高校受験の数学 三角形の証明—二等辺三角形の性質と逆を根拠に筋道を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

底角の等しさを合同から導き、結論を理由に使う誤りを直して三角形の証明に筋を通します。

よくあるのは、中2の生徒が二等辺三角形の証明で、これから示すはずの結論を理由に使ってしまう場面です。図を見て等しそうだと気づくことは出発点になりますが、見た目は証明の根拠にはなりません。最初に与えられた条件から何が言えるかを一歩ずつたどり、最後に求める結論へ着地させます。

何を出発点にするか

ここでは二等辺三角形の辺と角の関係を、三角形の合同を使って証明します。相似を使う証明や四角形の性質は扱いません。中学校で学ぶ数と式には正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式も含まれますが、ここでの中心は図形の論理です。

出方の1つは、等しい2辺を仮定として底角が等しいことを示す型です。もう1つは、2つの角が等しいことから、その向かい合う辺が等しいと示す型です。さらに、角の二等分線や中点を利用して小さな三角形を作り、合同を経由して辺や角の等しさを示す型もあります。どの型でも、証明の文に書けるのは仮定、すでに証明したこと、そして根拠のある図形の性質です。

問題文を読んだら「与えられたこと」と「示すこと」を別々に書き出しましょう。図に等しい辺の印を付けるときも、仮定による印と、証明の途中で得られた印を区別します。図から予想しただけの印は、そのまま根拠にしません。結論から逆向きに必要な条件を探すことはできますが、答案は仮定から結論へ向けて書きます。

辺から角へ、角から辺へ

図1のように、三角形ABCでAB=ACなら、等しい辺の向かいにある角はそれぞれ∠ACBと∠ABCです。等しい2辺にはさまれた∠BACを頂角、向かいの辺BCを底辺、その両端の角を底角と呼びます。二等辺三角形の性質は、2つの底角が等しいというものです。

図1のように左右が対称に見えても、その印象を証明の一行にはできません。たとえば∠BACの二等分線とBCの交点をDとすると、△ABDと△ACDに注目できます。AB=ACは仮定、∠BAD=∠CADは二等分線の定義、AD=ADは共通です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同になり、対応する∠ABDと∠ACDが等しくなります。DはBC上にあるため、これが底角の等しさです。

逆は出発点と結論を入れ替えた主張です。∠ABC=∠BCAならAB=ACといえます。角Bの向かいは辺AC、角Cの向かいは辺ABです。角に接している辺を適当に選ぶのではなく、角の頂点を含まない向かいの辺を探します。性質と逆は別の主張なので、一方が正しいというだけで他方も証明済みとは限りません。

合同条件には、3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいという3つがあります。角が等しい場所を見つけても、辺との位置関係まで確かめることが必要です。合同を使う前には、対応する頂点を順番に並べ、等しい3組の根拠をそれぞれ書きます。

基本例題：頂角を分けて底角を比べる

三角形PQRでPQ=PRです。∠QPRの二等分線と辺QRとの交点をSとします。∠PQR=∠PRQであることを、合同を使って証明してください。

図2のように線分PSで分けると、左の△PQSと右の△PRSを比べられます。まず結論の角が、それぞれどちらの小さな三角形に含まれるかを確認します。Sは辺QR上にあるため、∠PQSは∠PQRと同じ角で、∠PRSは∠PRQと同じ角です。

図2のように対応をPとP、QとR、SとSと定めます。証明は次のようになります。

△PQSと△PRSにおいて、

PQ=PR（仮定）

∠QPS=∠RPS（PSは∠QPRの二等分線）

PS=PS（共通な辺）

よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△PQS≡△PRSです。

合同な図形の対応する角は等しいので、∠PQS=∠PRSです。

Sは辺QR上にあるので、∠PQS=∠PQR、∠PRS=∠PRQです。したがって、∠PQR=∠PRQです。

ここで二等分された角は、PQとPSの間、およびPRとPSの間にあります。そのため2辺とその間の角という合同条件を使えます。PSが共通であることも、左右の三角形に同じ長さの辺があるという1つの根拠です。共通だから省いてよいと考えると、合同条件に必要な組が答案から欠けます。

最後の角は、問題の記号へ戻して確かめます。証明で得た∠PQSと∠PRSが、Sの位置によって求める底角と同じになることが、問題文への戻し方です。SがQR上にあるという条件を使わず、別の点に置き換えることはできません。

逆向きの主張を合同で示す

三角形ABCで∠ABC=∠BCAです。∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとします。AB=ACであることを、合同を使って証明してください。

こちらは角が等しいという仮定から、辺が等しいという結論へ進みます。二等辺三角形の性質をそのまま使う向きではありません。また、AB=ACを最初に仮定すると、示すべきことを先取りしてしまいます。

△ABDと△ACDにおいて、DはBC上にあるので、仮定から∠ABD=∠ACDです。また、ADは∠BACの二等分線なので、∠BAD=∠CADです。三角形の内角の和は180°だから、残る角も等しく、∠ADB=∠ADCです。さらにAD=ADは共通です。

したがって、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACDです。合同な図形の対応する辺より、AB=ACです。求める等辺に到達し、最初の角の等しさから進んだことも確認できます。

分かれ目は、最初に等しいとわかっているものです。辺が等しければ底角を導く方向、角が等しければ向かいの辺を導く方向です。すでに二等辺三角形の性質と逆を学んで根拠として使える問題なら、それぞれを定理として引用できます。一方、それ自体を合同から証明する問題では、証明したい主張を定理として先に使わず、合同条件から説明します。

結論を先に使った答案を直す

基本例題で「∠PQR=∠PRQだから△PQS≡△PRS」と書いたとします。これは図3のように、結論を合同の理由として使い、その合同から再び同じ結論を得る循環です。結論が正しくても、仮定から導いたことにはなりません。

