高校数学III 断面が変わる立体の体積—切り口の境界で式を分けて足し合わせる｜武蔵野個別指導塾

切り口の形が途中で変わる立体を題材に、境界の決め方と切断方向による式の違いをたどり、体積を求めるための断面分割へ進みます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、途中で形が変わる断面を一つの式で押し通す場面です。切り口の図を1枚描いて式を作ると、その式が立体の端まで使えるように見えます。しかし、別の位置の切り口では辺の長さを決める境界が変わることがあります。どこまで同じ式が使えるかを先に調べ、区間ごとの体積をつなぎましょう。

どこで式を切り替えるか

断面積が位置によって変わる立体では、位置を表す文字と、その位置での切り口を対応させます。切り口が正方形から長方形に変わる場合もあれば、同じ形のままで辺の長さを決める式が変わる場合もあります。見た目の形が同じでも境界を調べる必要があります。

問題の出方には、断面積が区間ごとに与えられる型、底面の境界から断面の辺を求める型、切る方向を変えて計算を比べる型があります。どの型でも、最初に立体が存在する区間を決め、次に切り替わる位置を求めます。最後に各区間の断面積を積分して足します。

境界の位置を当てずに全区間へ一つの式を使うと、範囲外の断面まで数えてしまいます。反対に、区間を分けても同じ部分を重ねて足せば体積が大きくなります。隣り合う区間の端点を共有しても、厚さのない1枚の断面は体積に影響しません。区間全体に隙間も重なりもないかを確認しましょう。

切り口と厚さを対応させる

座標xの位置でx軸に垂直に切った断面の面積をA(x)とします。断面積が有限個の区間に分かれ、それぞれで連続なら、各区間での体積は断面積の定積分です。立体全体の体積は、その区間の体積を足したものです。境界の1点で断面の形や面積が変わっても、その1枚自体に厚さはありません。

例えばaからcまでの途中、x = bで式が変わるとします。a < b < cで、左の断面積をA₁(x)、右をA₂(x)とすると、体積は次のようになります。

V = ∫[a→b] A₁(x) dx + ∫[b→c] A₂(x) dx

図1のように、切り替わる位置を座標軸に先に記します。左と右の断面積が境界で同じになるとは限りません。問題が与えた立体の条件に従い、それぞれの式をその区間に対応させます。

面積は長さと違い、2方向の広がりです。たとえば一辺がsの正方形なら断面積はs²です。高さh、底辺wの三角形ならwh/2です。積分するのはこの面積であって、辺の長さそのものではありません。長さの単位を1とすれば、面積はその2乗、体積はその3乗に対応します。

切る方向を変えると、断面の形も厚さの表し方も変わります。xに垂直な断面ならdx、yに垂直な断面ならdyを用います。どちらでも同じ立体を隙間なく数えれば体積は一致しますが、一方が簡単な断面でも、もう一方が簡単とは限りません。境界が少なく、断面積を無理なく表せる方向を選びましょう。

基本例題：正方形から長方形へ

座標xが0以上3以下の立体を考えます。x軸に垂直な断面は、0 ≤ x ≤ 1では一辺がx + 1の正方形、1 < x ≤ 3では縦が2、横が4 − xの長方形です。体積を分数による厳密値で求めてください。長さの単位を1とします。

図2のように、x = 1の前後で断面の条件を読み分けます。境界の左側の式は4、右側の式は6になります。境界で断面積が変わっても、区間ごとに体積を求められます。各辺の長さは指定区間で正なので、断面積は負になりません。

A₁(x) = (x + 1)²                 （0 ≤ x ≤ 1）
A₂(x) = 2(4 - x)                 （1 < x ≤ 3）
V = ∫[0→1] (x + 1)² dx + ∫[1→3] 2(4 - x) dx
  = [x³/3 + x² + x]₀¹ + [8x - x²]₁³
  = 7/3 + (15 - 7)
  = 31/3

答えは31/3です。左側では正方形の辺が1から2へ増え、右側では長方形の横が3から1へ減ります。切り替えの直後の面積は6で、直前の4とは異なります。境界そのものは前の条件に含まれますが、1枚の面積が右側の積分に与える体積は0です。したがって、そこで式を分ければ問題ありません。

各部分の体積も場面へ戻して見ます。左の断面積は1から4へ増えるので、幅1の体積7/3は1と4の間です。右の断面積は6から2へ直線的に減るので、平均4に幅2を掛けた8と一致します。正の部分を足しているので、全体も正です。

