高校数学I 二次関数の解の配置と基準点—二つの実数解が左右に分かれる条件を図から読む｜武蔵野個別指導塾

上に開く放物線では、基準点での値が負なら異なる2解がその点の左右に分かれます。等号を許す問いでは、端点根と重解を分けて判断する必要があります。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、基準点 c での値が負という条件と、0以下という条件を同じものとして扱う場面です。放物線が横軸より下にある点と、横軸に乗っている点では、2つの解との位置関係が変わります。式の値が0になる境界を残したまま図に戻し、条件に等号が必要かを見極めましょう。

何を境に解を分けるか

二次方程式 f(x) = 0 の2つの異なる実数解を、小さい方から α、β とします。基準点 c を厳密にはさむとは、α < c < β となることです。c 自身は解ではありません。「左と右に1つずつ」という言葉には、この2つの不等号が含まれています。

出方には、文字を含む方程式の解が定数をはさむように文字の範囲を求める型、基準点自体が動く型、そして等号を許す条件と厳密な条件を比較する型があります。どれも二次係数が正であることを確認してから、基準点の値を調べます。展開や一次不等式の整理は途中で使いますが、解の公式で根を直接書く必要はありません。

実数解が2つあると先に決めてよいかも確認します。解の位置を求める問題では、存在そのものが結論に含まれます。そこで、基準点の値の符号が、解の存在まで保証する理由を押さえます。

基準点の高さが示すもの

f(x) = ax² + bx + d、a > 0 とします。上に開く放物線が異なる2つの横軸との交点を持つとき、2つの解の間ではグラフは横軸より下にあり、外側では上にあります。解の位置で高さは0です。図1のように、c が2解の間にあることと、f(c) が負であることは対応します。

図1のように、c の真上の点は横軸より下です。横軸上の c は2つの交点の間にあり、端の交点には重なっていません。縦軸の位置を描かなくても、横軸上の位置と高さの符号で配置を読めます。

この対応は、2解の存在を仮定しなくても必要十分です。まず異なる2解を α < β とし、α < c < β なら、放物線は2交点の間で横軸より下なので f(c) < 0 です。逆に f(c) < 0 なら、平方完成した形を f(x) = a(x-p)² + q とすると、a(c-p)² は0以上なので q < 0 です。したがって f(x) = 0 は (x-p)² = -q/a と同じで、右辺は正です。正の数の平方根を r とおけば、異なる2解は p-r、p+r です。

さらに f(c) < 0 より (c-p)² < r² なので、-r < c-p < r です。よって p-r < c < p+r です。これで、基準点の値が負なら異なる2解が存在し、その間に c があることまで証明できました。別に判別式や軸の位置を条件に加える必要はありません。

一方、f(c) = 0 は c が解であることを表します。他方の解が存在して c と異なっていても、c は2解の間に厳密には入れません。重解が c にある場合もあります。f(c) > 0 では、2解が存在しない場合、重解の場合、2解が同じ側にある場合があり、正という情報だけではその3つを区別できません。

基準点が負の高さにあるとき、放物線の左右は上へ伸びるため、左右それぞれで横軸に達します。平方完成の証明は、この図の読みを数式で支えています。2解の間であることから軸と基準点が一致すると考える必要はありません。軸は2解の中央ですが、基準点はその間のどこにあってもよいからです。たとえば片方の解に近い基準点でも、交点に重ならず高さが負なら条件を満たします。

符号を調べる前には、方程式の右辺を0にそろえて f(x) を決めます。別の式を基準点に代入すると、その値と元の方程式の解の配置は対応しません。また、二次係数が負なら上下が逆になるので、ここで述べた負の条件をそのまま使わず、まず式全体に -1 をかけて上に開く形に直します。

基本例題：固定した点をはさむ条件

方程式 x² − 2x + k = 0 が、2つの異なる実数解を持ち、その一方が 2 より小さく他方が 2 より大きいような実数 k の範囲を、不等号で求めてください。

解き方

f(x) = x² − 2x + k とおきます。二次係数は1で正、基準点は c = 2 です。図2のように、この点の高さが横軸より下となる条件を作ります。

図2は条件を満たす例として k = -3 を描いています。このとき f(x) = (x+1)(x-3) なので交点は -1 と 3、基準点はその間の 2 です。図の縦と横は縮尺が異なります。

