高校数学C 共役と対称移動—実軸対称と原点対称を式から区別する｜武蔵野個別指導塾

共役で変わる符号を座標に対応させ、実軸対称・虚軸対称・原点対称の像を描き分けます。

よくあるのは、理系の高3が複素数の共役を作るとき、虚部だけでなく実部まで符号を変えてしまう場面です。計算結果を点として描くと、実軸で折り返すはずの点が原点の反対側に現れます。符号の変化を1つずつ座標に結びつければ、どの線や点を基準にした移動なのかを判別できます。

どの符号を変える問いか

問われ方は大きく3つあります。第1に、与えられた複素数から共役や負の数を作り、それぞれの点を描く問いです。実部と虚部を横、縦の順に書き出し、変わる座標を比べます。第2に、和・積・商の共役を計算する問いです。共役を式の各部分に移してよいか、商なら分母が0でないかを先に調べます。第3に、対称移動を続けた後の点や、移動しても動かない点を求める問いです。操作の基準と順序を式に写し、最後に座標へ戻します。

見た目が似た「共役を取る」と「全体に負号を付ける」は別の操作です。さらに、共役を取って負号を付けた式は、虚軸を基準とする対称移動に対応します。特別な位置では結果が一致することもあるので、1つの図だけで一般の規則を決めず、文字でも確かめます。

共役を座標に翻訳する

x、yを実数とし、z = x + yiと置きます。zの共役は x − yi と定義します。複素数平面でzが点(x, y)を表すとき、その共役は点(x, -y)です。横の座標が同じで縦の座標が反対なので、実軸に関して対称です。y = 0なら点は実軸上にあり、共役を取ってもその場に残ります。

一方、-z = -x − yi は点(-x, -y)を表し、原点について対称です。zの共役に負号を付けた -x + yi は点(-x, y)であり、虚軸に関して対称です。図1のように、一般の点から出発した3つの像を並べると、変える座標が区別できます。両軸の交点である原点は、どの操作でも動きません。

図1では横方向が実部、上方向が虚部です。実軸対称は縦の符号、虚軸対称は横の符号、原点対称は両方の符号を変えます。共役を2回取ると元の数に戻ることも、(x, y)から(x, -y)、さらに(x, y)とたどれば説明できます。

共役の演算則も座標から導けます。a = p + qi、b = r + siとし、p、q、r、sは実数とします。和 a + b は (p + r) + (q + s)i ですから、その共役は (p + r) − (q + s)i です。これはaの共役 p − qi とbの共役 r − si の和に等しくなります。差でも同様に、それぞれの共役の差にできます。

積については、まず i² = -1 を用いて実部と虚部を分けます。

ab = (p + qi)(r + si)
   = (pr - qs) + (ps + qr)i
abの共役 = (pr - qs) - (ps + qr)i
(p - qi)(r - si) = (pr - qs) - (ps + qr)i

よって積の共役は、各因子の共役の積です。共役を取る操作を和や積の内部へ移せるのは、この等式が成り立つからです。たとえば実数係数は共役を取っても変わりませんが、iの共役は -i です。係数まで複素数の場合は、その係数にも共役を取る必要があります。

商はbが0でないときに考えます。bの共役も0でないので、a/bの共役は「aの共役」を「bの共役」で割ったものに等しくなります。実際、a/bをcとすると a = bc であり、両辺の共役を取れば aの共役 = bの共役とcの共役の積です。非零のbの共役で割ると、商の規則が得られます。b = 0では元の商が定義されず、この規則を使う出発点がありません。

基本例題：3つの像を描き分ける

点Pを表す複素数が z = 3 + 2i です。Pの実軸対称な点A、原点対称な点B、虚軸対称な点Cを表す複素数と座標を求めてください。答えは a + bi の形と座標で表します。

zの実部は3、虚部は2なので、Pは(3, 2)です。共役では実部を残し、虚部の符号を変えます。したがってAは次のようになります。

zの共役 = 3 - 2i
A = (3, -2)

原点対称ではz全体に負号を付けます。括弧を付けてから符号を配ると、両方の成分が変わることを見落としません。

-z = -(3 + 2i)
   = -3 - 2i
B = (-3, -2)

虚軸対称では共役に負号を付けます。共役を取る段階と、全体に負号を付ける段階を分けます。

zの共役 = 3 - 2i
その負の数 = -(3 - 2i)
             = -3 + 2i
C = (-3, 2)

図2のように、PとAは同じ横座標を持ち、実軸からの縦の距離がともに2です。PとBの各座標の平均は0なので、線分PBの中点は原点です。PとCは同じ縦座標を持ち、虚軸からの横の距離がともに3です。この3点の位置を元の移動条件へ戻して確認すると、計算した符号がそれぞれの意味と一致します。

