高校数学I 二次関数の横軸との位置関係—頂点の高さと交点の個数を係数の符号で読み分ける｜武蔵野個別指導塾

判別式が負でもグラフ全体が下側にある場合があります。頂点の高さと二次係数の符号を照らし、交点の個数と上下の位置を別々に判定します。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、判別式 D が負なら放物線はいつも横軸の上にあると考える場面です。交点がないことまでは正しいのですが、上に開く放物線と下に開く放物線では、交点がないときの位置が逆になります。交点の個数とグラフの上下を別々に判定し、最後に組み合わせましょう。

要点（結論から）

• 二次係数が0でないことを確かめ、正負から開く向きを決めます。
• D の正・0・負は交点の個数2・1・0に対応します。
• 頂点の高さは -D/(4a) で、上下の判定には a の符号も必要です。

何を判定する問題か

この話題には主に3つの型があります。式が数で決まっているときに横軸との交点の個数と位置を答える型、文字を含む式について2点で交わる・接する・交わらない条件を求める型、全実数でグラフが横軸より上または下にある条件を求める型です。どの型でも、最初に二次の係数が0でないことを確かめます。係数が文字なら、0になる場合は放物線ではないので別に調べます。

使う道具は平方完成と、二次方程式の判別式です。交点を求める際には y = 0 と置きます。実数解の個数が交点の個数に対応しますが、個数だけでは上下は決まりません。軸の位置を示す x 座標と、頂点の高さを示す y 座標を取り違えないことも必要です。

頂点の高さと判別式を結ぶ

二次関数 y = ax² + bx + c で a ≠ 0 とします。平方完成すると、D = b² − 4ac を用いて次の形です。

y = a(x + b/(2a))² + c - b²/(4a)
  = a(x + b/(2a))² - D/(4a)

軸は x = -b/(2a)、頂点の高さは -D/(4a) です。平方の部分は0以上なので、a > 0 なら頂点が最も低く、a < 0 なら頂点が最も高くなります。図1のように、頂点が横軸からどちら側にあるかと開く向きの両方を見ると、交点の数を説明できます。図の放物線は関係を示す模式図です。

図1では左が上に開き、右が下に開きます。いずれも頂点が横軸から離れ、グラフ全体が横軸と交わらない例です。頂点の高さの符号が反対でも、交点がないという点は同じです。

a > 0 の場合、頂点が負なら2点で交わり、0なら頂点で接し、正なら交わりません。a < 0 の場合は頂点が正なら2点で交わり、0なら接し、負なら交わりません。接するときは重解であり、異なる交点としては1個です。D > 0、D = 0、D < 0 はそれぞれ交点2個、1個、0個に対応し、この個数の対応は a の正負によらず成り立ちます。

全実数で y > 0 が成り立つための必要十分条件は a > 0 かつ D < 0 です。十分性は頂点の高さが正であることから従います。必要性は、a < 0 では平方の項が大きくなるにつれて値が負になり、a > 0 でも頂点の高さが正でなければ、その頂点で条件を満たさないことから従います。同様に全実数で y < 0 となる条件は a < 0 かつ D < 0 です。

等号を許す場合には境界が変わります。全実数で y ≧ 0 なら a > 0 かつ D ≦ 0、全実数で y ≦ 0 なら a < 0 かつ D ≦ 0 です。D = 0 では頂点で y = 0 になるので、厳密な正や負には含めません。以下は定義域を全実数とする話であり、区間が限られた場合はその区間の中で別に判断します。

基本例題：2点で交わる形を読む

【問題】関数 y = x² − 4x + 3 のグラフと横軸の交点を座標で求め、交点の個数と頂点の座標を答えてください。定義域は全実数とします。

【解答】二次係数は 1 で正なので上に開きます。まず平方完成します。

y = x² - 4x + 3
  = (x - 2)² - 4 + 3
  = (x - 2)² - 1

頂点は (2, -1) です。最低の点が横軸より下なので、左右に1回ずつ横軸を横切ります。交点は y = 0 を代入して求めます。

(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = 1 または x - 2 = -1
x = 3 または x = 1

したがって交点は (1, 0)、(3, 0) の2個です。図2のように、頂点の左右で同じ高さとなる2点が横軸上にあります。軸 x = 2 は2つの交点の中間にあります。

