高校数学C 三角形の重心—中線上の比と三頂点の平均を二通りで確かめる｜武蔵野個別指導塾

中線を2:1に分ける理由から座標の平均と未知の頂点の逆算まで、一つの式で結ぶのが三角形の重心です。

よくあるのは、理系の高校生が三角形の重心を中線の中点に置き、頂点と重心の距離を中点までの距離の半分と考える場面です。中線は頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線分ですが、その中点が重心とは限りません。3本の中線がどこで交わるかを式にすると、頂点から重心までの割合が見えてきます。図の比と座標の平均を往復しながら、未知の頂点を求めるところまで考えます。

どの情報から重心へ向かうか

重心を扱う問題には、見かけの違う入口があります。まず、3頂点の位置ベクトルや座標が与えられ、重心を求める型です。辺の中点を求めて中線を2:1に内分しても、3頂点の平均をとっても同じ点に着きます。計算が短い方を選び、もう一方を検算に使えます。

次に、2頂点と重心から残る頂点を逆算する型です。平均の式を3倍し、既知の2頂点を移項します。重心が与えられたのに、もう一度3点の平均を求めようとすると、未知の座標を取り残してしまいます。何が未知で何が与えられたかを先に区別します。

さらに、頂点に文字が含まれ、重心が直線上にある、または中線が辺と垂直になる条件を使う型があります。条件から候補を求めた後、三角形がつぶれていないか、求めた点が本当に指定された条件を満たすかを戻して確かめます。図だけで候補の数を決めず、式と条件の両方で調べることが重要です。

中線の交点から平均の式へ

3点 A、B、C が一直線上にない三角形 ABC を考えます。辺 BC の中点を M、辺 CA の中点を N とします。頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線分 AM、BN、同様に作るもう1本が中線です。3本の中線の交点を重心と呼びます。一直線上にないという条件は、三角形として3つの頂点を区別し、交点を考えるために必要です。

図1のように、原点を O とし、A、B、C の位置ベクトルをそれぞれ a、b、c とします。ここで a、b、c はベクトルです。中点 M の位置ベクトルは (b + c)/2 です。AM を頂点 A 側から 2:1 に内分する点を G と置けば、内分の式から次のようになります。

ベクトル OG = (a + 2・(b + c)/2)/3
             = (a + b + c)/3

この式は頂点の順序を入れ替えても変わりません。実際に N の位置ベクトルは (c + a)/2 なので、BN を B 側から 2:1 に内分する点の位置ベクトルも次の式です。

(b + 2・(c + a)/2)/3 = (a + b + c)/3

残る頂点 C と辺 AB の中点についても同じ計算が成り立ちます。したがって3本の中線は同じ G を通ります。逆に、例えば AM と BN の交点も、2本が異なる直線なのでこの G に限られます。よって G は重心であり、AG:GM = 2:1 です。比は頂点から中点へ向かう順に読むことが要点です。

別の見方もしておきます。A を原点とし、ベクトル AB = u、ベクトル AC = v と置きます。u、v はベクトルで、3点が一直線上にないため平行ではありません。AM 上の点をベクトル AX = t(u + v)/2、BN 上の点をベクトル AX = u + s(v/2 − u) と表します。これらが同じ点なら、u、v の係数を比べられます。

 t/2 = 1 - s
 t/2 = s/2
 t = s
 t/2 = 1 - t
 t = 2/3

よって交点は AM を A から 2/3 進んだ点です。中点までの残りは 1/3 なので、比は 2:1 です。係数比較は u、v が平行でないことを確認してから行います。2通りの導出は、交点の位置を線分上の割合と頂点の平均の両方で説明しています。

座標が A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃) なら、各成分を平均して重心 G は次のように表せます。

G((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

この式は座標の原点をどこに選んでも成り立ちます。原点を移すと各位置ベクトルに同じ移動分が加わり、3つの和を3で割った結果にもその移動分が1回加わるからです。位置ベクトル自体は原点によって変わりますが、表している点 G は変わりません。中線の中点や角の二等分線を使う点と取り違えず、まず「向かいの辺の中点」と「頂点側からの比」を図に記します。

