高校数学I 二次関数の解の配置と区間内—軸と両端と判別式で必要な条件を組み合わせる｜武蔵野個別指導塾

軸と両端の符号に判別式を重ね、端点を含む場合と含まない場合を分ける解の配置です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、放物線の軸が区間内にあることと両端の値が正であることを確かめ、そのまま「2つの解は区間内」と結論する場面です。ところが、グラフが横軸より上で折り返していれば、実数解はありません。軸と端点の情報に、横軸と実際に交わる条件を足す必要があります。

ここでは2つの異なる実数解が指定された区間に入る条件を扱います。端点を含むかどうかで不等号がどう変わるかも、図と式の両方から追います。

問題文のどこで条件が変わるか

出方の1つは、係数に文字を含む二次方程式について、異なる2つの解が開区間の中にあるように文字の範囲を求める型です。開区間 p < x < q は、両端 p、q を含みません。軸、端点、判別式の条件をそれぞれ出し、共通部分を取ります。

もう1つは、閉区間 p ≤ x ≤ q に2解が入る型です。端点が解でも許されるので、端点の符号に等号を付けます。ただし、異なる2解という指定が残る限り、判別式には等号を付けません。端点を含むことと、2解が重なることは別の条件です。

さらに、2次の係数が負のときや文字を含むときは、上に開く図をそのまま使えません。係数の符号を先に調べ、0なら二次方程式ではなくなることにも注意します。以下では平方完成、一次不等式、二次方程式の判別式を使います。2次の係数が0でないことを毎回確かめてから、放物線として考えます。

3つの条件が受け持つ役割

f(x) = ax² + bx + c とし、a ≠ 0、p < q とします。方程式 f(x) = 0 の判別式を D = b² − 4ac、放物線の軸を x = h とすると、h = -b/(2a) です。平方完成によって、グラフは軸の左右で対称になります。

図1のように、異なる2解がともに p と q の間にあるためには、まず D > 0 が必要です。D = 0 は横軸に接する重解であり、異なる2解ではありません。D < 0 なら横軸と交わらず、実数解はありません。

図1では2つの交点の真ん中に軸があります。したがって、2解が区間内なら p < h < q です。また上に開く放物線では、2解の外側で関数値が正なので、両端の値は f(p) > 0、f(q) > 0 です。下に開く場合は符号が逆になります。まとめると、開区間内に異なる2解がある条件は次の3組です。

D > 0
p < h < q
a f(p) > 0 かつ a f(q) > 0

最後の式は、上向きと下向きを同じ形で表しています。例えば a < 0 なら f(p) < 0 と f(q) < 0 です。各条件が必要であるだけでなく、3組を同時に満たせば十分であることも確かめましょう。

D > 0 により異なる実数解を小さい順に r、s と書けます。平方完成から h = (r + s)/2 です。実際、頂点を用いて f(x) = a(x − h)² + v と表すと、2解は h から左右に等しい距離にあります。このとき f(x) = a(x − r)(x − s) と書け、a f(x) = a²(x − r)(x − s) です。よって a f(x) > 0 となるのは x < r または x > s のときです。

p < h < q と a f(p) > 0 を合わせると、p が s より右にあることはありません。h は r と s の間にあるので、p < r です。同じように q は r より左にはなく、q > s です。したがって p < r < s < q が成り立ちます。軸が、端点が2解のどちら側にあるかを決める役割を果たします。

閉区間では端点が解になることを許すため、3組の最後を a f(p) ≥ 0、a f(q) ≥ 0 に替えます。軸は引き続き p < h < q です。異なる2解が両端に一致する場合でも、その中点は両端の間にあるからです。D > 0 も変わりません。逆に、これらの条件から同じ議論で p ≤ r < s ≤ q が得られます。

この説明は p < q を前提とします。p = q の1点だけの区間には異なる2解は入らず、p > q なら指定した区間は空です。端点を含むかどうかを決める前に、区間自体が成立するかを見ておきます。

基本例題：軸が固定された開区間

問題　二次方程式 x² − 4x + k = 0 の異なる2つの実数解が、ともに 0 < x < 5 にあるような実数 k の範囲を、不等号を用いて求めてください。

解答　2次の係数は 1 なので0ではなく、上に開きます。f(x) = x² − 4x + k と置き、まず平方完成します。

f(x) = (x - 2)² - 4 + k

軸は x = 2 で、0 < 2 < 5 を満たします。図2のように軸が区間内にあっても、頂点が横軸より上なら交点はありません。異なる2解を得るため、判別式を調べます。

D = (-4)² - 4・1・k
  = 16 - 4k
D > 0 より 16 - 4k > 0
したがって k < 4

次に、両端の関数値が正である条件を出します。

f(0) = k
f(5) = 25 - 20 + k = 5 + k
f(0) > 0 より k > 0
f(5) > 0 より k > -5

これらの共通部分は 0 < k < 4 です。軸の条件も満たしているので、先ほど示した十分性から、この範囲の k では2解がともに開区間に入ります。

境界を元の問題に戻して調べます。k = 0 では x(x − 4) = 0 となり、解は 0、4 です。0 は端点なので条件を満たしません。k = 4 では (x − 2)² = 0 となり、解は2に重なります。軸も両端の値も適切ですが、異なる2解ではありません。

