高校数学C 複素数平面の座標—実部と虚部を点に対応させて等式の条件を読む｜武蔵野個別指導塾

実部と虚部を座標に結び付け、複素数の相等と、実数・純虚数になる条件を例題で確かめます。

よくあるのは、理系高3が複素数を点に直すとき、実部と虚部の順を逆に打ってしまう場面です。式の中では虚部に i が付いて目立つため、先に縦の値を探しているうちに横と縦を入れ替えることがあります。点を正しく置くことは、複素数の等式を2本の実数の等式として読む入口です。順番と符号を一度固定し、式から点へ、点から式へ往復して確かめましょう。

どの条件を2本の式にするか

座標の問題には、まず複素数を点で表す型があります。例えば実部が負、虚部が正なら、点は原点の左上です。座標を先に (実部, 虚部) と書き、横に実部、縦に虚部を取ります。軸上にある場合は、0 の成分を省かずに書くと位置を決めやすくなります。

次に、2つの複素数が等しい条件から文字を求める型があります。複素数どうしの等号は、実部どうしと虚部どうしがそれぞれ等しいことを意味します。未知数が実数であることを確かめてから2本の式を立てます。片方の成分が合っただけでは、点の横と縦の両方が一致したとはいえません。

もう1つは、式が実数または純虚数になる条件を求める型です。実数なら虚部が0、純虚数なら実部が0で、さらに0ではないことも必要です。虚数単位 i を掛けた項が見えなくても、その虚部は0です。0を含むかどうかは、軸の説明と純虚数の説明を区別する場所です。

横に実部、縦に虚部を取る

i² = -1 とし、x、y を実数とします。複素数 z = x + yi の実部は x、虚部は y です。虚部は yi ではなく、i の係数 y を指します。i の前の符号も係数の一部なので、z = 3 − 2i の虚部は -2 です。

複素数平面では、横向きの実軸と縦向きの虚軸を原点で直角に交わらせ、z = x + yi に点 (x, y) を対応させます。実軸は右向きが正、虚軸は上向きが正です。図1のように 3 − 2i は右へ3、下へ2進んだ点です。逆に座標を読めば、横の値に縦の値と i の積を加えて複素数に戻せます。

図1の点から横軸へ下ろすのではなく上へ戻ると、横の値3を読めます。縦の値は原点より下に2なので -2 です。点 (3, -2) を -2 + 3i と読むと、別の点 (-2, 3) になってしまいます。座標の括弧を一度書く習慣は、この入れ替えを目に見える形にします。

2つの複素数 x + yi と u + vi が等しいための必要十分条件は、x = u かつ y = v です。ここで x、y、u、v は実数です。等しい複素数には同じ実部と同じ虚部が対応し、逆に両方が一致すれば同じ複素数です。したがって2点の一致を調べるときも、横と縦の両成分を照合します。

虚部が0なら z = x で実数です。実軸上の点は原点を含めてすべて実数を表します。一方、実部が0なら z = yi で虚軸上ですが、y = 0 なら z = 0 です。純虚数は実部が0の、0でない複素数ですから、虚軸上でも原点を除きます。0は実数であり、純虚数ではありません。

実数や純虚数の判定では、まず i² を -1 に直し、実部と虚部を整理します。たとえば実数 a、b に対する (a + bi)i は -b + ai です。見た目に i が掛かっていても、実部が残ることがあります。実部が0であることと、値そのものが0でないことは、別々に点検します。

基本例題：点を読み、等式を解く

実数 a、b について、複素数 z = (2a − 1) + (b + 2)i が、点 (5, -3) に対応するとします。a、b を求め、z を実部と虚部を明記した形で答えてください。

点 (5, -3) に対応する複素数は 5 − 3i です。a、b は実数なので、実部と虚部を比較できます。図2のように、横の値と縦の値を別々の条件にします。

図2では点の横が5、縦が -3 です。実部と虚部をそれぞれ等しくすると、次の式になります。

2a - 1 = 5
2a = 6
a = 3

b + 2 = -3
b = -5

したがって a = 3、b = -5、z = 5 − 3i です。実際に与式へ戻すと、実部は 2・3 − 1 = 5、虚部は -5 + 2 = -3 です。点も (5, -3) に戻るので、縦の負号まで条件に合っています。計算した文字を式に入れる確認と、得た点を問題の座標に戻す確認は、同じ答えを別の向きから見ています。