判別式でも b = -4、c = 3 より D = (-4)² − 4・1・3 = 4 > 0 となり、異なる交点が2個と確かめられます。元の式に戻すと x = 1 では 1 − 4 + 3 = 0、x = 3 では 9 − 12 + 3 = 0 です。x = 2 では 4 − 8 + 3 = -1 となり、頂点の座標も一致します。交点の個数と座標の両方を確認できました。

標準例題：接する境界も含める

【問題】実数 t に対し、y = -x² + 2x + t のグラフと横軸の交点の個数を t の範囲ごとに求めてください。接するときは接点の座標も答えてください。定義域は全実数です。

【解答】二次係数は -1 で、どの t でも0になりません。下に開くので頂点は最高の点です。平方完成すると次のようになります。

y = -(x² - 2x) + t
  = -{(x - 1)² - 1} + t
  = -(x - 1)² + t + 1

頂点は (1, t + 1) です。頂点が正なら2点、0なら1点、負なら0点です。それぞれの条件を t について解くと、t > -1 で2点、t = -1 で1点、t < -1 で0点となります。境界の t = -1 をどちらかの開いた範囲に混ぜず、独立に扱います。

接するとき、式は y = -(x − 1)² となります。y = 0 なら (x − 1)² = 0 なので x = 1、接点は (1, 0) です。元の式にも t = -1、x = 1 を戻すと -1 + 2 − 1 = 0 です。

判別式で見直すと D = 2² − 4・(-1)・t = 4(t + 1) です。D の符号が切り替わるのは t = -1 で、頂点を使った分類と一致します。例えば t = 0 では y = -x(x − 2) で交点は2個、t = -2 では y = -(x − 1)² − 1 で常に負です。境界の両側と接する値をそれぞれ確かめると、等号の付け忘れを見つけやすくなります。

発展例題：二次係数が消える場合

【問題】実数 k に対し、式 f(x) = (k − 1)x² + 2x − 1 を考えます。方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数を k の範囲ごとに求め、さらに f(x) が全実数 x で負となる k の範囲を答えてください。

【解答】ここでは k = 1 で二次係数が0になります。この値を含めたまま二次方程式の判別式を交点の個数に当てはめることはできません。まず k ≠ 1 として調べます。

D = 2² - 4(k - 1)(-1)
  = 4 + 4(k - 1)
  = 4k

k ≠ 1 のもとで、k > 0 なら2個、k = 0 なら1個、k < 0 なら0個です。ただし k = 1 はこの分類から除いています。そのとき元の式は f(x) = 2x − 1 で、2x − 1 = 0 の解は x = 1/2 の1個です。よって答えは次の通りです。

• k < 0：0個
• k = 0 または k = 1：1個
• 0 < k < 1 または k > 1：2個

全実数で負になる条件も、二次の場合と k = 1 を分けます。k ≠ 1 なら、下に開き交点がないことが必要十分です。したがって k − 1 < 0 かつ 4k < 0 となり、共通範囲は k < 0 です。k = 1 では f(1) = 1 > 0 なので全実数で負ではありません。答えは k < 0 です。

境界を元の式で確かめます。k = 0 なら f(x) = -(x − 1)² で x = 1 において0となり、厳密に負ではありません。k = -1 なら f(x) = -2(x − 1/2)² − 1/2 で常に負です。k = 1/2 なら f(x) = -(1/2)(x − 2)² + 1 で2点と交わり、k = 2 なら f(x) = x² + 2x − 1 で頂点が負の上向きの放物線です。両側の代表値と次数が下がる値を戻すと、範囲の抜けを点検できます。

誤答を図で直す

「D < 0 だからグラフは横軸より上」という答えを考えます。交点がないという判定は合っていますが、開く向きを見ていません。たとえば y = -x² − 1 は D = 0² − 4・(-1)・(-1) = -4 です。それでも -x² ≦ 0 なので、全実数で y ≦ -1 < 0 です。

図3のように頂点は (0, -1) で、そこから左右へ進むと値はさらに小さくなります。修正するときは、まず D から交点がないことを読み、次に a = -1 < 0 から下に開くことを読みます。頂点の高さも -D/(4a) = -1 と確かめれば、全体が下にあると結論できます。

判別式が正の場合も、開く向きで頂点の高さは変わります。上に開くなら頂点は負、下に開くなら頂点は正です。いずれも横軸を2回通りますが、頂点から左右に進んだ先の向きは逆です。頂点の高さと D の符号を直接同じにするのではなく、式 -D/(4a) の分母まで含めて判断します。

