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高校数学C 外分点の位置ベクトル—符号と存在しない比を点の位置から確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

正の距離比から延長側を見極め、等しい比では点が存在しない理由までたどる外分点の考察です。

よくあるのは、線分の外分点を求めようとして、比が1:1でも公式の分母にそのまま代入する場面です。分母が0になったところで計算を止めるだけでは、点がどこにあるはずだったのかが残ります。実は、異なる2点から等距離にある点は、2点を結ぶ直線上では中点であり、線分の外にはありません。

外分は、長さの比と点の並びを合わせて考えると、符号まで追えます。位置ベクトルの式を作り、求めた点を図と距離比に戻す方法を練習しましょう。

延長のどちらに点を置くか

外分に関する問いには、次のような型があります。

2点の位置ベクトルと正の比から、外分点を求める型です。比の大小から延長側を先に決め、式の符号と照らします。
与えられた位置ベクトルから、点が外分点かどうかと比を読み取る型です。係数の和と符号、距離の順に確かめます。
比に文字があるとき、外分点が存在する条件や位置を調べる型です。等しい比を除き、残る範囲で左右を分けます。

いずれも、最初に2点が異なることを確かめます。比は長さの比なので正です。長さの比を表す数と、ベクトルの式に現れる負の係数は別の役割を持ちます。負の係数は逆向きの移動を表し、長さが負になるという意味ではありません。

外分の定義から式を作る

異なる2点 A、B を通る直線上で、線分 AB の外側にある点 P が AP:PB = m:n を満たすとき、P は線分 AB を m:n に外分するといいます。ここで m > 0、n > 0 です。AP と PB は距離なので、どちらも正です。外側という条件があるため、P は A と B のどちらとも一致しません。

図1のように、m > n なら P は B の先にあります。B の先では AP = AB + BP なので AP > BP だからです。反対に m < n なら P は A の先にあり、PB = PA + AB から AP < PB です。比が等しいとどちらの並びも成立しません。

図1の両側を、1本の式で表しましょう。原点 O からの位置ベクトルを、それぞれ a（ベクトル）、b（ベクトル）、p（ベクトル）とします。線分の外側では、ベクトル AP とベクトル PB は逆向きです。長さの比が m:n なので、次の等式が成り立ちます。

n・ベクトル AP = -m・ベクトル PB
n(p - a) = -m(b - p)
np - na = -mb + mp
(m - n)p = mb - na

m ≠ n なら両辺を m − n で割れます。したがって外分点の位置ベクトルは次の形です。

p = (mb - na)/(m - n)

逆も確認します。この式から p − a = m(b − a)/(m − n)、p − b = n(b − a)/(m − n) です。m > n なら両方とも b − a の正の倍数で、P は B の先にあります。m < n なら両方が負の倍数で、P は A の先にあります。長さの比は共通する |b − a| と |m − n| を消すと m:n です。つまり、条件を満たす式から確かに外分点が得られます。

m = n のときは割れないだけでなく、上の割る前の式が 0 = m(b − a) となります。m > 0 かつ A と B は異なるので b − a は零ベクトルではなく、矛盾します。等しい距離の点が線分の外にないことを、式でも確認できました。なお A = B なら外分の基準となる直線と線分の両端が定まらないため、ここでの定義を適用しません。

係数にも注目します。p = (-n/(m − n))a + (m/(m − n))b で、係数の和は1です。m ≠ n の下では一方が負、他方が1より大きくなります。和が1であることは直線上の表示に対応し、片方が負であることが線分の外側を示します。係数の和だけでは外分とは決められません。

基本例題：比から位置を決める

異なる2点 A、B の位置ベクトルを a、b とします。線分 AB を 3:2 に外分する点 P の位置ベクトルを a、b で表し、P がどちらの延長上にあるか答えてください。

3 > 2 なので、図2のように P は B の先です。公式を使う前に、この並びなら AP が PB より長いことを確認します。

p = (3b - 2a)/(3 - 2)
p = 3b - 2a

答えは p = 3b − 2a、B の先です。式に戻して距離比も調べます。

ベクトル AP = p - a = 3(b - a)
ベクトル BP = p - b = 2(b - a)
AP:PB = 3|b - a|:2|b - a| = 3:2

