高校数学I 二次方程式の判別式—異なる実数解と重解を文字係数の条件から数える｜武蔵野個別指導塾

二次の係数が0になる場合を先に分け、重解と実数解なしの境界を判定する道具は判別式です。

よくあるのは、文字を含む方程式を復習していて、二次の係数が0になる値にも、そのまま判別式の表を当てはめる場面です。計算した数が正でも、元の式が一次式になっていれば、二次方程式の2解という結論は使えません。文字の値を先に分け、残った式の次数を見てから解の個数を数えます。

何を数える問題なのか

出方は大きく3つあります。数だけの係数から実数解の個数を判定する問題、文字を含む定数の範囲を逆に求める問題、そして文字によって二次の項が消える問題です。最後の型では、一次方程式になる場合と、定数だけが残る場合も別に調べます。

ここで数えるのは異なる実数の値の個数です。重解は同じ値が2回現れるという意味で、異なる実数解としては1個です。0も実数の1つです。解の値そのものを求めなくても個数は判定できますが、判定が使える条件を確かめなければなりません。

必要な道具は平方完成と一次不等式です。文字は実数とし、方程式の変数 x も実数の範囲で考えます。判別式は解の位置や正負まで知らせる道具ではありません。ここでは個数に焦点を合わせます。

判別式の符号が個数を決める理由

ax² + bx + c = 0 で、a、b、c は実数、a ≠ 0 とします。このとき D = b² − 4ac を判別式と呼びます。a ≠ 0 なので両辺に0でない数 4a をかけ、b² を加えて平方を作れます。

4a²x² + 4abx + 4ac = 0
(2ax + b)² = b² - 4ac
(2ax + b)² = D

左辺は実数の平方なので0以上です。D > 0なら左辺の中身は正と負の2通り、D = 0なら0の1通り、D < 0なら該当する実数はありません。さらに a ≠ 0 なので、それぞれの 2ax + b の値に対応する x はただ1つです。したがって順に異なる実数解2個、重解1個、実数解0個です。

図1のように、最初の分岐は D の符号ではなく a が0かどうかです。a = 0なら元の式 bx + c = 0 に戻ります。b ≠ 0なら一次方程式で解は1個、b = 0かつ c ≠ 0なら 0 = -c となり解は0個、b = 0かつ c = 0なら 0 = 0 となりすべての実数が解です。

図1の3つの二次方程式の結論は、必ず a ≠ 0 の枝で読みます。たとえば a = 0、b ≠ 0 なら D は b² で正ですが、それを2個の根の根拠にはできません。上の平方の式で 2ax + b が x によって変わらなくなるためです。

判定の手順を逆からたどることもできます。2個と答えた範囲では、二次の係数が消えていないことと D > 0 の両方が必要です。重解と答えた範囲では、二次の係数が消えていないことと D = 0 の両方が必要です。片方だけを満たす値を答えに含めていないか、範囲を元の条件と照らします。

例えば二次の係数が文字の式で、判別式も文字の式になる場合、2つの条件の共通部分を取ります。判別式の不等式を解いた後に、係数が0となる点を除けばよい場合もありますが、その点が初めから範囲外なら新しい穴はできません。取り除いた点については元の方程式を別に解き、求められた個数に応じて答えへ加え直します。

重解1個と一次方程式の解1個をひとまとめにしてよいかは、設問の聞き方で決まります。単に異なる実数解が1個となる値を求めるなら、両方の枝から該当する値を集めます。一方、重解をもつ値を問われたとき、一次式になった値は含めません。解の個数と、重解という二次方程式の性質は同じ言葉ではないからです。

恒等式になる場合にも注意します。解が1個より多いことは確かですが、異なる実数解がちょうど2個という条件には当てはまりません。すべての実数が解という結論を独立に書けば、2個の場合との混同を避けられます。逆に定数だけが残り、その定数が0でなければ、どんな x を入れても等式は成り立ちません。

基本例題：境界を含めて個数を分ける

実数 k について、x² − 4x + k = 0 の異なる実数解の個数を、k の範囲ごとに求めてください。

解き方

二次の係数は1で0ではありません。そこで a = 1、b = -4、c = k として計算します。

D = (-4)² - 4・1・k
  = 16 - 4k
  = 4(4 - k)

4は正なので、D の符号は 4 − k の符号と一致します。D > 0 は k < 4、D = 0 は k = 4、D < 0 は k > 4 です。よって k < 4で2個、k = 4で重解1個、k > 4で0個です。