一般の k では次のように代入します。

f(2) = 2² - 2・2 + k
     = 4 - 4 + k
     = k

したがって必要十分な条件 f(2) < 0 は k < 0 です。答えは k < 0 です。ここで k = 0 を入れると x² − 2x = x(x-2) となり、解は 0 と 2 です。2 は解そのものなので、左と右に分かれる条件を満たしません。

境界の両側も調べます。k = -3 では図のとおり -1 < 2 < 3 です。k = 1 では (x-1)² = 0 となり、解は 1 の重解です。符号が正の側に移ったとき、必ず異なる2解が残るわけではありません。文字の範囲の境界を代入すると、等号を外す理由を元の問題の言葉に戻せます。

標準例題：基準点が文字で動く

方程式 x² − 6x + 5 = 0 の2つの解が、実数 t を厳密にはさむような t の範囲を、不等号で求めてください。

解き方

f(x) = x² − 6x + 5 とします。二次係数は正なので、求める条件は f(t) < 0 です。t は解く対象の文字ですが、各値については横軸上の基準点として扱えます。

f(t) < 0
t² - 6t + 5 < 0
(t-1)(t-5) < 0

積が負になるのは2つの因数の符号が異なるときです。t < 1 では両方負、1 < t < 5 では前が正で後が負、t > 5 では両方正です。t = 1、5 は積が0ですから除きます。答えは 1 < t < 5 です。

元の方程式は (x-1)(x-5) = 0 なので、解は 1 と 5 です。得られた範囲は確かにこの2解の間です。例えば t = 3 なら左右に1つずつありますが、t = 1 では基準点が左の解そのものです。t = 0 や 6 では両解が同じ側にあり、範囲に含まれません。

この例では因数分解によって解を先に求めても同じ答えになります。ただし、方程式側に文字が残る場合は根を比較する式が複雑になることがあります。基準点を代入してから条件を作る方法は、解そのものを求めずに存在と配置を同時に扱える点が利点です。

発展例題：境界を許すと何が増えるか

実数 m について、方程式 x² − 2mx + m + 2 = 0 を考えます。異なる2つの実数解を小さい順に α、β とするとき、次のそれぞれを満たす m の範囲を不等号で求めてください。

1. α < 1 < β
2. α ≤ 1 ≤ β

解き方

f(x) = x² − 2mx + m + 2 とおきます。二次係数は1で正です。まず基準点 1 の値を計算します。

f(1) = 1 - 2m + m + 2
     = 3 - m

1 は f(1) < 0 と同値です。

3 - m < 0
m > 3

答えは m > 3 です。この範囲では基準点の高さが負なので、別途2解の存在を仮定する必要はありません。

2 では端の一致を許します。f(1) < 0 の場合に加え、f(1) = 0 の場合を調べます。等号は m = 3 で、そのとき元の式は次のとおりです。

x² - 6x + 5 = 0
(x-1)(x-5) = 0
x = 1, 5

2解は異なり、1 ≤ 1 ≤ 5 を満たします。したがって答えは m ≥ 3 です。ここでは等号の時点が異なる2解を持つと確かめたので、非正の条件をそのまま採用できます。

一般に f(c) ≤ 0 と書くだけでは、異なる2解という指定を必ずしも満たしません。等号のときは重解もあり得るからです。例えば上に開く f(x) = (x-c)² では f(c) = 0 ですが、異なる2解はありません。等号の場合を元の式に戻し、もう一方の解が基準点と異なるかを確認する段階が、厳密な条件を扱う基本例題との分かれ目です。

m = 2 では f(1) = 1 です。平方完成すると f(x) = (x-2)² で、1における正の値は重解という可能性にも対応します。m = 4 では f(1) = -1 なので、1をはさむ異なる2解が存在します。m = 3 の境界と両側を合わせて、回答の不等号を照合できます。

誤答をどこで直すか

基本例題で「f(2) ≤ 0 だから k ≤ 0」とするのは誤りです。原因は、グラフが横軸より下にあることと、横軸上にあることを同じ条件にした点にあります。図3のように k = 0 では、基準点 2 は交点に重なります。

図3のように、左の解は 0、右の解は 2 です。基準点の左に解はありますが、右に解はありません。したがって「左右に1つずつ」という要求を満たさず、k = 0 を除いて k < 0 と修正します。図は縦と横の縮尺が異なります。

