高校受験の数学 図形の証明と合同条件—仮定と結論を分けて三角形の対応をそろえる｜武蔵野個別指導塾

共通な辺や対頂角を根拠に変え、対応順をそろえた証明へ進むための合同条件をたどります。

よくあるのは、中2の生徒が図を見て、長さが同じに見える辺をそのまま等しいと決める場面です。図は条件を整理する助けになりますが、手描きの線の長さや角度は正確とは限りません。問題文から出発して、どの事実を使えば等しいと言えるのかを順に書くと、図の見た目に頼らずに結論へ進めます。

図から何を読み、何を証明するか

図形の合同は、与えられた辺や角の条件から判断します。仮定と結論を分け、対応する頂点をそろえて、三角形の合同条件を使います。

合同の証明では、問題文で与えられた条件を仮定、示すべきことを結論と呼びます。たとえば辺の長さが等しいことを示すなら、その辺をそれぞれ含む2つの三角形に注目します。三角形が合同だと示せれば、対応する辺は等しいと言えます。

出方には、2つの三角形の合同そのものを示す型、合同を使って辺や角の等しさを示す型、平行線から等しい角を取り出して合同につなぐ型があります。どの型でも、結論を先に眺めて必要な三角形を探し、次に仮定へ戻ると道筋を立てやすくなります。

角が等しそうに見えることは根拠になりません。一方、同じ線分を2つの三角形が使っていれば、その線分は共通です。交わる2直線の向かい合う角は対頂角として等しく、平行な2直線に別の直線が交わるときには錯角などを使えます。図だけでは平行かどうかを決めず、問題文の条件を確かめます。

対応を決めて条件を選ぶ

合同な図形は、重ね合わせるとぴったり重なります。三角形なら、対応する頂点、辺、角をそろえて書きます。図1のように、AとD、BとE、CとFが対応する場合、△ABCと△DEFをこの順で並べます。

図1の対応では、辺ABと辺DE、辺BCと辺EF、辺CAと辺FDがそれぞれ対応します。角も∠Aと∠D、∠Bと∠E、∠Cと∠Fが対応します。三角形の名前の順序を変えるときは、もう一方も同じ対応を保って変えます。たとえば△BCAと△EFDです。

合同を判断する条件は次の3つです。

1. 3組の辺がそれぞれ等しい。
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

「間の角」は、その2辺が交わる頂点の角です。ABとACの間なら∠BACです。「両端の角」は、指定した辺の両端にある角です。ABなら∠Aと∠Bです。等しい辺や角を3組集めても、並び方が条件に合っていなければ合同を結論できません。

仮定に書かれた等しさには「仮定より」と添えます。共通な辺には「共通」、対頂角には「対頂角は等しい」と理由を添えます。等しい角が得られた後も、どの辺をはさむ角かを確かめて条件の名前を選びます。

証明を書く前の点検

問題文の条件を図に移すときは、等しい辺に同じ印を付けます。ただし、印を付けた理由を答案で省かないようにします。等しい角も同様です。補助の印は考えるための道具であり、それ自体が根拠になるわけではありません。

次に、結論に現れる2つの辺をそれぞれ含む三角形を選びます。辺が等しいという結論なら、その辺の両端が対応するように頂点を並べます。角が等しいという結論なら、角の頂点が対応するように並べ、角を作る辺も照らし合わせます。重なった三角形では、共通な辺が両方に属していることを見落としやすいので、別々に描き直す方法も役立ちます。

仮定を使った後、まだ条件が足りなければ、交点や平行線に注目します。対頂角は2直線が交わるときに生じますが、隣り合う角を対頂角とは呼びません。錯角を使うときは、平行な2直線とそれを横切る直線を指でたどります。2つの角の位置だけが似ていても、平行が与えられていなければ等しいとは言えません。

証明は、集めた事実をただ列挙して終わりません。対象の三角形を示し、等しいものとその理由を書き、当てはまる合同条件を述べます。その後で対応する辺や角を使って結論に到着します。この順番なら、読み手は各行がどこから来たかを追えます。