A と B は異なるため |b − a| > 0 で、最後の約分ができます。ベクトル BP がベクトル AB と同方向なので、図2の並びにも合います。係数 -2 と 3 は位置ベクトルの重みであって、距離の比を負にしたものではありません。

また原点を別の場所に移しても、両係数の和は -2 + 3 = 1 なので、新しい位置ベクトルは同じ式の形を保ちます。外分点の位置が、座標の原点をどこに置くかで変わらないこととも整合します。

標準例題：成分から逆に比を読む

A(1, 2)、B(4, 6)、P(-5, -6) とします。P が線分 AB の外分点であることを示し、AP:PB を最も簡単な整数の比で求めてください。

座標が与えられているので、まず A からの移動を比べます。A と B は異なります。

ベクトル AB = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)
ベクトル AP = (-5 - 1, -6 - 2) = (-6, -8)
ベクトル AP = -2・ベクトル AB

負の倍数なので P は A の先です。さらに B からの移動も求めます。

ベクトル BP = (-5 - 4, -6 - 6) = (-9, -12)
ベクトル BP = -3・ベクトル AB
AP = 2|ベクトル AB|
PB = 3|ベクトル AB|
AP:PB = 2:3

答えは 2:3 です。成分による別の確認では、AP = √(36 + 64) = 10、PB = √(81 + 144) = 15 です。したがって実際の距離も 10:15 = 2:3 となります。元の座標に戻して、P = (2B − 3A)/(2 − 3) = (-5, -6) も成り立ちます。

この例で、位置ベクトルの式は p = 3a − 2b です。a の係数が3、b の係数が-2なので、単に係数をそのまま正の比として読むと順序を間違えます。A から P までと P から B までを別々に求めてから、指定された順番 AP:PB に並べましょう。

発展例題：文字の条件と延長側

異なる2点 A、B に対し、正の実数 t を用いて AP:PB = t:4 とします。外分点 P が存在する t の範囲を求め、各範囲で延長側と位置ベクトル p を答えてください。さらに p = 2b − a となる t を求めてください。

A、B の位置ベクトルを a、b とします。t は正ですが、等比の場合は除く必要があります。したがって、まず t > 0 かつ t ≠ 4 です。この条件で公式を使います。

p = (tb - 4a)/(t - 4)
p - a = t(b - a)/(t - 4)
p - b = 4(b - a)/(t - 4)

0 < t < 4 のとき、分母は負です。p − a は b − a の負の倍数なので、P は A の先です。t > 4 のとき、p − b は b − a の正の倍数なので、P は B の先です。どちらの場合も距離を取ると AP:PB = t:4 です。分母の符号を距離にそのまま付けず、絶対値を取ることが要点です。

次に p = 2b − a なら、A からの移動を比べます。

p - a = 2(b - a)
p - b = b - a
AP:PB = 2:1
 t:4 = 2:1
 t = 8

逆に t = 8 を代入すると p = (8b − 4a)/4 = 2b − a です。t = 8 は正で4と異なり、B の先という位置にも合います。よって求める値は t = 8 です。

境界 t = 4 を代入して分子も0になる可能性を見落とさないようにしましょう。分子は 4(b − a) であり、A と B が異なるので零ではありません。したがって未定として保留するのではなく、この条件には外分点が存在しないと結論できます。t = 0 も問題の正の比に含まれず、A 自身は外分点ではありません。

誤答を図で直す

「AP:PB = 1:1 だから、外分公式で p = (b − a)/0 と書けばよい」という答案を考えます。0で割る式は位置ベクトルを定めません。公式の形に数を入れる前に、公式を導いたときに m − n ≠ 0 が必要だったことを確かめます。

図3のように P が B の先なら AP = AB + PB です。AB > 0 なので AP > PB となり、等しくはなりません。P が A の先でも PB = PA + AB > PA です。どちら側にも点がないため、正しい答えは「外分点は存在しない」です。中点は等距離ですが線分の内側にあり、外分点ではありません。

