高校数学I 二次関数の区間内の解の個数—端点と重解を分けて一つだけとなる条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

端点の解と区間内の重解を拾い、端点値の積が負にならない場合も数えながら、区間内の解の個数を絞ります。

高1の本人が復習中、二次方程式の解が閉区間にちょうど1個ある条件を、左右の端の値の積が負になることだけで答える場面があります。確かに、両端の符号が違えば途中で横軸を横切ります。しかし、端点そのものが解になる場合や、区間の中で横軸に接する場合は、その判定から漏れます。解の個数とは、式に代入して0になる異なる実数の個数です。同じ値を重ねて数えないことから、条件を整理します。

何を数える問題か

出方には、端点の符号から個数を判定する型、文字を含む式について区間内に1個となる文字の範囲を求める型、解を直接求めて端点を含むか調べる型があります。どの型でも、まず二次係数が0でないかを確認します。0なら式の次数が変わるため、その値を別に調べます。また、区間の両端が同じときは1点の集合です。両端の大小が逆なら指定された不等式を満たす数がなく、解もありません。

必要な道具は平方完成、二次方程式の実数解、一次不等式です。閉区間 p ≦ x ≦ q では、p と q も数えます。開区間の場合は端点を数えないため、同じ図でも結論が変わります。ここでは特に p < q の閉区間を中心に扱います。

端点、内部、重解を別々に見る

f(x) = ax² + bx + c、a ≠ 0 とします。判別式 D = b² − 4ac が負なら実数解はなく、0なら重解が1個、正なら異なる実数解が2個あります。D = 0 のときの解は軸 x = -b/(2a) です。その座標が p ≦ x ≦ q を満たすとき、閉区間内の解は1個です。端点に重解があっても1個です。

D > 0 の2解を小さい順に α、β とします。閉区間内に1個となるのは、α が区間に入り β が外にあるか、β が区間に入り α が外にある場合です。これが直接の定義であり、どちらの端点にも等号が付くことを忘れません。解を正確に求められるなら、この判定が最も確実です。

図1のように、両端の値が反対符号なら p と q は2解の間と外側に分かれます。積が負のときは内部に異なる解がちょうど1個あります。二次式は2解の外側で a と同符号、2解の間で a と異符号だからです。逆に積が0のときは端点が解ですし、積が正でも内部に重解がありえます。したがって積が負という条件は十分ですが、必要ではありません。

端点が解の場合は、もう一方の解も確かめます。例えば p が解で q が解でないとき、他方が p より小さいか q より大きければ、区間内には p の1個です。他方が p と一致する重解でも1個です。一方、他方が p より大きく q 以下なら2個です。両端が異なる解なら閉区間内は2個です。端点値が0という情報だけで1個と決めることもできません。

基本例題：積が負の範囲に端点を加える

実数 t について、方程式 x² − 3x + t = 0 の異なる実数解が閉区間 0 ≦ x ≦ 2 にちょうど1個あるような t の範囲を、不等号で求めてください。

f(x) = x² − 3x + t とすると、二次係数は1で0ではありません。端点の値は次の通りです。

f(0) = t
f(2) = 4 - 6 + t
     = t - 2

まず両端の積が負になる条件を解きます。

t(t - 2) < 0
0 < t < 2

この範囲では両端の符号が違うため、区間の内部に1個です。次に積が0となる t = 0、2 を元の式で調べます。

t = 0 のとき x² - 3x = x(x - 3) = 0
t = 2 のとき x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0

前者の解は 0、3 なので、区間内は端点 0 の1個です。後者の解は 1、2 なので、区間内は2個です。端点の値が0でも結果が異なります。図2のように、t = 0 の他方の解は右端より外にあります。

積が正となる場合も漏らせません。t < 0 では f(0) < 0、f(2) < 0 です。上に開く二次式の負の部分は2解の間なので、両端は2解の間にあり、どちらの解も区間内にありません。t > 2 では平方完成して判定します。

f(x) = (x - 3/2)² + t - 9/4

軸 3/2 は区間の内部です。2 < t < 9/4 なら頂点が負で両端が正なので、軸の両側に1個ずつ、計2個あります。t = 9/4 では x = 3/2 の重解が1個です。t > 9/4 では頂点が正で解はありません。よって答えは次です。