例えば2組の辺と角が等しくても、その角が2辺の間になければ、2組の辺とその間の角という条件は使えません。等しい角があるという情報と、合同条件として必要な場所にあるという情報は別々に確かめます。条件の名前を暗記した後は、図の中で実際にその位置を指せるようにします。

答案を見直すときは、各等式の左右を指で追い、三角形の名前の同じ位置にある頂点を結んでいるか調べます。辺ABに対応するのは、AとBの対応先を結んだ辺です。角も頂点だけでなく両側の辺を確認すれば、別の角を選ぶ誤りに気づけます。

合同条件に当てはまらなかったときは、直ちに合同でないと決めることも避けます。別の条件で示せる可能性があるからです。与えられた情報から各条件を試し、それでも足りなければ、今ある根拠では判断できないと整理します。

基本例題：交点をはさんだ三角形

線分ACと線分BDが点Oで交わっています。AO = CO、BO = DOです。△AOBと△CODが合同であることを証明し、ABとCDの関係を答えてください。

図2のように、交点Oを中心として2つの三角形を見ます。点の並びをAとC、OとO、BとDと対応させると、仮定の辺と対頂角がそろいます。

図2で、AOとCOは仮定から等しく、BOとDOも仮定から等しい辺です。その間にある∠AOBと∠CODは対頂角です。ここで求めたいAB = CDを合同の理由に使うと、結論を前提にしてしまいます。

証明は次のように書けます。

△AOBと△CODにおいて、

AO = CO …… 仮定

BO = DO …… 仮定

∠AOB = ∠COD …… 対頂角

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△AOB ≡ △COD

合同な三角形の対応する辺は等しいので、AB = CDです。

証明の最後を確かめます。△AOBと△CODの1文字目はAとC、3文字目はBとDです。したがってABに対応する辺はCDであり、求めた関係に戻ります。角の等しさを示す問題なら、対応する頂点を同じように読み、角の名前を結論として書きます。

仮定がAO = COだけだった場合、対頂角と合わせても辺1組と角1組です。見た目が整っていても、もう1組の必要な条件は得られません。証明が止まったら線を長く眺めるのではなく、使った事実と足りない条件を分けて書きます。

一歩進める：平行線から角を探す

2直線ABとCDは平行で、線分ADとBCは点Oで交わっています。AO = DOとします。△AOBと△DOCが合同であることを証明し、BOとCOの関係を答えてください。A、O、Dはこの順に一直線上、B、O、Cもこの順に一直線上にあります。

まず、AOとDOは仮定で等しい辺です。この辺の両端にある角を調べます。∠BAOと∠CDOは、平行な直線AB、CDを直線ADが横切ってできる錯角なので等しくなります。∠AOBと∠DOCは対頂角なので等しくなります。

△AOBと△DOCにおいて、

AO = DO …… 仮定

∠BAO = ∠CDO …… 平行線の錯角

∠AOB = ∠DOC …… 対頂角

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

△AOB ≡ △DOC

対応する辺は等しいので、BO = COです。

対応順はAとD、OとO、BとCです。結論のBOに対して、Bに対応するCとOに対応するOを結ぶとCOになります。元の条件に照らすと、使った平行線と仮定の辺は問題文にあり、角の等しさもそこから導けています。

分かれ目は、平行という条件を使えるかどうかです。ABとCDが平行でなければ、∠BAOと∠CDOが等しいとは限りません。その場合は別の角の等しさなどが与えられているか調べ、なければこの証明を進めることはできません。平行の記号を自分で図に書き足して、仮定にしてはいけません。

誤った対応を直す

図3の2つの三角形で、辺の長さが左は3、4、5、右は3、4、6とします。「2組の辺が等しく、もう1組も同じくらいに見えるから合同」という答えは誤りです。図3のように長さを明示すると、残りの辺が等しくないことが見えます。