標準例題：小さい方の境界を選ぶ

0 ≤ x ≤ 4にある立体を、x軸に垂直に切ります。断面は正方形で、その一辺の長さはx + 1と5 − xの小さい方です。体積を分数による厳密値で求めてください。長さの単位を1とします。

どちらが小さいかは位置によって変わります。等しい位置を求め、両側で大小を調べます。

x + 1 = 5 - x
2x = 4
x = 2

0 ≤ x ≤ 2ではx + 1が小さく、2 ≤ x ≤ 4では5 − xが小さくなります。どちらもこの区間で正です。x = 2では一辺が3で、両方の式から同じ断面積9が得られます。

V = ∫[0→2] (x + 1)² dx + ∫[2→4] (5 - x)² dx
  = [x³/3 + x² + x]₀² + [-(5 - x)³/3]₂⁴
  = 26/3 + 26/3
  = 52/3

答えは52/3です。もう一つの計算では、x = 2をはさんで一辺の長さが対称なので、左の体積26/3を2倍できます。ただし、対称性は左右の辺の式を対応させてから使います。例えば左のx = 1と右のx = 3では、どちらも一辺2の正方形です。両端で一辺1、中央で一辺3という条件にも戻ります。

小さい方を選ぶ問題で、大きい方を使うと断面が指定より広くなります。交点だけでなく、その前後で実際にどちらが小さいかを確かめることが必要です。区間の端を1つ代入して大小を調べると、図の描き間違いにも気づけます。

発展例題：切る方向を比べる

座標空間の立体を、0 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ 3 − x、z ≤ 2 − yで定めます。体積を分数による厳密値で求めてください。長さの単位を1とします。

zを固定して水平に切ると、残る条件はx ≤ 3 − z、y ≤ 2 − zです。zは0以上で、y ≥ 0とz ≤ 2 − yから2以下です。断面は長方形で、x方向の長さは2と3 − zの小さい方、y方向の長さは2 − zです。両者ともその範囲で負になりません。

x方向の長さが切り替わるのは3 − z = 2、すなわちz = 1です。0 ≤ z ≤ 1では長さ2、1 ≤ z ≤ 2では長さ3 − zです。したがって断面積B(z)はそれぞれ2(2 − z)、(3 − z)(2 − z)です。

V = ∫[0→1] 2(2 - z) dz + ∫[1→2] (3 - z)(2 - z) dz
  = [4z - z²]₀¹ + ∫[1→2] (6 - 5z + z²) dz
  = 3 + [6z - 5z²/2 + z³/3]₁²
  = 3 + 5/6
  = 23/6

答えは23/6です。水平断面の面積はz = 0で4、z = 1で2、z = 2で0です。上下の式はz = 1で一致し、断面は上に行くにつれて小さくなります。高さ2、底面積4の直方体に含まれるので、体積が0以上8以下であることとも合います。

別の方向で切ると、xを固定した断面は0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ 2 − y、z ≤ 3 − xで決まります。0 ≤ x ≤ 1では後者の上限は2以上なので、断面は底辺2、高さ2の三角形で面積2です。1 ≤ x ≤ 2ではその三角形の上を高さ3 − xで切り落とします。取り除く三角形の底辺と高さはともにx − 1なので、断面積は2 − (x − 1)²/2です。

V = ∫[0→1] 2 dx + ∫[1→2] {2 - (x - 1)²/2} dx
  = 2 + 2 - 1/6
  = 23/6

水平に切る方法では長方形の辺を比べ、垂直に切る方法では三角形の切り落としを考えました。どちらも元の不等式に戻して断面の範囲を決めているため、同じ体積になります。計算の短さだけで方向を選ばず、断面を正しく描けるかも判断材料にします。

誤答を断面へ戻して直す

基本例題で、全区間の断面が一辺x + 1の正方形だとして、∫[0→3] (x + 1)² dxとする誤答を考えます。この式は0から1までは条件に合いますが、1より右では指定された長方形を表しません。x = 2なら正方形としては面積9ですが、実際は縦2、横2で面積4です。

図3のように、同じ位置で誤った断面と条件に合う断面を比べると、余分に数えた部分が見えます。修正するときは、まずx = 1を境に積分を分け、右側を2(4 − x)に置き換えます。境界で面積が飛ぶことは誤りではなく、問題の条件によるものです。

別の失敗は、切り替え位置を求めた後、片方の区間を書き落とすことです。区間の両端と境界を並べ、積分区間の和が元の範囲を覆うか確かめます。面積の式が正しくても区間が不足すれば、立体の一部分しか数えられません。厚さの方向と面積の単位も一緒に点検します。

