高校受験の数学 確率と余事象—少なくとも一つという条件を反対の場合から整理する｜武蔵野個別指導塾

戻さず札を引くときの残り枚数を表で追い、「少なくとも1枚」の反対から数える方法を余事象でたどります。

よくあるのは、袋から札を1枚引いて戻さずにもう1枚引くとき、2回目も最初と同じ枚数から選ぶ場面です。取り出した札は袋の外にあるので、次に選べる札は1枚減ります。さらに「少なくとも1枚」と書かれると、1枚の場合と2枚の場合を別々に数える必要があるように見えます。そこで、起こらない場合を先に数える方法を試します。札には区別がつく印を付け、どの取り出し順も同じ程度に起こるものとして考えます。

どの場面で反対側を数えるか

ここでは、区別できる札を戻さずに取り出す場合の数と、余事象を使う確率を扱います。札を戻す取り出しや、条件付き確率の公式は扱いません。中学校で学ぶ確率の範囲で、場合を整理して考えます。

出方の1つは「2枚のうち少なくとも1枚が赤」のような問題です。赤が1枚と2枚の両方を含むので、直接数えるなら重ならないように分けます。反対の「赤が0枚」を数えれば、残りをまとめて求められます。

もう1つは、複数回引いて「指定された色が1度も出ない」場合です。これは「少なくとも1度出る」の反対にあたります。指定された色以外が複数種類あっても、そのすべてを残りの札として数えます。さらに「ちょうど1枚」のように枚数が限定される問題では、反対が0枚と2枚に分かれます。いつも余事象が簡単とは限らないので、直接数える方とも見比べます。

まず問題の言葉に線を引き、取り出す回数、戻すかどうか、求める条件を確認します。次に、札の色だけでなく、それぞれの札を区別した取り出し順を考えます。同じ確率で起こる細かい場合を分母にそろえることが、引き算の出発点です。

「少なくとも」の反対を言葉にする

あることが起こる場合を事象といいます。その事象が起こらない場合全体を、もとの事象の余事象といいます。「赤が少なくとも1枚」の余事象は「赤が1枚もない」です。赤が1枚の場合だけを否定して「赤が2枚」とするのではありません。0枚、1枚、2枚という可能性を並べれば、1枚以上に入らないのは0枚だと確認できます。

図1のように、全体を条件に合う部分と余事象に分けます。2つは重ならず、合わせると全体になります。したがって、求める確率は 1 − 余事象の確率 です。ここでの1は、取り出しの結果が何か1つ起こる確率を表します。

図1の左側は赤が1枚または2枚の結果、右側は赤が0枚の結果を表しています。境目を越えて両方に入る結果はありません。たとえば「少なくとも2枚」の反対なら「2枚未満」であり、0枚と1枚を含みます。反対の言葉を作るときは、具体的な枚数を並べて片方に丸を付け、丸のない枚数を読むと安全です。

確率を求めるときは、同様に確からしい結果を単位にします。色が同じ札でも印を付けて区別すれば、赤が多い袋では赤の結果がその枚数に応じて多く並びます。「赤」「青」という色の並びだけを、同じ確率の結果として扱うことはできません。順番を区別するなら、全体にも条件に合う部分にも同じ決まりを使います。

基本例題: 赤が出ない順を引く

袋に赤い札 A、B と青い札 C、D、E が1枚ずつ入っています。よく混ぜて1枚ずつ2回、戻さずに取り出します。赤い札が少なくとも1枚出る確率を、約分した分数で求めてください。どの札も、そのとき袋に残っていれば同じように選ばれるものとします。

1回目と2回目の取り出しを順に考えます。図2では、それぞれの回に選べる枚数を示しています。1回目は5通りです。どの札を引いた場合も、その札を戻さないので2回目は残りの4通りです。よって、順番を含めた全体は次のようになります。

5 × 4 = 20通り

図2の「残り4枚」は、最初に引いた札を除いた枚数です。例えばCを引いた場合、次に選べるのはA、B、D、Eです。順番を区別しているため、Cの次にDを引く場合と、Dの次にCを引く場合は別の結果です。どの順序も同じように起こるので、20通りを等しい重みで数えられます。

求める条件の反対は「赤が1枚も出ない」、つまり2枚とも青です。1回目の青はC、D、Eの3通りです。その後は青が2枚残るので、2回目の青は2通りです。余事象の取り出し順は次の数です。