もし虚部を -3i と書いて比較すると、実数 b + 2 と複素数 -3i を等置してしまいます。虚部は -3、虚部を含む項は -3i と区別してください。また 2a − 1 = -3、b + 2 = 5 と立てると、別の点 (-3, 5) の条件になります。元の図の右下という位置にも戻れないため、座標を描くことが符号と順序の検査になります。

標準例題：実数と純虚数を分ける

実数 t に対し、w = (t + 2) + (2t − 4)i とします。w が実数となる t と、そのときの w を求めてください。また w が純虚数となる t と、そのときの w を求めてください。答えは整数で表します。

実数となるには虚部が0です。t は実数なので、表示された係数をそのまま比較できます。

2t - 4 = 0
2t = 4
t = 2
w = (2 + 2) + (2・2 - 4)i
w = 4

確かに w = 4 + 0i は実軸上です。虚部が0になったことだけでなく、与えられた式に t = 2 を戻し、点 (4, 0) になることも確認しました。

純虚数となるには、実部が0で、虚部が0でないことが必要です。まず実部を0にします。

t + 2 = 0
t = -2
w = (-2 + 2) + (2・(-2) - 4)i
w = -8i

虚部は -8 で0ではありません。したがって t = -2、w = -8i が答えです。点は (0, -8) で、虚軸上にあり原点とは異なります。候補を出した後に虚部を代入するのは、原点を純虚数に数える誤りを避けるためです。

実数条件と純虚数条件を同時に課すと、実部と虚部の両方が0になります。しかし、0は純虚数ではないので、両方の条件を満たす値を答えにしてはいけません。この例では2本の条件がそれぞれ t = 2 と t = -2 を与えるため、同時に0になる t もありません。

発展例題：文字の値で解の個数が変わる

実数 s、t に対して z = (s + t) + (2s − t)i とします。実数定数 k について、z = 3 + ki を満たす s、t を k を用いて表してください。さらに、その z が純虚数となる k が存在するか調べてください。

等式の両辺は実部と虚部が一致します。s、t、k が実数であることから、次の2本の実数の式を得ます。

s + t = 3
2s - t = k
3s = k + 3
s = (k + 3)/3

最初の式へ戻して t を求めます。

t = 3 - s
t = 3 - (k + 3)/3
t = (6 - k)/3

どの実数 k に対しても、この組が得られます。係数3は0でないので、割る操作に例外はありません。逆にこの組を元の式に代入すると、実部と虚部は順に次のようになります。

s + t = (k + 3)/3 + (6 - k)/3
s + t = 3
2s - t = 2(k + 3)/3 - (6 - k)/3
2s - t = k

よって得た組は元の等式を満たし、途中で候補を失っていません。点としても、どの k でも横の座標は3、縦の座標は k です。純虚数なら横の座標が0でなければならないため、そのような k は存在しません。縦の座標をどれほど変えても、横の3は変わらないからです。

実部が0となる k を式から探す前に、右辺の実部が固定されていることに注目すると判断は短くなります。一方、s、t の値を問われた部分には2本の式を解く作業が必要です。図の位置だけで文字の値まで決まったと考えず、何を求められているかに応じて式と点を行き来します。

誤答を点でほどく

点 (-2, 4) を表す複素数を 4 − 2i とする誤答を考えます。2つの数をそのまま使っていても、実部を4、虚部を -2 とした時点で、対応する点は (4, -2) です。図3のように、求める点は左上、誤答の点は右下にあります。

図3の正しい点は横が -2、縦が4です。したがって対応する複素数は -2 + 4i です。原因は「i の付く数を先に読む」という順序の混乱にあります。修正するときは、括弧の1番目を実部、2番目を虚部と書き添え、できた式をもう一度座標に戻します。

