高校受験の数学 一次関数の利用—動きのグラフを区間に分けて量の変化を読む｜武蔵野個別指導塾

停止中の横線の高さと傾きを区別し、出発時刻が異なる2人の式に時間の範囲を添えて、追いつく位置を検算します。

よくあるのは、中2の学習で、歩いている人のグラフに横線が現れたとき、その部分の道のりを0と読んでしまう場面です。横線が示すのは、その間に道のりが増えないことです。すでに進んだ距離まで消えるわけではありません。横軸と縦軸が何を表すかを確かめてから、線の高さと傾きをそれぞれ読み取ります。

動きのどこに注目するか

ここでは、一定の速さでの移動、途中の停止、出発時刻の異なる2人の動きを時間と道のりの関係として扱います。2直線の交点と軸で囲む図形の面積は扱いません。学習範囲の確認として、中学校学習指導要領は第1学年の数と式に一元一次方程式を置いています。

出方の1つは、折れ曲がったグラフから、速さが変わる時刻や止まっている時間を読むものです。線が上がる区間では進んだ道のりが増え、横の区間ではその値が変わりません。もう1つは、ある区間の式を作り、指定された時刻の道のりを求めるものです。出発してからの時間と、その区間が始まってからの時間は別なので、どちらを文字にしたかを式に残します。

さらに、後から出発した人が先の人に追いつく時刻を求める問題があります。2人が同じ道を同じ向きに進むなら、同じ時刻の出発点からの道のりが等しいときに追いつきます。ただし、式を作った区間に求めた時刻が入るかまで確認しなければ、別の区間の延長線の交点を答えることになります。

横線の高さと線の傾き

横軸を出発からの時間、縦軸を出発点から進んだ道のりとします。同じ向きに進むとき、縦の増加量を横の増加量で割った値が速さです。例えば2分で120 m進めば、120 ÷ 2 = 60より分速60 mです。縦の値そのものではなく、2点の高さの差を使います。縦軸の単位がkmなら速さもkmをもとに表し、分と時間を混ぜないようにします。

図1のように、0分から2分で120 m進み、その後2分間止まると、線は高さ120 mのまま横に延びます。停止中に新たに進む距離は0 mですが、出発点からの道のりは120 mです。4分から再び進めば、次の線はその高さから始まります。区間の境目では前後の線が同じ点につながることも確かめます。

式を使うときは、例えば停止後に分速40 mで進むなら、出発からx分後の道のりy mは、4分後を起点にして y = 120 + 40(x − 4) と表せます。この式の範囲は再出発後に限ります。xに4を入れて120に戻るかを調べると、引く時刻と足す距離の取り違えを見つけやすくなります。式を整理しても、どの区間に使う式かは横に書き添えます。

変域は、その式を使える時間の範囲です。境目を両方の区間に含めても、両方の式が同じ値を返せば矛盾しません。逆に、止まっている間に移動中の式を延長して使うと、実際には増えていない道のりが増えることになります。グラフの形と式の適用範囲を一組で扱います。

基本例題：休んでから再び歩く

ある人が地点Aを出発し、最初の3分間は分速60 mで歩きます。その後2分間止まり、さらに分速40 mで4分間、同じ道を同じ向きに歩きます。出発からx分後にAから進んだ道のりをy mとします。各区間の式とxの範囲を求め、出発から8分後の道のりを整数で答えてください。

図2のように、まず3分後と5分後の高さを決めます。初めの3分間に進む道のりは 60 × 3 = 180 mです。止まっている2分間は道のりが増えないので、5分後も180 mです。再出発してから4分進むと 40 × 4 = 160 mが加わり、9分後は 180 + 160 = 340 mです。