0 ≦ t < 2 または t = 9/4

各境界を元へ戻すと、t = 0 は0だけ、t = 2 は1と2、t = 9/4 は3/2だけです。たとえば t = 1 では端点値が1と-1で1個、t = 17/8 では頂点値が -1/8 なので2個です。端点の符号が同じ場合も調べたことで、離れた1点 t = 9/4 を拾えました。

標準例題：解の位置を直接動かす

実数 a について、方程式 (x − a)(x − a − 3) = 0 の異なる実数解が閉区間 1 ≦ x ≦ 4 にちょうど1個あるような a の範囲を求めてください。

二次係数は1で、2解は a と a + 3 です。3だけ離れているため異なる解です。まず小さい解 a が区間に入る条件は次です。

1 ≦ a ≦ 4

そのとき大きい解 a + 3 も区間に入る条件は次です。

1 ≦ a + 3 ≦ 4
-2 ≦ a ≦ 1

2つの条件を同時に満たすのは a = 1 です。このとき解は1と4で、両端の2個です。小さい解だけが入る範囲は 1 < a ≦ 4 です。同じように、大きい解だけが入る範囲は -2 ≦ a < 1 です。よって答えは次です。

-2 ≦ a < 1 または 1 < a ≦ 4

境界を戻して確認します。a = -2 の解は -2、1 で1個、a = 1 の解は1、4で2個、a = 4 の解は4、7で1個です。a < -2 では両解が左、a > 4 では両解が右にあり、0個です。両端を含むという問題文の条件が、外側の等号と中央の除外の両方に表れています。

発展例題：次数が下がる値も候補に残す

実数 k について、方程式 (k − 1)x² − 2x + 1 = 0 の異なる実数解が閉区間 0 ≦ x ≦ 1 にちょうど1個あるような k の範囲を求めてください。

k = 1 では二次式でなくなります。先に元の方程式へ戻すと、-2x + 1 = 0 ですから x = 1/2 となり、条件を満たします。以後 k ≠ 1 とします。f(0) = 1、f(1) = k − 2 です。k < 2 なら端点の積が負で、区間内に1個です。すでに調べた k = 1 もこの範囲に入ります。

k = 2 では f(x) = (x − 1)² となり、端点1に重解が1個です。k > 2 では k − 1 > 1 なので、平方完成すると次のようになります。

f(x) = (k - 1)(x - 1/(k - 1))² + 1 - 1/(k - 1)

定数部分は正です。平方の項も負にならないため、全ての x で f(x) > 0 です。解はありません。したがって答えは k ≦ 2 です。

この結論を境界とその両側で確認します。k = 0 では -x² − 2x + 1 = 0、正の解は -1 + √2 です。1 < √2 < 2 より 0 < -1 + √2 < 1 であり、代入して0となります。k = 1 では一次方程式の解が1/2、k = 2 では端点1の重解、k = 3 では平方完成後の最小値が正です。二次式としての判別式を k = 1 にそのまま適用せず、元の式の解を数えたことが決め手です。

誤答から判定を修理する

「f(0)f(2) < 0 だけを解き、基本例題の答えを 0 < t < 2 とする」という答案を考えます。積が負なら1個という判断自体は正しいですが、積が負でない場合を調べないまま、他に可能性がないと結論した点が原因です。t = 0 は端点0が解で、もう一方の3は区間外です。t = 9/4 は内部の3/2で接する重解です。どちらも積は負ではありません。

図3のように、まず積が負、0、正に分けます。積が0なら端点と他方の解を数え、正なら重解を含む0個・2個・1個の可能性を調べます。積が正のときに1個となるのは、端点が解でないため区間内部の重解の場合です。異なる2解があって端点値が同符号なら、2解とも区間内か、どちらも区間外です。

別の誤りとして、重解を2個と数えることがあります。たとえば (x − 1)² = 0 を満たす実数は1という値だけです。式に同じ因数が2回現れることと、異なる値の個数は別です。また、解が端点なら閉区間には含めます。問題の不等号を先に書き写し、解ごとに代入して範囲を確かめてください。