別の誤りとして、-2 + 4i の虚部を 4i と答える場合があります。虚部は実数4であり、4i は虚部を含む項です。虚部どうしの等式に i を残すと、実数の方程式として解く段階で扱いが不明確になります。係数として読むことを確認してから、両辺の虚部を比べます。

さらに、実部が0という条件から直ちに純虚数とするのも不十分です。例えば実数 r に対し r + ri の実部が0なら r = 0 ですが、そのとき値は0です。虚軸上という結論は正しくても、純虚数という結論は成り立ちません。式の条件から候補を出し、候補を元の複素数に代入して0を除くところまで行います。

練習問題

次の5問では文字をすべて実数とし、答えの数は整数または既約分数で表してください。問題を一通り考えた後、下の解答で元の条件への戻し方も点検しましょう。

1. 複素数 -4 − 3i の実部、虚部、対応する点の座標を求めてください。
2. 点 (2, 7) に対応する複素数を求めてください。また、その点は実軸上でも虚軸上でもないことを座標で確かめてください。
3. (3p + 1) + (2q − 1)i = 7 + 5i を満たす p、q を求めてください。
4. (u − 5) + (3u + 6)i が実数となる u と、その複素数を求めてください。
5. (v − 1) + (2v − 2)i が純虚数となる実数 v が存在するか調べてください。

練習の答えと戻し方

1

-4 − 3i = -4 + (-3)i なので、実部は -4、虚部は -3、点は (-4, -3) です。両方の座標が負なので点は左下にあります。逆に座標から式を作ると -4 + (-3)i となり、元の複素数に戻ります。虚部は -3i ではなく -3 です。

2

横の座標が2、縦の座標が7なので、求める複素数は 2 + 7i です。逆にこの式の実部と虚部を取ると、それぞれ2と7で、指定の点に戻ります。縦が0でないため実軸上にはなく、横が0でないため虚軸上にもありません。2つの判定に使う成分が逆にならないようにします。

3

実部と虚部をそれぞれ比べます。

3p + 1 = 7
3p = 6
p = 2

2q - 1 = 5
2q = 6
q = 3

元の左辺に戻すと実部は 3・2 + 1 = 7、虚部は 2・3 − 1 = 5 です。したがって左辺は 7 + 5i となり、右辺の点 (7, 5) とも一致します。両方を確認することで、片方の方程式を立て間違えた場合も見つけられます。

4

実数となる条件は虚部が0です。

3u + 6 = 0
3u = -6
u = -2
(u - 5) + (3u + 6)i = (-2 - 5) + (3・(-2) + 6)i
(u - 5) + (3u + 6)i = -7

答えは u = -2、その複素数は -7 です。元の式に戻して虚部が0、実部が -7 になるので、点 (-7, 0) は実軸上にあります。実部が負でも実数であることに注意してください。

5

純虚数の候補は、まず実部を0として求めます。

v - 1 = 0
v = 1
2v - 2 = 2・1 - 2
2v - 2 = 0

候補 v = 1 を元の式に戻すと 0 + 0i = 0 です。原点は虚軸上ですが、0は純虚数ではありません。実部を0にする候補は v = 1 に限られ、その候補が除かれるので、条件を満たす v は存在しません。候補がないという答えも、元の条件に照らして得られます。

手元に残す要点

実部を横、虚部を縦として (実部, 虚部) に対応させます。 複素数の相等は、実部どうしと虚部どうしの2条件です。 実数は虚部が0、純虚数は実部が0で値が0でない複素数です。

どこで止まったかを見分ける

点を逆に置いた場合は、まず式から座標を書く行を見ます。そこで既に逆なら実部と虚部の語の意味に戻り、座標は正しいのに図が違うなら軸の向きを確かめます。個別指導で確認するなら、負の虚部を持つ式を渡して、なぜ点が実軸の下にあるかを言葉で説明してもらうと、符号と軸のどちらで迷ったか見えます。

等式の問題では、2本の式を立てた後の代入まで追います。純虚数の候補が0になる場合を自分で判定できるかも確かめます。点と式を往復できれば、座標の順序は暗記した記号から確かな判断に変わります。