図2は条件を満たす k = 3 の例です。このとき f(x) = (x − 1)(x − 3) で、交点は1と3、頂点は (2, -1) です。両方の交点が0と5の間にあることを、式と図の双方で確かめられます。図は横と縦の縮尺を変えています。

標準例題：動く軸と端点の条件

問題　二次方程式 x² − 2tx + t + 2 = 0 の異なる2つの実数解が、ともに -1 < x < 3 にあるような実数 t の範囲を、不等号で求めてください。

解答　g(x) = x² − 2tx + t + 2 とします。2次の係数は 1 です。平方完成すると次のようになります。

g(x) = (x - t)² - t² + t + 2

軸は x = t なので、軸の条件は -1 < t < 3 です。判別式は係数の偶数部分を使うと整理しやすくなりますが、ここでは D をそのまま計算します。

D = (-2t)² - 4(t + 2)
  = 4(t² - t - 2)
  = 4(t - 2)(t + 1)
D > 0 より t < -1 または t > 2

軸の条件との共通部分は 2 < t < 3 です。両端も調べます。

g(-1) = 1 + 2t + t + 2 = 3t + 3
g(3) = 9 - 6t + t + 2 = 11 - 5t
g(-1) > 0 より t > -1
g(3) > 0 より t < 11/5

全部を合わせると、答えは 2 < t < 11/5 です。D > 0、軸が区間内、両端の値が正という必要十分条件を満たすので、この範囲の t で2解が指定の開区間に入ります。

境界では何が起きるでしょうか。t = 2 なら g(x) = (x − 2)² で重解です。t = 11/5 なら g(3) = 0 で、端点3が解になります。このとき 5g(x) = (x − 3)(5x − 7) なので、もう1つの解は 7/5 です。2解は異なりますが、3を含まない開区間では失格です。

たとえば t = 21/10 は求めた範囲内です。軸は 21/10、D = 31/25、g(-1) = 93/10、g(3) = 1/2 で、3組の条件を満たします。一方、t = 23/10 では g(3) = -1/2 となり、右端が2解の間に入ります。判別式と軸がよくても、端点の条件を省けないことが見えます。

発展例題：閉区間では何に等号を付けるか

問題　二次方程式 x² − 6x + k = 0 の異なる2つの実数解が、ともに 1 ≤ x ≤ 5 にあるような実数 k の範囲を、不等号で求めてください。

解答　F(x) = x² − 6x + k とします。2次の係数は 1、軸は平方完成から次のように求まります。

F(x) = (x - 3)² + k - 9

1 < 3 < 5 なので軸の位置はよいことがわかります。2解が異なる条件は次のとおりです。

D = (-6)² - 4k = 36 - 4k
D > 0 より k < 9

端点を含むので、両端の値は0でもかまいません。

F(1) = 1 - 6 + k = k - 5
F(5) = 25 - 30 + k = k - 5
F(1) ≥ 0 かつ F(5) ≥ 0 より k ≥ 5

共通部分は 5 ≤ k < 9 です。必要十分条件から、この範囲が答えです。k = 5 を代入すると F(x) = (x − 1)(x − 5) となり、異なる2解が両端にあります。閉区間には両端が含まれるため、この値は採用します。

k = 9 では F(x) = (x − 3)² で、区間内にはありますが解は重なります。異なる2解を求める問題なので採用しません。たとえば k = 8 では F(x) = (x − 2)(x − 4) で、2と4は指定区間内です。k = 4 では F(1) = F(5) = -1 となり、両端が2解の間にあるため2解は区間の外側です。

標準例題との分かれ目は、閉区間の端点を解として受け入れるかどうかです。判別式の等号は解が重なるかどうかを表すので、端点の等号と別々に判断します。問題が「重解も含む」と指定するなら別の判定が必要ですが、ここでは異なる2解に限っています。

誤答を図で戻す

図3のように、h(x) = (x − 2)² + 1 を 0 < x < 4 で考えます。「軸は2で区間内、h(0) = h(4) = 5 は正だから、異なる2解は区間内」という答えは誤りです。実際には最小値が1で、グラフ全体が横軸より上にあります。

原因は、軸と端点の条件を、交点が存在する条件と取り違えたことです。h(x) = x² − 4x + 5 の判別式は D = 16 − 20 = -4 です。D < 0 なので実数解がなく、配置を決める対象がありません。修正するときは、D > 0 を最初に追加し、その後で軸と両端の条件を合わせます。図3も横と縦の縮尺を変えています。

逆に、D > 0 と両端の値が正でも軸が区間外なら不十分です。例えば (x − 5)(x − 6) = 0 は異なる2解を持ち、区間 0 < x < 4 の両端で値が正ですが、解は両方とも右側です。軸は 11/2 で区間外です。条件を1つずつ外すと何が起きるかを考えると、3組の役割を区別できます。