反対に D = 0 を D < 0 に含める誤りもあります。接点では y = 0 なので「常に正」でも「常に負」でもありません。非負や非正という条件なら接点を許すため、問題文の等号を丸で囲んでから判定すると区別できます。交点が2個のときは横軸の上側と下側の両方に点があるため、全実数で同じ厳密な符号にはなりません。

練習問題

いずれも x の定義域は全実数とします。範囲は不等号で、交点は座標で答えてください。

1. y = x² + 6x + 10 と横軸の交点の個数を求め、グラフが横軸の上と下のどちらにあるか答えてください。
2. y = -2x² + 8x − 8 と横軸の交点の個数と座標を求めてください。
3. y = x² − 2x + s が横軸と異なる2点で交わる実数 s の範囲を求めてください。
4. y = -x² − 4x + u が全実数で負となる実数 u の範囲を求めてください。全実数で非正となる範囲も答えてください。
5. y = (v + 2)x² + 3x + 1 と横軸の交点の個数を実数 v の範囲ごとに求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 平方完成すると y = (x + 3)² + 1 です。頂点の高さは1で上に開くため交点は0個、全体が横軸の上です。D = 6² − 4・1・10 = -4 でも交点がないと確認できます。頂点 x = -3 を元の式に戻すと 9 − 18 + 10 = 1 です。

2. y = -2(x² − 4x + 4) = -2(x − 2)² です。y = 0 は (x − 2)² = 0 と同値なので x = 2 です。交点は1個、座標は (2, 0) です。元の式では -2・4 + 8・2 − 8 = 0 となり、頂点で横軸に接します。

3. D = (-2)² − 4・1・s = 4 − 4s です。異なる2点で交わる条件は D > 0 なので 4 − 4s > 0、答えは s < 1 です。s = 1 では y = (x − 1)² と接し、s = 0 では y = x(x − 2) で2点に交わります。s = 2 では y = (x − 1)² + 1 となり交点はありません。

4. y = -(x + 2)² + u + 4 です。最高値が負なら全実数で負なので u + 4 < 0、答えは u < -4 です。非正なら最高値が0でもよく、u ≦ -4 です。u = -4 のとき x = -2 で元の式の値は -4 + 8 − 4 = 0 で、厳密な負には入りません。u = -5 なら最高値は -1、u = -3 なら x = -2 で値は1です。

5. v = -2 では式は y = 3x + 1 となり、交点は x = -1/3 の1個です。v ≠ -2 では D = 3² − 4(v + 2) = 1 − 4v です。したがって v < 1/4 で2個、v = 1/4 で1個、v > 1/4 で0個ですが、v = -2 は別扱いです。答えは v < -2 または -2 < v < 1/4 で2個、v = -2 または v = 1/4 で1個、v > 1/4 で0個です。v = 1/4 では y = (9/4)(x + 2/3)² となり、x = -2/3 を元の式に代入しても 1 − 2 + 1 = 0 です。v = -2 では 3・(-1/3) + 1 = 0 です。境界の両側では v = -3 なら D = 13、v = -1 なら D = 5、v = 0 なら D = 1、v = 1 なら D = -3 となり、各範囲の判定と一致します。

要点を手元に残す

• 二次係数が0でないことを確かめ、正負から開く向きを決めます。
• D の正・0・負は交点の個数2・1・0に対応します。
• 頂点の高さは -D/(4a) で、上下の判定には a の符号も必要です。
• 全実数で正・負なら D < 0、非負・非正なら D ≦ 0 を使い、向きも合わせます。
• 係数が0になる値と、接する境界は元の式へ戻します。

どこで判断が止まったか

交点の個数は正しいのに上下が逆になるなら、D の符号の横に a の符号を書き足し、頂点が最高点か最低点かを言葉にしてみます。接するときに迷うなら、頂点を元の式に代入して0が条件に含まれるか確かめます。個別指導では、式から平方完成した頂点を示し、図に横軸を引いて、交点の個数とグラフの位置を別々に説明できるかを確かめます。文字係数の問題では、係数が消える値を先に挙げ、その式が何次になるかも確認します。判別式と開く向きを合わせると、横軸との位置を根拠を持って決められます。