図3のように、まず等辺PQ=PRと角の二等分、共通辺PSを並べます。そこから合同を示し、対応する角を経て底角の等しさを得ます。答案の各行について「この行は問題文か、それより前の行から言えるか」と尋ねると、結論の先取りを見つけやすくなります。

別の誤りは、△PQS≡△PSRと書くことです。対応を左から順に読むと、QとS、SとRが対応することになり、示したい関係とずれます。頂点の並びをPとP、QとR、SとSにそろえてから合同記号を書きます。長さの等しい辺が2組あっても、はさまれた角かどうかを確かめなければ、合同条件を満たすとは限りません。

自分で筋道を作る練習

次の3問は、いずれも根拠を添えて証明してください。答えは合同を用いた文章で書きます。図を自分でかき、仮定に印を付けてから取り組みましょう。

1. 三角形DEFでDE=DFです。辺EFの中点をGとします。∠DEG=∠DFGを証明してください。
2. 三角形JKLで∠JKL=∠KLJです。辺KLの中点をMとします。JK=JLを証明してください。
3. 三角形XYZでXY=XZです。辺XY上のX以外の点をU、辺XZ上のX以外の点をVとし、XU=XVとなるように取ります。YU=ZVを証明し、さらに∠XUV=∠XVUを証明してください。

解答と考え方

1. △DEGと△DFGにおいて、DE=DFは仮定、EG=FGはGがEFの中点であることから、DG=DGは共通です。3組の辺がそれぞれ等しいので、△DEG≡△DFGです。合同な図形の対応する角より、∠DEG=∠DFGです。GがEF上にあるので、この結論は元の三角形の底角の等しさにも対応します。中点という条件から得たのは2つの線分の等しさであり、最初から角の等しさを使ってはいません。

2. △JKMと△JLMにおいて、MはKL上にあるので、仮定より∠JKM=∠JLMです。KM=LMは中点の定義によります。さらに∠JMKと∠JMLの和は180°です。ここでは、この2つが等しいとはまだ言えないため、それを理由に合同とすることはできません。そこで三角形の内角の和を用いた別の組を作ります。∠KJMと∠LJMはまだ等しいとわからないので、線分JMで分ける方法はここでは進みにくいと判断します。

代わりに△JKLと△JLKを比べます。仮定より∠JKL=∠JLK、また∠JLK=∠JKLです。KL=LKは共通です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△JKL≡△JLKです。対応する辺からJK=JLです。元の条件へ戻ると、等しい角の向かいにある辺がそれぞれJLとJKであり、求めた結論と一致します。同じ三角形を逆の順序で比べても、対応と合同条件を明示すれば使えます。

3. XY=XZ、XU=XVは仮定です。U、Vはそれぞれ辺上にあるので、YU=XY-XU、ZV=XZ-XVです。等しい長さから等しい長さを引くと等しいため、YU=ZVです。また△XUVでXU=XVなので、二等辺三角形の底角の性質より∠XUV=∠XVUです。この性質を合同から示すなら、∠UXVの二等分線とUVの交点をWとし、△XUWと△XVWを比べます。XU=XV、∠UXW=∠VXW、XW=XWより、2組の辺とその間の角で合同です。対応する角が等しいので結論を得ます。元の辺に戻しても、XY=XU+YU、XZ=XV+ZVであり、仮定と結論は両立します。

練習2の方法では、同じ図形を重ね合わせることを、頂点の対応を逆にして表しています。辺KLは自分自身と対応し、両端の角は仮定によって入れ替えても等しくなります。合同から得られる辺の対応はJKとJLです。図の左右が似て見えるという観察を、角と辺の3組に置き換えた点を確認してください。

練習3では、等しい辺から同じ長さを取り除くと残りも等しいことを使いました。点UとVがそれぞれ辺の上にあるので、全体の長さは部分の和になります。延長上の点であればこの引き算の書き方をそのまま採用できません。図の位置も問題の条件の一部として読むことが必要です。

証明を読み返すときは、合同条件の名前を確認する前に、等しいとした各組を図上で指してみましょう。辺と角の組がそれぞれどの三角形に属するかをたどると、対応順のずれに気づけます。最後に、示した関係が問題文の指定と同じかを照合します。

たとえば合同の対応を確認するとき、最初の頂点から順に線を結んで考えます。対応する辺は、対応する2頂点を結んだ辺です。角も同様に対応する頂点を中心にして読みます。頂点の順序には意味があります。合同の記号だけを正しく書いても、その後に対応しない辺を等しいとすれば結論は支えられません。逆に、正しい対応を先に決めれば、合同後にどの角や辺を取り出せるかを確かめられます。

持ち帰る要点

仮定と結論を分け、結論を根拠にしません。
等辺から底角へ、等角から向かいの辺へ進みます。
合同の対応順と、条件に必要な辺・角の位置をそろえます。
導いた辺や角を、問題文の図に戻して結論を確かめます。

どこで止まっているかを見つける

手が止まるときは、まず仮定に印を付けられるかを見ます。印は付けられても三角形を選べないなら、求める辺や角をそれぞれ含む2つの三角形を探します。三角形を選べた後に止まるなら、対応する頂点を声に出し、合同条件の3組のうち根拠のない組を特定します。

個別指導で確かめる場面では、お子さまが書いた「等しい」の横に、仮定、共通、二等分線の定義などの理由を付けられるかを見ます。保護者が答えを見守るときも、結論が合っているかに加え、その結論を途中で先に使っていないかを尋ねると、考えた順序が見えます。根拠を一行ずつたどれば、三角形の証明は読み手にも追える筋道になります。