練習：境界を先に決める

次の5問では長さの単位を1とし、体積を分数による厳密値で求めてください。断面は各指定区間で連続に変化するとします。

1. 0 ≤ x ≤ 3の立体をx軸に垂直に切ると、0 ≤ x ≤ 2では断面積がx + 2、2 < x ≤ 3では断面積が2xです。体積を求めてください。
2. 0 ≤ x ≤ 4の立体のxに垂直な断面は、0 ≤ x ≤ 1では一辺2の正方形、1 < x ≤ 4では底辺2、高さ5 − xの三角形です。体積を求めてください。
3. 0 ≤ x ≤ 6の立体のxに垂直な断面は正方形で、一辺はxと6 − xの小さい方です。体積を求めてください。
4. 0 ≤ x ≤ 2の立体のxに垂直な断面は長方形で、一辺は1、もう一辺はx + 1と3 − 2xの小さい方です。ただし長さは負にならない範囲で考えます。立体が存在するのは0 ≤ x ≤ 3/2とします。体積を求めてください。
5. 0 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ 2 − y、z ≤ 3 − xで定まる立体の体積を求めてください。

練習の答えと考え方

1. x = 2で断面積の式を替えます。各式は該当区間で連続かつ非負です。

V = ∫[0→2] (x + 2) dx + ∫[2→3] 2x dx
  = [x²/2 + 2x]₀² + [x²]₂³
  = 6 + 5
  = 11

左の断面積は2から4、右は4から6と増えます。幅2と幅1にそれぞれの平均面積3と5を掛けても6と5になり、条件に戻ります。

2. 正方形の面積は4、三角形の面積は2(5 − x)/2 = 5 − xです。高さは右側の区間で4から1へ変わり、負にはなりません。

V = ∫[0→1] 4 dx + ∫[1→4] (5 - x) dx
  = 4 + [5x - x²/2]₁⁴
  = 4 + 15/2
  = 23/2

右側は面積4から1への直線的な変化です。平均5/2に幅3を掛けると15/2であり、三角形の高さの条件と一致します。

3. x = 6 − xから境界はx = 3です。左ではx、右では6 − xが小さく、いずれも非負です。

V = ∫[0→3] x² dx + ∫[3→6] (6 - x)² dx
  = [x³/3]₀³ + [-(6 - x)³/3]₃⁶
  = 9 + 9
  = 18

両端では一辺0、中央では一辺3です。中央から等距離の位置では辺が等しく、左右の体積が9ずつという結果と合います。

4. x + 1 = 3 − 2xより境界はx = 2/3です。左ではx + 1、右では3 − 2xが小さく、右端3/2で後者は0です。

V = ∫[0→2/3] (x + 1) dx + ∫[2/3→3/2] (3 - 2x) dx
  = [x²/2 + x]₀²⁄₃ + [3x - x²]₂⁄₃³⁄₂
  = 8/9 + 25/36
  = 19/12

境界で両方の長さは5/3、右端では0になります。左の平均長さ4/3と幅2/3、右の平均長さ5/6と幅5/6の積からも各部分を確認できます。

5. zを固定すると、y方向は0から1と2 − zの小さい方、x方向は0から3 − zです。zの範囲は0以上2以下で、y方向の上限がz = 1で切り替わります。

V = ∫[0→1] (3 - z) dz + ∫[1→2] (3 - z)(2 - z) dz
  = [3z - z²/2]₀¹ + [6z - 5z²/2 + z³/3]₁²
  = 5/2 + 5/6
  = 10/3

高さ0では断面が3×1、高さ1では2×1、高さ2では面積0です。指定された両方の上限が各断面で守られ、得られた体積も負ではありません。

手元に残す要点

• 立体の範囲と切断方向を決め、断面積を位置の式で表します。
• 断面の境界が替わる位置で区間を分けます。
• 各区間の断面積を積分し、隙間なく足します。
• 切る方向を変えたときは、断面の形と厚さをともに変えます。
• 答えを端や境界の断面、体積の正負に戻して点検します。

式が止まったときの確かめ方

立式で止まるときは、まず異なる位置に断面を2枚描いてみます。形や辺を決める境界が変わるなら、何が等しくなる位置なのかを式にします。図では境界が見えても、大小関係が逆になることがあるので、各区間から1点を選んで確かめます。

個別指導で確かめるなら、解答の積分式だけでなく、断面の図に記した辺、面積の式、積分区間を順に説明できるかが手がかりです。積分計算が合っていても、断面と式が対応しなければ元の立体に戻れません。切り口の条件を位置ごとに読み直すことで、分割の理由が答案に残ります。