図2のように、境界4には等号を付けて独立の行を設けます。左右の範囲を k ≤ 4 と k ≥ 4 にすると境界が重複し、2個と0個の両方が当てはまることになります。

元の方程式を平方完成して確認します。

x² - 4x + k = 0
(x - 2)² = 4 - k

k < 4では右辺が正で、x − 2 は正負の2通りです。k = 4なら x = 2 のみで、元の左辺は 2² − 4・2 + 4 = 0 です。k > 4では右辺が負なので平方に等しくなりません。この確認は、境界の1点を含めて3つの範囲が正しい理由にもなります。

標準例題：二次式でない値を戻す

実数 t について、(t − 1)x² + 2x + 1 = 0 の異なる実数解の個数を、t の範囲ごとに求めてください。

解き方

まず t − 1 = 0 となる t = 1 を分けます。このとき元の式は 2x + 1 = 0 です。x = -1/2 の1個で、元の式に戻すと 2・(-1/2) + 1 = 0 です。これは一次方程式の解であり、重解とは呼びません。

次に t ≠ 1 なら二次方程式です。a = t − 1、b = 2、c = 1 として判別式を計算します。

D = 2² - 4(t - 1)・1
  = 4 - 4t + 4
  = 4(2 - t)

t < 2なら D > 0、t = 2なら D = 0、t > 2なら D < 0 です。ただし最初の範囲から、別に扱った t = 1 を除きます。答えは t < 1 または 1 < t < 2 で2個、t = 1で一次方程式の解1個、t = 2で重解1個、t > 2で0個です。

境界を元の式で確認します。t = 2では x² + 2x + 1 = (x + 1)² なので x = -1 の1個です。たとえば t = 0では -x² + 2x + 1 = 0 で、平方完成すると (x − 1)² = 2 となり2個あります。t = 3では 2x² + 2x + 1 = 2(x + 1/2)² + 1/2 なので0になりません。これらは各枝の判定と一致します。

標準例題の分かれ目は、判別式が0になる t = 2 と、二次の係数が0になる t = 1 の2か所です。前者では二次方程式の重解、後者では一次方程式の解です。個数が同じ1個でも、理由まで区別して書くと条件の抜けを見つけられます。

発展例題：定数だけが残る場合まで調べる

実数 s について、(s − 2)x² + (s − 2)x + (s − 2)(s − 5) = 0 の異なる実数解の個数を、s の範囲ごとに求めてください。

解き方

s = 2ではすべての係数が0です。元の式は 0 = 0 なので、どの実数 x も解です。両辺を s − 2 で割るとこの場合を失うため、先に分けます。

s ≠ 2では s − 2 で割ることができ、次の二次方程式になります。

x² + x + s - 5 = 0
D = 1² - 4・1・(s - 5)
  = 21 - 4s

D > 0 は s < 21/4、D = 0 は s = 21/4、D < 0 は s > 21/4 です。s = 2は別の枝なので除きます。したがって s < 2 または 2 < s < 21/4 で2個、s = 2ですべての実数、s = 21/4で重解1個、s > 21/4で0個です。

境界 s = 21/4 では割った後の式が x² + x + 1/4 = (x + 1/2)² = 0 です。x = -1/2 を元の式へ戻すと、共通因数 s − 2 に0をかけるので確かに成り立ちます。s = 2でも元の各項が0です。s ≠ 2で割る操作は逆向きに s − 2 をかければ元の式へ戻るため、解を増減させていません。

発展例題では、消える因数を約分する前に0の場合を調べることが分岐点です。なお、二次の係数と一次の係数が消えても定数項が消えなければ、0でない数 = 0 となり解は0個です。この可能性も、元の式に値を代入して確認します。

間違いを式の途中から直す

標準例題で「D = 4(2 − t) だから t < 2では常に2個」と答えたとします。図3のように、この主張には t = 1 が含まれます。しかし t = 1では x² の項が消え、2x + 1 = 0 となります。答えは1個なので、主張は失敗します。

原因は判別式の計算自体ではなく、その結論を二次方程式でない式にまで使ったことです。図3の修正では t = 1 を先に抜き、残った t ≠ 1 の範囲で D の符号を使います。最後に抜いた値を元の式へ戻せば、範囲の穴を埋められます。