原因は、必要な条件を図の印象で補ったことです。3組の辺の条件には3組とも等しいことが必要です。2組の辺だけでは、その間の角の大きさが変わる余地があり、三角形の形は定まりません。図3では対応する残りの辺が5と6なので、この2つは合同ではありません。

修正するときは、まず等しいと与えられた2組を記録します。次に残りの辺が等しいか、またはその2辺の間の角が等しいかを調べます。どちらも言えないなら、合同条件がそろったとは書けません。角の条件を使うときも、等しい角が辺の間にあるか、辺の両端にあるかを見直します。

もう1つの誤りは、正しい根拠を3組集めた後で三角形の順序を取り違えることです。対応する頂点を縦に並べ、各辺の両端が対応するか確認します。合同記号を書いて終わらず、求める辺や角が対応していることまでたどれば、結論の書き間違いを防げます。

練習：条件から証明を作る

次の3問は、結論まで理由を添えて証明してください。図は条件に従って自分でかいて構いません。見た目から新しい条件を加えず、与えられた点の位置にも注意します。

1. 2つの三角形PQRとSTUで、PQ = ST、QR = TU、RP = USです。△PQRと△STUが合同であることを証明し、∠Pと∠Sの関係を答えてください。
2. 線分XY上に点Mがあり、XM = YMです。Mを通る直線上に点Nをとり、MNはXYに垂直です。△XMNと△YMNが合同であることを証明し、XNとYNの関係を答えてください。
3. 線分KLとMNが点Tで交わり、KT = LT、∠KMT = ∠LNTです。△KTMと△LTNが合同であることを証明し、MTとNTの関係を答えてください。K、T、Lはこの順、M、T、Nもこの順に並びます。

練習の答えと道筋

1. △PQRと△STUにおいて、PQ = ST、QR = TU、RP = USはいずれも仮定です。3組の辺がそれぞれ等しいので、△PQR ≡ △STUです。対応する角は等しいので、∠P = ∠Sです。Pに対応する点がSであり、問題の求める角に戻っていることを確かめます。

2. △XMNと△YMNにおいて、XM = YMは仮定、MN = MNは共通です。MNはXYに垂直なので、∠XMNと∠YMNはどちらも直角で等しくなります。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△XMN ≡ △YMNです。対応する辺よりXN = YNです。Mは線分XY上にあるため、2つの角はどちらも問題の垂直の条件から直角と判断できます。

3. △KTMと△LTNにおいて、KT = LTは仮定、∠KMT = ∠LNTも仮定です。また、∠KTM = ∠LTNは対頂角です。三角形の内角の和は180°なので、残りの角についても∠MKT = ∠NLTです。したがって、1組の辺KT、LTとその両端の角がそれぞれ等しいので、△KTM ≡ △LTNです。対応する辺からMT = NTです。与えられた角はKTの端の角ではないため、残りの角を導く一手が必要です。

条件が一部欠けた問題に出会ったときは、足りない事実を結論にせず、どの条件が不足しているかを示します。証明を書き直す際は、仮定、対頂角、共通な辺など、各行の理由を問題の図へ戻して確認します。

覚えておくこと

仮定と結論を分け、結論を含む三角形を探します。
対応する頂点の順をそろえ、辺と角を照合します。
合同条件に必要な位置まで確かめ、各事実に理由を添えます。
合同の後、対応する辺や角から結論を書きます。

手が止まる場所を見分ける

お子さまが証明の最初で止まるときは、結論に現れる辺や角に印を付け、その両方を含む三角形を指せるか確かめます。三角形を選べても進まない場合は、仮定から言える等しさと、共通な辺や対頂角から言える等しさを別々に書き出します。

個別指導で答案を確認する際には、等しい角を指して「どの2直線が平行だから言えるか」、合同条件を指して「辺の間の角はどれか」と尋ねます。名前の順序が乱れていれば、頂点を1組ずつ結び直します。根拠と対応がつながると、証明の最後の一行まで自分でたどれます。