初めの区間では、出発からx分間ずっと分速60 mで歩きます。したがって、

0 ≦ x ≦ 3 のとき y = 60x

です。x = 3を入れると y = 60 × 3 = 180 となり、境目の値に合います。

停止中はxが変わっても道のりは180 mのままです。したがって、

3 ≦ x ≦ 5 のとき y = 180

です。この横線の高さが180を表し、傾きが0を表します。高さと傾きは違う情報です。

5分後からは、再出発後の時間が x − 5 分です。その間に増える道のりは 40(x − 5) mなので、停止するまでの180 mを加えます。

5 ≦ x ≦ 9 のとき y = 180 + 40(x − 5)

整理すると y = 40x − 20 です。x = 5では180、x = 9では340となり、前後の点に合います。式の定数項が負でも、使う範囲での道のりは正です。定数項を出発時の道のりと決めつけず、この区間に限って式を見ることが必要です。

8分後は5分後から9分後までの区間に入ります。そこで、

y = 180 + 40(8 − 5)

y = 180 + 40 × 3

y = 300

答えは300 mです。場面に戻すと、初めに180 m、再出発後に3分間で120 m進むため、合計300 mです。もし停止中の式に8を入れて180 mとしたなら、時刻が範囲外です。反対に最後の式を3分後に使うと、まだ再出発していない動きを先に数えることになります。

時刻差がある2人の追いつき

地点Pから同じ道を同じ向きに進みます。先に出発した人は分速50 mで12分間歩きます。もう1人はその4分後にPを出発し、分速90 mで同じ道を歩きます。先の人が歩いている間に追いつくとすると、先の人の出発から何分後か、またPから何mの地点かを整数で求めてください。

先の人の出発からx分後と決めます。後の人の出発からではありません。先の人の道のりは 50x mです。後の人が歩き始めた後は、歩いた時間が x − 4 分なので、道のりは 90(x − 4) mです。両方が歩いている 4 ≦ x ≦ 12 の範囲で、同じ地点にいる条件を式にします。

50x = 90(x − 4)

50x = 90x − 360

40x = 360

x = 9

9は4以上12以下なので、両方に作った式を使える時刻です。Pからの道のりは 50 × 9 = 450 mです。後の人は出発から 9 − 4 = 5 分歩いているため、90 × 5 = 450 mとなります。先の人も9分間で450 m進んでいるので、同じ時刻に同じ地点です。答えは先の人の出発から9分後、Pから450 mです。

ここでの分かれ目は4分後です。それより前は後の人がPで待っているため、道のりを 90(x − 4) とすることはできません。もし計算結果が4より小さければ、作った式の範囲外です。また12より大きければ、先の人の12分後以降の動きが問題文にないため、その式を延長して追いつくと結論できません。後の区間の動きが与えられた場合に限り、その区間の式を作って改めて調べます。

速さの差だけで考えることもできます。後の人が出発する時点で、先の人は 50 × 4 = 200 m先にいます。2人が歩く間、1分ごとに差は 90 − 50 = 40 m縮まるので、200 ÷ 40 = 5分後に差が0になります。これは後の人の出発からの時間です。先の人の出発を基準に戻すため4を足し、9分後とします。どちらの解法でも、最後に何を基準とする時刻かを書きます。

誤答を線と式に戻す

基本例題で「3分後から5分後は止まっているので y = 0」としたとします。止まっている間の増加量は0ですが、それ以前に進んだ180 mは残ります。図3のように、正しい線は高さ180 mの横線です。y = 0なら出発点の高さを表し、3分後に180 mいたという条件とつながりません。

修正するときは、横線の左端の点を読み、縦軸に向かってたどります。その高さを停止中のyの値として書きます。傾きを問われた場合は、高さではなく増加量を時間の増加量で割るため0です。問われているのが道のりか速さかを区別すれば、同じ横線から異なる2つの情報を取り出せます。

もう1つの誤りは、後から出発した人の道のりを 90x とすることです。xは先の人の出発から数えているので、そのまま使うと後の人まで最初から歩いたことになります。後の人が出発する x = 4 を式に入れ、道のりが0になるかを試します。90xでは360となり条件に反しますが、90(x − 4)なら0です。この境目での確認は、計算を始める前にも使えます。