逆の誤りとして、2解が存在することだけを確かめて基準点への代入を省く場合もあります。上に開く放物線でも、2つの交点がともに基準点の左にあれば、左右に分かれません。存在と配置は別の要求です。ただし f(c) < 0 を得た場合には、先ほどの平方完成による説明が両方を保証します。

練習：位置と言葉を照らす

各問は実数の範囲で考え、求める範囲は不等号で表してください。2解というときは異なる実数解を指します。

1. x² + 2x + a = 0 の2解が 1 を厳密にはさむような a の範囲を求めてください。
2. x² − 4x − 5 = 0 の2解が t を厳密にはさむような t の範囲を求めてください。
3. x² + px + 2 = 0 の2解が -2 を厳密にはさむような p の範囲を求めてください。
4. x² − 2bx + b² − 4 = 0 の2解を α < β とします。α ≤ 0 ≤ β となる b の範囲を求めてください。
5. 2x² − 4x + h = 0 の2解が 3/2 を厳密にはさむような h の範囲を求めてください。

練習の答えと確かめ

1

f(x) = x² + 2x + a とすると、二次係数は正です。基準点 1 の値を負にします。

f(1) = 1 + 2 + a
     = a + 3
a + 3 < 0
a < -3

答えは a < -3 です。境界 a = -3 では式は (x-1)(x+3) となり、1 が解なので除きます。a = -4 では基準点での値が -1 となり、確かに1の両側に解があります。a = -2 では値が1で、この条件を満たしません。

2

f(t) < 0 を解きます。

t² - 4t - 5 < 0
(t+1)(t-5) < 0
-1 < t < 5

答えは -1 < t < 5 です。元の方程式の解は -1 と 5 なので、この範囲の点は確かに2解の間です。両端では基準点が解と一致し、範囲の外では両解が基準点の同じ側にあります。

3

基準点は -2 です。代入時に一次の項の符号に注意します。

f(-2) = (-2)² + p・(-2) + 2
      = 6 - 2p
6 - 2p < 0
p > 3

答えは p > 3 です。p = 3 では元の式は (x+1)(x+2) で、-2 が解です。p = 4 では f(-2) = -2 となり、負の高さから左右に解が存在します。p = 2 では f(-2) = 2 で、求める配置にはなりません。

4

平方完成された式から、各 b に対する2解は b-2、b+2 と求まります。2解の差は常に4なので、どの b でも異なります。条件をそのまま戻します。

b - 2 ≤ 0 ≤ b + 2
b ≤ 2 かつ b ≥ -2
-2 ≤ b ≤ 2

答えは -2 ≤ b ≤ 2 です。b = -2 の解は -4 と 0、b = 2 の解は 0 と 4 です。両端とも基準点が一方の解ですが、等号を許し、他方の解とも異なります。範囲外の b = 3 では解は 1 と 5 で、ともに0より右です。

5

二次係数 2 は正です。分数のまま基準点を代入します。

f(3/2) = 2・(3/2)² - 4・(3/2) + h
       = 9/2 - 6 + h
       = h - 3/2
h - 3/2 < 0
h < 3/2

答えは h < 3/2 です。h = 3/2 では f(3/2) = 0 なので厳密にははさみません。h = 0 なら元の式は 2x(x-2) で、解 0 と 2 は確かに 3/2 の左右にあります。h = 2 では 2(x-1)² となり、重解なので条件を満たしません。

要点を短く

上に開く二次関数では、f(c) < 0 と異なる2解が c を厳密にはさむことは同値です。
f(c) = 0 では c 自身が解なので、厳密にはさむ条件から外します。
等号を許しても異なる2解が必要なら、境界で重解にならないか調べます。

答えの前に確認すること

不等号を選べないときは、基準点が解そのものになる図を描き、問題文がその点を許すか声に出して読んでみます。基準点の代入式で符号を間違えた場合は、括弧を残してから計算すると誤りの場所を追えます。

個別指導で確かめるなら、まず二次係数が正か、次に基準点の高さが負である理由を図と式の両方で説明できるかを見ます。最後に等号の値を元の方程式に戻し、解の個数と位置を言葉で照合します。基準点の高さと交点の位置を結ぶことで、不等号の意味が具体的になります。