図2のPからAへの移動を、原点対称と読み違えないでください。Aの横座標は3のままです。負号を先に付けても後に付けても虚軸対称になりますが、途中の数は異なります。どちらの手順でも結果の座標を確かめると、操作の順序を言葉で説明できます。

標準例題：商の共役と分母の条件

a = 3 + 2i、b = 1 − 2iとします。a/bの共役を、実部と虚部が分数の形になるように求めてください。商の共役の演算則を使う方法と、先に商を計算する方法を比べます。

まずbの実部は1であり、bは0ではありません。bの共役は 1 + 2i で、こちらも0ではありません。したがって商の演算則を適用できます。aの共役は 3 − 2i ですから、求める数は (3 − 2i)/(1 + 2i) です。分母と分子に分母の共役 1 − 2i を掛けます。

(3 - 2i)/(1 + 2i)
= (3 - 2i)(1 - 2i)/((1 + 2i)(1 - 2i))
= (3 - 6i - 2i + 4i²)/(1 - 4i²)
= (-1 - 8i)/5
= -1/5 - (8/5)i

別の順序でも確かめます。元の商を先に計算し、その結果の虚部の符号を変えます。

(3 + 2i)/(1 - 2i)
= (3 + 2i)(1 + 2i)/((1 - 2i)(1 + 2i))
= (3 + 6i + 2i + 4i²)/5
= (-1 + 8i)/5

この共役は -1/5 − (8/5)i で、先ほどと一致します。元の商 (-1 + 8i)/5 にbを掛けると、分子は (-1 + 8i)(1 − 2i) = 15 + 10i なので、a = 3 + 2i に戻ります。さらに求めた共役にbの共役 1 + 2i を掛けると 3 − 2i になり、aの共役にも戻ります。元の商と共役の双方を確かめることで、分母の符号と演算則の使い方を点検できます。

計算の分かれ目は、商を先に整理するか、共役を先に各部分へ移すかです。どちらでも分母の非零は必要です。分母と分子の共役を入れ替えたり、分母の虚部だけ符号を変え忘れたりすると、元に掛け戻したときの値が合いません。

発展例題：実軸と別の直線で続けて折り返す

点Pを z = x + yi とします。x、yは実数です。Pを実軸について対称移動し、得た点を直線 x = 2 について対称移動します。最後の点を表す複素数をzで表し、この2回の移動を1回の対称移動として言い換えてください。また、最後に元の位置へ戻る点を求めてください。

最初の像は zの共役 = x − yi で、座標は(x, -y)です。次に直線 x = 2 をはさんで同じ横の距離にある点を取ります。横座標をXとすると、2がxとXの平均なので、X = 4 − x です。縦座標は変わらず -y です。よって最後の点は次のようになります。

(4 - x) - yi
= 4 - (x + yi)
= 4 - z

最初と最後の座標の平均は ((x + 4 − x)/2, (y − y)/2) = (2, 0) です。したがって全体の移動は、点(2, 0)についての原点以外の点対称です。この結論は、2回のそれぞれの操作を追った結果から出ています。実軸を基準にする1回目と、x = 2を基準にする2回目を混ぜないことが要点です。

最後に元の位置へ戻るには 4 − z = z です。これを解くと 2z = 4、z = 2 となります。座標で見ても、横座標が2、縦座標が0の点が2つの対称の軸の交点です。この点は最初の実軸対称でも、次の直線 x = 2 での対称でも動かず、元の条件に合います。

逆に順を入れ替えるとどうなるでしょうか。先に x = 2 について移すと (4 − x, y)、その後に実軸について移すと (4 − x, -y) となり、今回は同じ結果です。ただし順序をいつでも交換できると決めるのではなく、個々の座標を追って確かめます。直線 x = 2 についての対称移動自体は 4 − z の共役で表せます。4 − z では縦座標まで変わるため、直線についての1回の移動とは区別が必要です。

誤答を座標で修正する

基本例題で「3 + 2iの共役は -3 − 2i」と答えたとします。この式は共役ではなく -z です。図3のように、誤った点は実軸をはさんだ真下ではなく、原点をはさんだ反対側にあります。実部3まで負にしたことが原因です。

図3の正しい像は (3, -2) です。元の点と横座標が等しいか、縦座標の符号が反対かを順に確かめれば、実軸対称の条件に戻れます。原点対称の点 (-3, -2) も計算としては意味がありますが、問われた基準には合いません。軸上の点では像が重なる場合があるため、点が一致したことだけを理由に一般の式まで同一と考えないようにします。

もう1つの誤りは、積の共役を各因子のうち片方にしか取らないことです。たとえば i・i = -1 の共役は -1 ですが、片方だけ共役にした (-i)・i は1です。両方を共役にした (-i)(-i) は -1 に戻ります。簡単な数で確かめても証明の代わりにはなりませんが、上で導いた演算則の適用漏れを発見できます。