練習：範囲を添えて答える

次の問題では同じ道を同じ向きに進みます。距離と時刻は指定された単位で、整数または正確な分数で答えてください。

1. 地点Bから分速70 mで4分歩き、3分止まります。出発からx分後の道のりをy mとして、停止中の式とxの範囲、出発から6分後の道のりを求めてください。
2. 地点Cから分速30 mで6分歩き、続いて分速50 mで4分歩きます。出発からx分後の道のりをy mとして、後半の式とxの範囲、出発から9分後の道のりを求めてください。
3. 地点Dを人Aが分速40 mで出発し、その3分後に人Bが同じ地点を分速60 mで出発します。2人は十分な時間歩き続けます。Aの出発から何分後にBが追いつくか、Dから何mの地点かを求めてください。
4. 地点Eを人Aが分速60 mで出発し、5分後から4分間停止します。人BはAの出発から5分後にEを分速50 mで出発し、歩き続けます。Aが停止している間にBは追いつきますか。追いつくならAの出発からの時刻を、追いつかないなら停止が終わる時点の2人の間の距離を答えてください。

練習の答えと確かめ

1. 初めの4分間に 70 × 4 = 280 m進みます。停止中は高さが変わらないので、4 ≦ x ≦ 7 で y = 280 です。6分後はこの範囲にあり、280 mです。場面に戻すと、4分間で280 m進んだ後の2分間は動かないため、確かに280 mの位置です。y = 0では停止前の距離が消えてしまいます。

2. 初めの6分間の道のりは 30 × 6 = 180 mです。後半は6分後から始まるので、6 ≦ x ≦ 10 で y = 180 + 50(x − 6) です。9分後は y = 180 + 50 × 3 = 330 より330 mです。後半の3分間で150 m進み、前半の180 mと合わせて330 mです。10分後も 180 + 50 × 4 = 380 mとなり、区間の終わりまで条件に合います。

3. Aの出発からx分後とすると、Bが出発してからは Aの道のりが 40x m、Bの道のりが 60(x − 3) mです。等しいとき、40x = 60(x − 3)、40x = 60x − 180、20x = 180、x = 9 です。9 ≧ 3なので式の範囲に入ります。道のりは 40 × 9 = 360 mです。Bは6分間歩き 60 × 6 = 360 mなので、実際に同じ地点です。答えはAの出発から9分後、Dから360 mです。

4. Aは停止前に 60 × 5 = 300 m進みます。停止終了はAの出発から9分後です。そのときBの歩いた時間は 9 − 5 = 4 分、道のりは 50 × 4 = 200 mです。停止中、Aは300 mの地点におり、BはEから200 mまで進むので、まだ追いつきません。2人の間は 300 − 200 = 100 mです。Bが300 mに達するには出発後 300 ÷ 50 = 6 分かかり、停止の4分間を超えることでも確認できます。答えは追いつかず、停止終了時に100 m離れています。その後のAの動きは与えられていないので、その後の追いつきを決めることはできません。

手元に残す要点

• グラフの高さは道のり、傾きは速さを表します。
• 横線では道のりが一定で、増加量が0です。
• 区間の式には、使える時間の範囲を添えます。
• 出発時刻が違うときは、共通の基準から歩いた時間を直します。
• 求めた時刻を範囲と元の動きに戻して確かめます。

答えが止まる場所を見つける

お子さまが横線を0と読んだときは、まず「この点の高さは何を表すか」と尋ね、続けて「その間に何m増えたか」を別に聞きます。両方を0と答えるなら、高さと増加量を区別するところから図を指して確認できます。高さは読めても式が作れない場合は、停止の前後の時刻と距離を表に書き、どの区間でも境目の値が一致するかを確かめます。

個別指導では、追いつく式の両辺に同じ時刻を入れているか、後発の人が歩いた時間から出発時刻を引いているかを、本人の途中式で確認します。正解でも範囲を書いていなければ、求めた時刻が停止中や出発前だった場合を考えます。式が合わなかった箇所をグラフ上の区間へ戻すと、どの動きを数え直せばよいかが見えてきます。