3 × 2 = 6通り

赤が1枚も出ない確率は 6/20 = 3/10 です。全体から引くと、求める確率は次のとおりです。

1 − 3/10 = 7/10

答えは 7/10 です。元の条件に戻して直接数えると、赤がちょうど1枚の順序は、赤を引く位置が2通り、それぞれ赤2通り、青3通りなので 2 × 2 × 3 = 12通りです。赤が2枚の順序は 2 × 1 = 2通りです。合わせて14通りで、14/20 = 7/10 となり、余事象の6通りと合わせても20通りになります。札の総数5枚と、戻さずに2枚引く条件に合っています。

ここで 3 × 3 としてはいけません。1回目に青を引いたあと、同じ札は袋に残っていないからです。逆に全体を 5 × 5 とすると、Aの次にAを引くような不可能な結果まで入ります。分子だけ修正しても分母が違えば、確率は正しくなりません。

3回取り出すときの分かれ目

袋に赤い札が2枚、黄色い札が4枚、緑の札が1枚あり、札にはそれぞれ異なる印が付いています。よく混ぜて1枚ずつ3回、戻さずに引きます。赤い札が少なくとも1枚出る確率を、約分した分数で求めてください。残っている各札は同じように選ばれるものとします。

全体は順番を区別すると、1回目が7通り、2回目が6通り、3回目が5通りです。したがって 7 × 6 × 5 = 210通りです。1回引くたび、色に関係なく袋全体の札が1枚減ります。

反対は「3回とも赤が出ない」です。赤以外は黄色4枚と緑1枚の計5枚なので、赤以外を続けて引く順は 5 × 4 × 3 = 60通りです。赤以外に黄色と緑の両方を含めることが分かれ目です。黄色だけを数えると、緑を含む赤以外の結果を落とします。

余事象の確率は 60/210 = 2/7 です。したがって 1 − 2/7 = 5/7 が答えです。直接確かめると、赤がちょうど1枚の順は、赤の位置3通り、赤の選び方2通り、赤以外の順が 5 × 4 通りなので120通りです。赤が2枚の順は、赤以外の位置3通り、赤の順が 2 × 1 通り、赤以外が5通りなので30通りです。赤は2枚しかないため3枚は出ません。120 + 30 + 60 = 210となり、元の7枚から3枚を戻さず引く結果を過不足なく分けています。

一方、赤がちょうど1枚という条件なら、余事象は赤が0枚または2枚です。この例では直接120通りを数える方が短く済みます。反対にしたときに何種類を集める必要があるか、計算する前に見極めると手戻りが減ります。

誤った分母と反対の条件を直す

基本例題で、全体を 5 × 5 = 25通り、赤なしを 3 × 3 = 9通りとして、答えを 1 − 9/25 = 16/25 とする誤りを考えます。図3のように、最初に引いた札は袋からなくなります。2回目の候補に同じ札をもう一度入れたことが原因です。

図3のCを1回目に引いたあと、残るのはA、B、D、Eの4枚です。青に限ればD、Eの2枚です。全体を 5 × 4、赤なしを 3 × 2 と直し、1 − 6/20 = 7/10 と求めます。最初にどの札を選んでも、残る枚数が同じであることまで確かめます。

別の誤りは、「少なくとも1枚」の反対を「ちょうど1枚」とすることです。ちょうど1枚は求める側に入るため、引いてはいけません。赤の枚数を0、1、2と並べ、求める側に1と2、反対側に0を置きます。反対側を言葉で言えないときは、いきなり式を書かずに枚数の一覧に戻ってください。

順序の扱いが途中で変わる間違いにも注意します。全体でCの次にDとDの次にCを別々に数えたなら、赤なしを数えるときも別々です。分母と分子が同じ単位で数えられているかを点検すると、見かけ上は約分できる式の誤りにも気づけます。

数える単位を選ぶ

順番を区別しない2枚の組で考えることもできます。ただし、その場合は全体も条件に合う場合も組として数えます。基本例題なら、異なる5枚から2枚を選ぶ組は、順序つきの20通りをそれぞれ2通りずつまとめて10組です。青2枚の組も順序つきの6通りを2通りずつまとめて3組なので、赤が少なくとも1枚の組は7組、確率は 7/10 です。どの組にも取り出す順序が2通りあるため、等しい重みで扱えます。