また、a < 0 の式で端点を正と置く誤りにも注意します。下に開く場合、2解の外側では関数値が負です。a f(端点) の符号で整理するか、式全体に -1 を掛けて上に開く式に直してから判定します。

5つの問題で境界を調べる

次の各問では、指定された範囲を不等号で答えてください。いずれも異なる2つの実数解を対象とします。問題を一通り考えてから、後の解答と比べてください。

1. x² − 6x + k = 0 の2解が、ともに 1 < x < 6 にあるような実数 k の範囲を求めてください。
2. x² − 2x + k = 0 の2解が、ともに -1 ≤ x ≤ 3 にあるような実数 k の範囲を求めてください。
3. x² − 2mx + 4 = 0 の2解が、ともに 0 < x < 5 にあるような実数 m の範囲を求めてください。
4. -x² + 4x + k = 0 の2解が、ともに -1 < x < 4 にあるような実数 k の範囲を求めてください。
5. (x − 2)² + t = 0 の2解が、ともに 0 ≤ x ≤ 4 にあるような実数 t の範囲を求めてください。

解答と確かめ

1　2次の係数は1、軸は x = 3 で、1 < 3 < 6 です。f(x) = x² − 6x + k と置きます。

D = 36 - 4k > 0 より k < 9
f(1) = k - 5 > 0 より k > 5
f(6) = k > 0 より k > 0

共通部分は 5 < k < 9 です。k = 5 では (x − 1)(x − 5) = 0 となり、1が除外されます。k = 9 では (x − 3)² = 0 となり重解です。範囲内の k = 8 では解が2と4で、どちらも元の開区間にあります。

2　2次の係数は1、軸は x = 1 で、-1と3の間です。g(x) = x² − 2x + k と置くと、端点は閉区間なので0を許します。

D = 4 - 4k > 0 より k < 1
g(-1) = k + 3 ≥ 0 より k ≥ -3
g(3) = k + 3 ≥ 0 より k ≥ -3

答えは -3 ≤ k < 1 です。k = -3 では (x + 1)(x − 3) = 0 で、2解は閉区間の両端です。k = 1 では (x − 1)² = 0 となり、異なる2解ではありません。範囲内の k = 0 では解が0と2で、ともに区間内です。

3　2次の係数は1、軸は x = m です。軸の条件は 0 < m < 5 です。h(x) = x² − 2mx + 4 とすると、

D = 4m² - 16 > 0 より m < -2 または m > 2
h(0) = 4 > 0
h(5) = 29 - 10m > 0 より m < 29/10

共通部分は 2 < m < 29/10 です。m = 2 では (x − 2)² = 0 で重解です。m = 29/10 では 5h(x) = (x − 5)(5x − 4) となり、一方が除外される端点5です。範囲内の m = 5/2 では h(x) = (x − 1)(x − 4) で、1と4は元の開区間内です。

4　2次の係数は -1 で、軸は x = 2 です。-1 < 2 < 4 を満たします。下に開くので両端の値を負とします。

D = 16 + 4k > 0 より k > -4
f(-1) = k - 5 < 0 より k < 5
f(4) = k < 0 より k < 0

答えは -4 < k < 0 です。k = -4 では -(x − 2)² = 0 で重解です。k = 0 では -x(x − 4) = 0 の解4が端点です。範囲内の k = -3 では -(x − 1)(x − 3) = 0 となり、1と3が元の区間内にあります。

5　2次の係数は1、軸は x = 2 で、0と4の間です。展開すると x² − 4x + 4 + t です。

D = 16 - 4(4 + t) = -4t
D > 0 より t < 0
f(0) = 4 + t ≥ 0 より t ≥ -4
f(4) = 4 + t ≥ 0 より t ≥ -4

答えは -4 ≤ t < 0 です。t = -4 では (x − 2)² − 4 = x(x − 4) なので、解は許された両端0と4です。t = 0 では解2が重なります。範囲内の t = -1 では (x − 2)² = 1 より解は1と3で、元の閉区間に入ります。

手元に残す4行

• 異なる2解の存在は D > 0 で判定します。
• 軸は区間の内部に置き、端点が2解の外側にあることを調べます。
• 開区間では a f(両端) > 0、閉区間では a f(両端) ≥ 0 です。
• 境界値を元の式に戻し、端点の解と重解を区別します。

どこで止まったかを見分ける

条件を並べた後で答えが広すぎるときは、まず判別式、軸、両端のどれを省いたかを見ます。各不等式が示す範囲を数直線に描き、重なった部分を読み取ると、共通部分の取り違えも見つけやすくなります。

個別指導では、端点を含む問題と含まない問題を並べ、等号を変える理由を本人の言葉で説明できるかを確かめます。軸が外にある例と交点がない例も描き、式の条件が図の何を保証しているかを結び付けます。2解の存在とその位置を別々に確認すると、区間内の配置を根拠を持って判定できます。