自分で調べる5問

次の各問では、異なる実数解の個数を数えます。文字の範囲は不等号で答えてください。

1. 方程式 x² − 5x + 4 = 0 の解のうち、閉区間 0 ≦ x ≦ 2 にあるものの個数を求めてください。
2. 方程式 (x − 3)² = 0 の解のうち、閉区間 3 ≦ x ≦ 6 にあるものの個数を求めてください。
3. 方程式 (x − s)(x − s − 2) = 0 の解が閉区間 -1 ≦ x ≦ 1 にちょうど1個ある s の範囲を求めてください。
4. 方程式 x² − 2x + u = 0 の解が閉区間 0 ≦ x ≦ 3 にちょうど1個ある u の範囲を求めてください。
5. 方程式 (v − 2)x² + x − 1 = 0 の解が閉区間 0 ≦ x ≦ 1 にちょうど1個ある v の範囲を求めてください。

5問の解き方と答え

1. 因数分解すると (x − 1)(x − 4) = 0 です。解は1と4で、0 ≦ 1 ≦ 2 ですが4は範囲外です。答えは1個です。元の式に1を入れると 1 − 5 + 4 = 0 で、区間の条件も満たします。

2. 解は x = 3 の重解です。3は左端なので閉区間に含まれます。答えは1個です。3を元の式に代入すると左辺は0であり、異なる値としては3しかありません。

3. 2解は s、s + 2 です。前者が入るのは -1 ≦ s ≦ 1、後者が入るのは -3 ≦ s ≦ -1 です。両方が入る共通部分は s = -1 で、このとき解は -1、1 の2個です。よって答えは -3 ≦ s < -1 または -1 < s ≦ 1 です。s = -3 では -3、-1、s = 1 では1、3なので、各端で1個となります。範囲の外では両解とも区間外です。

4. g(x) = x² − 2x + u とすると g(0) = u、g(3) = u + 3 です。積が負なのは -3 < u < 0 です。u = -3 では解が -1、3で1個、u = 0 では解が0、2で2個です。積が正の u < -3 では両端が負で解は両端の外です。u > 0 では g(x) = (x − 1)² + u − 1 として、0 < u < 1 は2個、u = 1 は x = 1 の重解1個、u > 1 は0個です。答えは -3 ≦ u < 0 または u = 1 です。u = 1 を元の式へ戻すと (x − 1)² = 0 となり、1は区間内です。

5. v = 2 では一次方程式 x − 1 = 0 となり、端点1の1個です。v ≠ 2 のとき h(0) = -1、h(1) = v − 2 です。v > 2 なら積が負で1個です。v < 2 では両端が負ですが、これだけでは重解を除けません。平方完成の代わりに、区間内の x について元の式を変形します。

(v - 2)x² + x - 1 = 0
v = 2 + (1 - x)/x²　（x > 0）

x = 0 は元の式を満たしません。0 < x ≦ 1 では右辺が2以上なので、v < 2 には解がありません。答えは v ≧ 2 です。v = 2 の解1を元の式に代入すると0です。v > 2 では端点の符号が違うので、解は区間の内部にちょうど1個あります。

解を数える前の確認

閉区間の問題では、方程式の解を求めた後にも作業が残ります。例えば解が区間の右端と一致したら、その値を含めて数えます。右端より大きい解は元の方程式を満たしても、指定された範囲の解には入りません。解の候補を得る段階と、指定された範囲で個数を数える段階を分けると、端点の扱いが明確になります。

また、判別式は実数全体での解の個数を教えますが、それだけでは区間内に何個あるかは決まりません。2解があればそれぞれの位置を、重解ならその位置を区間と比べます。解の存在と、その解が指定範囲に入ることは別の条件です。

手元に残す要点

• 二次係数が0になる値は元の式に戻して別に数えます。
• 端点値の積が負なら、閉区間の内部に異なる解が1個あります。
• 積が0なら端点と他方の解を、積が正なら重解も調べます。
• 重解は異なる実数解として1個、閉区間の端点は含めます。
• 求めた境界値とその両側を元の条件で確かめます。

どこで数え違えたか

端点値の積だけで答えが終わっている答案には、積が0の具体例を戻してみます。そこで2個になる場合と1個になる場合を区別できれば、他方の解を調べる必要が見えてきます。積が正の場合には、軸が区間内にある重解を描き、接点を1個と数えられるか確かめます。

個別に式を見直すときは、まず区間の端に丸を付け、次に各解の位置と個数を声に出して説明します。文字の範囲が得られたら境界値を元の方程式に代入し、次数が変わる値と重解を別に確認します。端点と重解を数え直せば、解の個数の条件は最後までつながります。