実数の共役は元の数なので、片方が実数の例では適用漏れが偶然隠れます。どちらも虚部を持つ数で試し、iの符号がそれぞれ変わったかを見ます。商でも同じように、分子と分母の双方を共役にし、分母が0ではないことを確認してください。

練習：問題をまとめて試す

答えはすべて複素数を a + bi の形で表し、指定された場合は座標も書いてください。先に5問を解いてから、後の解答と比べます。

1. z = -4 + 3i とします。zを表す点の実軸対称、虚軸対称、原点対称の点を表す複素数と座標を、それぞれ求めてください。
2. a = 2 + i、b = 3 − 2i とします。積abの共役を、積を先に計算する方法と、各因子の共役を先に求める方法で計算してください。
3. z = (5 + i)/(2 + i) とします。zの共役を分数で求め、答えを元の商の条件に戻して確かめてください。
4. 点Pは 1 − 4i を表します。Pを直線 x = -3 について対称移動した点を表す複素数と座標を求めてください。
5. 点Pを原点について対称移動し、その像を実軸について対称移動すると、最後の点は -3 − 7i を表しました。元の点Pを表す複素数と座標を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 基準ごとに符号を選ぶ

実軸対称は共役なので -4 − 3i、座標は(-4, -3)です。虚軸対称は共役に負号を付け、4 + 3i、座標は(4, 3)です。原点対称は全体に負号を付け、4 − 3i、座標は(4, -3)です。

元の点は(-4, 3)です。実軸対称では横座標が同じで縦座標が反対、虚軸対称では縦座標が同じで横座標が反対です。原点対称の2点の中点も(0, 0)です。それぞれを指定された基準へ戻して確認できます。

2. 積の前後で共役を取る

ab = (2 + i)(3 - 2i)
   = 6 - 4i + 3i - 2i²
   = 8 - i
abの共役 = 8 + i

一方、それぞれの共役は 2 − i と 3 + 2i です。これらの積は次のとおりです。

(2 - i)(3 + 2i)
= 6 + 4i - 3i - 2i²
= 8 + i

両方の方法で 8 + i となります。その共役は 8 − i なので、元の積に戻ります。虚部の符号が逆であることも実軸対称の条件と一致します。

3. 割る数を確かめる

2 + i は0ではありません。共役を取る前に商を整理すると、次のようになります。

z = (5 + i)/(2 + i)
  = (5 + i)(2 - i)/((2 + i)(2 - i))
  = (10 - 5i + 2i - i²)/5
  = (11 - 3i)/5

したがって答えは 11/5 + (3/5)i です。商に分母を掛けると、(11 − 3i)(2 + i)/5 = (25 + 5i)/5 = 5 + i です。求めた共役も 2 − i を掛けると 5 − i に戻るため、元の分子と分母の共役の商になっています。

4. 軸までの距離を保つ

Pの座標は(1, -4)です。像の横座標をXとすると、1とXの平均が -3 なので、(1 + X)/2 = -3、X = -7 です。縦座標はそのまま -4 ですから、答えは -7 − 4i、座標は(-7, -4)です。

元の点も像も直線 x = -3 からの横の距離は4で、両点の縦座標は等しくなります。よって指定された直線についての対称に戻して確認できます。実軸についての共役だけでは横座標が変わらず、この問題の移動を表せません。

5. 操作を逆向きにたどる

最後の点から、まず実軸について対称移動すると -3 + 7i です。さらに原点について対称移動すると 3 − 7i です。答えは 3 − 7i、座標は(3, -7)です。

各対称移動は同じ操作を2回続けると元に戻るため、最後の操作から逆順に戻しました。得た点から実際に原点対称を取ると -3 + 7i、続いて実軸対称を取ると -3 − 7i となり、問題の最後の点に一致します。この確認は逆操作の順番の取り違えも検出します。

覚えておくこと

• 共役は虚部の符号を変え、実軸について対称です。
• 負号は両成分を変え、原点について対称です。
• 共役に負号を付けると虚軸について対称です。
• 共役の積・商の規則では各部分に適用し、商の分母は非零です。
• 続けた移動は座標を順に追い、像を元の条件へ戻します。

答えがずれた場所を探す

式は合っているのに図が違う場合は、実部を横、虚部を縦に置いたかを確認します。図は合っているのに式が違う場合は、対称の前後でどちらの座標が変わったかを説明します。軸上の点だけで判断すると操作の違いが隠れるので、両成分が0でない点でも試します。

個別指導で確かめるなら、共役、負号、両者の組合せについて、各式と座標を口頭で対応させるのが有効です。商では非零の理由を述べ、連続する移動では1回目の像を書いてから次の基準を示します。符号の1文字を図の位置に結びつければ、対称移動の根拠が残ります。