別の誤りとして、3:2 を内分する式 (2a + 3b)/5 を使う場合があります。係数がともに正で和が1なので、得られる点は線分上です。距離比が同じでも、内側か外側かが違います。外分の問題では、比の計算に加えて点の並びまで答えに戻して確かめてください。

練習：式と点の両方を照合する

各点は同じ平面上にあり、指定された2端点は異なるものとします。位置ベクトルは小文字で表します。比は最も簡単な整数の比、座標は整数または分数で答えてください。

線分 AB を 5:3 に外分する点 P の位置ベクトルを a、b で表し、延長側を答えてください。
A(2, 1)、B(5, 3) を結ぶ線分を 2:5 に外分する点 Q の座標を求めてください。
R の位置ベクトルが r = 4a − 3b のとき、R は線分 AB をどの比に外分しますか。延長側も答えてください。
A(0, 0)、B(6, 0) とします。直線 AB 上で AP:PB = 1:1 を満たす外分点 P があるか答え、理由を示してください。
正の実数 k について、線分 AB を k:3 に外分する点 S が B の先にあります。さらに AS = 4AB のとき、k と s を求めてください。

練習の解答と戻し方

5 > 3 より P は B の先です。外分公式と距離を順に求めます。

p = (5b - 3a)/(5 - 3)
p = (5b - 3a)/2
p - a = 5(b - a)/2
p - b = 3(b - a)/2
AP:PB = 5:3

両方が b − a の正の倍数で、B の先という答えにも戻ります。

2 < 5 なので Q は A の先です。成分ごとに計算します。

q = (2b - 5a)/(2 - 5)
q = ((10, 6) - (10, 5))/(-3)
q = (0, -1/3)

答えは Q(0, -1/3) です。ベクトル AQ = (-2, -4/3) = (-2/3)(3, 2)、ベクトル BQ = (-5, -10/3) = (-5/3)(3, 2) です。ともに AB と逆向きで、長さの比は 2:5 です。座標を元の条件に戻しても一致します。

a からの差と b からの差を取ります。

r - a = -3(b - a)
r - b = -4(b - a)
AR:RB = 3:4

R は A の先です。実際、3:4 の外分公式は (3b − 4a)/(3 − 4) = 4a − 3b となり、元の位置ベクトルに戻ります。

外分点は存在しません。A の先なら PB = PA + 6、B の先なら AP = PB + 6 で、いずれも等距離にならないからです。直線上で等距離の点は中点 (3, 0) ですが、線分の内側です。この中点を代入すると距離はともに3で、等距離という条件は満たしても外側という条件を満たしません。
S は B の先なので AS = AB + BS です。AS = 4AB を戻すと BS = 3AB です。

AS:SB = 4AB:3AB = 4:3
k = 4
s = (4b - 3a)/(4 - 3)
s = 4b - 3a

逆に s − a = 4(b − a)、s − b = 3(b − a) です。したがって B の先にあり、AS = 4AB と AS:SB = 4:3 の両方を満たします。k は正で3と異なるため、外分点の存在条件にも合います。

手元に残す要点

外分点は線分の外側にあり、正の比 m:n が等しくないときに存在します。
位置ベクトルは p = (mb − na)/(m − n) です。
m > n なら B の先、m < n なら A の先です。
求めた点を両端からの距離と並びに戻して確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

式は合うのに延長側が逆になるなら、AP と PB の順番を声に出して、どちらの距離が長いか比べてみてください。分母が0になっても計算を続ける場合は、割る前の式に戻り、異なる2点という条件が何を意味するかを調べます。符号が不安なら、係数だけで判断せず p − a と p − b をそれぞれ計算すると、向きと距離を分けて確認できます。

個別指導で確かめるなら、点の並びを描いたうえで「なぜ AP = AB + BP なのか」「この係数は距離か、向きつきの倍率か」を説明してみましょう。式と図が同じ位置を指したとき、外分の符号に理由が生まれます。