別の誤りは D = 0 を「解なし」とすることです。平方が0となる実数は0なので、a ≠ 0なら 2ax + b = 0 から1個の x が得られます。逆に D < 0では平方が負になる必要があるので実数解はありません。0と負の両方をまとめて扱わず、等号を書いた行を設けてください。

また D > 0から解が正であるとはいえません。個数が2個とわかるだけで、各解の位置は別の条件です。問題が個数を求めているか、位置まで求めているかを読み分けます。

練習：まず5問を解く

いずれも文字と x は実数です。各範囲を不等号と等号で表し、異なる実数解の個数を求めてください。

1. x² + 6x + p = 0 について、p ごとに個数を求めてください。
2. 2x² − 2x + q = 0 について、重解をもつ q とその解を分数で求めてください。
3. (u + 3)x² − 4x + 2 = 0 について、u ごとに個数を求めてください。
4. (v − 4)x² + (v − 4)x + 3 = 0 について、v ごとに個数を求めてください。
5. (w + 1)x² + (w + 1)x + (w + 1)(w − 3) = 0 について、w ごとに個数を求めてください。

練習の答えと道筋

1

二次の係数は1です。D = 36 − 4p = 4(9 − p) ですから、p < 9で2個、p = 9で重解1個、p > 9で0個です。元の式は (x + 3)² = 9 − p と変形できます。境界 p = 9 の解 x = -3 を戻すと 9 − 18 + 9 = 0 で、両側も右辺の符号から確認できます。

2

二次の係数は2なので0ではありません。重解の条件 D = 0 を使います。

D = (-2)² - 4・2・q
  = 4 - 8q
4 - 8q = 0
q = 1/2

このとき元の式は 2x² − 2x + 1/2 = 2(x − 1/2)² = 0 です。解は x = 1/2 です。代入すると 2・(1/2)² − 2・(1/2) + 1/2 = 0 となり、指定した値が確かに解です。

3

u = -3 では二次の項が消え、-4x + 2 = 0 より x = 1/2 の1個です。元の式に戻しても -4・(1/2) + 2 = 0 です。u ≠ -3では二次方程式で、

D = (-4)² - 4(u + 3)・2
  = -8(u + 1)

となります。したがって u < -3 または -3 < u < -1 で2個、u = -3で一次方程式の解1個、u = -1で重解1個、u > -1で0個です。u = -1の式は 2(x − 1)² = 0 なので、解 x = 1 を元の式に入れても0です。

4

v = 4では元の式が 3 = 0 となり、解はありません。v ≠ 4では二次方程式です。

D = (v - 4)² - 4(v - 4)・3
  = (v - 4)(v - 16)

積の符号を両方の境界で分けると、v < 4 と v > 16で正、4 < v < 16で負、v = 16で0です。v = 4は二次方程式でないため別に読みます。答えは v < 4 または v > 16で2個、4 ≤ v < 16で0個、v = 16で重解1個です。v = 16では元の式が 12(x + 1/2)² = 0 で、x = -1/2 を戻すと0です。例えば v = 4の直前と直後では積の符号が変わり、境界自体は定数式として0個です。

5

w = -1なら元の各項が0で、すべての実数が解です。w ≠ -1なら w + 1で割って x² + x + w − 3 = 0 とでき、D = 13 − 4w です。よって w < -1 または -1 < w < 13/4で2個、w = -1ですべての実数、w = 13/4で重解1個、w > 13/4で0個です。境界 w = 13/4では括弧内が (x + 1/2)² となり、x = -1/2 を元の式に戻しても0です。割る前に除いた w = -1も元の式で確かめています。

持ち帰る4行

二次の係数が0になる値を先に分けます。 二次方程式なら D の正・0・負が2個・重解1個・0個に対応します。 次数が下がったら元の式で一次式、矛盾、恒等式を調べます。 境界を含む範囲と元の式への代入で答えを照合します。

手が止まったときの見分け方

判別式の計算は合っているのに個数がずれるなら、まず文字を含む二次の係数を指で示し、0となる値を求めてみます。その値を元の式に代入し、残った式を声に出して読むと、一次式と定数式の違いを確認できます。

個別指導で確かめるなら、D の符号表を作る前に、使う条件 a ≠ 0 を本人の式で書いてもらいます。続いて D = 0の境界を元の式へ戻し、重解の値を平方の形から説明できるか見ます。範囲を分けた理由と境界での個数がつながれば、文字が変わっても同じ判断を使えます。