ここで、全体を10組としながら赤なしを6通りとすれば、組と順序が混ざってしまいます。反対に全体を20通り、赤なしを3組としても同じ誤りです。まずどちらの単位を使うか決め、最後までそろえます。3枚の取り出しでは1組に対応する順序が増えるので、慣れるまでは順序を区別して数える方が残り枚数を追いやすくなります。

また、確率の答えは0以上1以下になることを確認します。ただし、この範囲に収まっていても、分母に不可能な取り出しを混ぜていれば正解とは限りません。最後は元の札の枚数と、戻さないという条件へ戻り、反対側と合わせて全体になるかを点検します。

自分で試す4問

どの問題でも札にはそれぞれ異なる印があり、残った札は同じように選ばれます。答えは約分した分数で表してください。まず4問をまとめて解き、そのあとで解答を見ます。

1. 袋に白い札2枚と黒い札4枚があります。1枚ずつ2回、戻さずに引きます。白い札が少なくとも1枚出る確率を求めてください。
2. 箱に星印の札3枚と月印の札4枚があります。1枚ずつ3回、戻さずに引きます。星印の札が少なくとも1枚出る確率を求めてください。
3. 袋に丸印の札2枚と四角印の札3枚があります。1枚ずつ2回、戻さずに引きます。丸印の札がちょうど1枚出る確率を求めてください。
4. 箱に花印の札1枚と葉印の札5枚があります。1枚ずつ3回、戻さずに引きます。花印の札が1枚も出ない確率を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 全体は 6 × 5 = 30通りです。白が出ないのは黒を2枚引く場合で、4 × 3 = 12通りです。求める確率は 1 − 12/30 = 3/5 です。直接数えると、白が1枚は 2 × 2 × 4 = 16通り、白が2枚は 2 × 1 = 2通りです。白が出ない12通りと合わせて30通りとなり、6枚から2枚を戻さず引く条件に戻ります。

2. 全体は 7 × 6 × 5 = 210通りです。星が出ないのは月を3枚引く場合なので 4 × 3 × 2 = 24通りです。求める確率は 1 − 24/210 = 31/35 です。直接数えると星が1枚は 3 × 3 × 4 × 3 = 108通り、2枚は 3 × 3 × 2 × 4 = 72通り、3枚は 3 × 2 × 1 = 6通りです。合計186通りに星なしの24通りを加えると210通りで、元の7枚と3回の取り出しに合います。

3. 全体は 5 × 4 = 20通りです。丸が先なら 2 × 3 = 6通り、四角が先なら 3 × 2 = 6通りです。したがって答えは 12/20 = 3/5 です。丸が0枚は 3 × 2 = 6通り、丸が2枚は 2 × 1 = 2通りです。これらと12通りの和は20通りなので、元の5枚から異なる2枚を引く結果を埋めています。ちょうど1枚の反対は0枚か2枚であり、2枚だけではありません。

4. 全体は 6 × 5 × 4 = 120通りです。花が出ない場合は葉を続けて引くので 5 × 4 × 3 = 60通りです。答えは 60/120 = 1/2 です。花が出る場合は花の位置が3通り、残りの位置に入る葉の順が 5 × 4 通りで、3 × 5 × 4 = 60通りです。花は1枚なので2回出ることはなく、出ない60通りとの和は120通りです。元の花1枚、葉5枚という条件に一致します。

手元に残す要点

• 戻さないときは、引くたびに残りの札が1枚減ります。
• 「少なくとも1枚」の余事象は「1枚もない」です。
• 同じ確率の取り出し順を、分母と分子で同じように数えます。
• 求める確率と余事象の確率を足すと1です。

式のどこで迷ったかを見分ける

お子さまが式を書けないときは、先に札の印を紙に並べ、1回目に選んだ札を消してみます。2回目の候補を声に出して数えられれば、残り枚数の変化が見えます。式は立つのに答えが合わない場合は、全体と余事象のそれぞれで、同じ札を2度選ぶ道が混ざっていないかを確かめます。

個別指導で確認するなら、答えの分数だけでなく「何を1通りと数えたか」と「求める条件に入らない枚数は何枚か」を本人に説明してもらいます。順序を逆にした2つを別に数えるかも、分母と分子を指しながら確認します。反対側を言葉と数の両方で示せれば、余事象を使った引き算の意味が残ります。