つに分ける誤りもあります。0に負号を付けても値は0なので、異なる2つの数にはなりません。0² = 0を確かめたうえで、答えは0と書きます。正の数で成り立つ「符号の反対の2つ」という説明を、0にそのまま当てはめないようにします。

また、二乗すると負になる数を探し始めたら、正の数、負の数、0をそれぞれ二乗した結果を振り返ります。正の数の二乗は正、負の数の二乗も正、0の二乗は0です。したがって、負の数になる候補はありません。答えが見つからない場合も、計算を続ける前に、問いが求める数が存在するか調べることができます。

自分で試す4問

答えには、指定された形を使ってください。必要な途中の比較も書いてみましょう。

1. 49の平方根をすべて整数で求め、√49の値も整数で求めてください。
2. 面積が11 cm²の正方形があります。1辺の長さを根号を使って表し、その長さが何 cmと何 cmの間にあるか、連続する整数で示してください。
3. √7、-√7、2、-3を、小さい順に不等号で並べてください。根号はそのまま残してください。
4. 二乗すると36になる数のうち、-2より小さい数を整数で求めてください。また、求めた数が条件を満たすことを確かめてください。

答えと考え方

1. 7² = 49、(-7)² = 49なので、49の平方根は7と-7です。√49は正の平方根を表すため7です。どちらの平方根も二乗すると49に戻り、√49の値はさらに正という条件を満たします。

2. 正方形の1辺は正の長さなので、二乗して11になる正の数を選び、√11 cmです。3² = 9、4² = 16で、9 < 11 < 16ですから、3 cmより長く4 cmより短い辺です。辺を√11 cmとすると、面積は√11 × √11 = 11 cm²となり、元の面積に戻ります。3 cmや4 cmそのものでは、面積がそれぞれ9 cm²や16 cm²になってしまいます。

3. 2² = 4、3² = 9で、4 < 7 < 9です。したがって2 < √7 < 3です。0の反対側では-3 < -√7 < -2となります。正負を合わせると、答えは-3 < -√7 < 2 < √7です。-√7を二乗すると7に戻り、負の値として-3と-2の間にあるので、並びの位置も条件と合います。

4. 6² = 36、(-6)² = 36なので候補は6と-6です。このうち-2より小さいのは-6です。(-6)² = 36であり、数直線上でも-6 < -2ですから、二乗の条件と大小の条件を両方満たします。6は二乗の条件を満たしても、-2より小さくないため選びません。

練習では、問いの表現によって答えの数が変わります。1は平方根の両方と記号の値を別々に尋ねています。2は長さが正であることが選択の条件です。3は負の側と正の側を分けて位置を決め、最後に一列へ合わせます。4は二乗の条件を満たす候補を出した後、大小の条件を使います。

途中で行き詰まったときは、まず整数の二乗を小さい順に書き出し、根号の中の数がどこに入るか探します。ちょうど一致した場合は整数に直せます。一致しない場合は前後の整数で範囲を表し、その範囲を使って比較します。答えを見た後も、得られた値を二乗することと、問題の符号や長さの条件に戻すことを別々に行います。

答えを表す記号も最後に見直します。不等号の先端は小さい数の方を向きますから、負の数を並べた行では、数直線の左から順に読めるかを確かめます。根号のまま答える指定なら、小数の推測値を書き換える必要はありません。整数で答える指定なら、二乗して元の数になる整数があるかを先に調べます。こうした確認は、途中の計算が合っていても、問いに合わない形で答える失敗を防ぎます。問題に戻り、答えの個数と単位も合わせて点検しましょう。

手元に残す要点

平方根は二乗して元の数になる数です。正の数の平方根には正負があります。 √aはaが正なら正の平方根を表し、√0は0です。 整数の二乗ではさみ、負号を付けたら数直線の順序を見直します。

どこで止まったかを見つける

お子さまが答えを2つ書いたときは、まず「平方根を求める問い」と「√の値を読む問い」のどちらに答えたかを、問題文に戻って確かめます。符号が違う場合も、直ちに答えだけを消すのではなく、二乗すると何になるか、√が指すのは正負のどちらかを順に尋ねます。途中まで正しく考えていれば、その部分を残して修正できます。

個別指導で確かめる箇所は、整数の二乗を並べる行、等号を付けるかの判断、負の側へ移したときの不等号の向きです。言葉で説明しにくければ、0と両端の整数を数直線に置いて、正の位置から反対側へ移す手順をたどります。二乗の結果と符号を別々に確認すると、平方根の意味が答えに結び付きます。