基本例題：座標と中線を照合する

三角形 ABC の頂点が A(0, 6)、B(0, 0)、C(9, 0) です。辺 BC の中点を M、重心を G とします。M と G の座標を整数または分数で求め、AG:GM を答えてください。

図2のように、M は B と C のちょうど真ん中です。まず横と縦の座標を別々に平均します。

M = ((0 + 9)/2, (0 + 0)/2)
  = (9/2, 0)

次に3頂点の平均をとります。3つの横座標の和と、3つの縦座標の和を混ぜずに計算します。

G = ((0 + 0 + 9)/3, (6 + 0 + 0)/3)
  = (3, 2)

M からも答えを確かめます。A から M へ 2/3 進んだ点を計算すると、次の通りです。

ベクトル AG = (2/3)・ベクトル AM
             = (2/3)・(9/2, -6)
             = (3, -4)
G = (0, 6) + (3, -4)
  = (3, 2)

さらに G から M への移動は (3/2, -2) で、ベクトル AG の半分です。2つは同じ向きなので AG:GM = 2:1 と確かめられます。B から辺 CA の中点 (9/2, 3) に向かって 2/3 進んでも (3, 2) です。2本目の中線にも乗るので、図での配置と計算が一致しています。

この例では A と B の横座標が等しく、B と C の縦座標が等しいため、図の形を見て計算しやすくなっています。一方で、重心の式そのものに直角という条件はありません。斜めの三角形でも、3点が一直線上にならなければ同じ手順を使えます。

標準例題：重心から残る頂点を戻す

三角形 ABC について、A(2, -1)、B(8, 2)、重心 G(4, 3) がわかっています。残る頂点 C の座標を整数で求めてください。

3頂点を平均すると G になるので、未知の C を含む式を作ります。座標を C(x, y) と置くと、横と縦についてそれぞれ次の等式が成り立ちます。

(2 + 8 + x)/3 = 4
10 + x = 12
x = 2

(-1 + 2 + y)/3 = 3
1 + y = 9
y = 8

したがって C(2, 8) です。位置ベクトルで見れば、3倍した重心の位置ベクトルから A、B の位置ベクトルを引く操作です。3をかける前に A、B を引くと、それらにも誤った倍率がかかるため、平均の式から順に変形します。

答えを元の場面に戻します。C(2, 8) を含む3頂点の横座標の平均は (2 + 8 + 2)/3 = 4、縦座標の平均は (-1 + 2 + 8)/3 = 3 です。どちらも与えられた G に戻ります。さらに BC の中点 M は (5, 5) で、ベクトル AM = (3, 6)、ベクトル AG = (2, 4) です。AG は AM の 2/3 倍ですから、G は中線上の正しい位置にあります。

このときベクトル AB = (6, 3)、ベクトル AC = (0, 9) は平行ではありません。よって3頂点は一直線上にならず、三角形が存在します。もし求めた C が直線 AB 上に来たなら、平均の等式は満たしても、三角形の重心を求める問題としての条件は満たしません。逆算ではこの存在の確認までが答えの一部です。

発展例題：条件から候補を出して戻す

A(0, 3)、B(6, 0)、C(t, -3) が一直線上にない三角形 ABC を考えます。重心を G とし、AG が BC に垂直で、G が x 軸上にあるとします。実数 t の値をすべて求め、各場合の G の座標を整数で答えてください。

重心の座標を先に表せば、G が x 軸上にある条件と垂直の条件を分けて調べられます。平均の式より、

G = ((0 + 6 + t)/3, (3 + 0 - 3)/3)
  = ((t + 6)/3, 0)

縦座標は t の値によらず 0 です。したがって、x 軸上という条件は今回の3頂点の形から常に満たされます。これだけでは t は決まりません。残る条件を使うため、向きを表す2つのベクトルを作ります。

ベクトル AG = ((t + 6)/3, -3)
ベクトル BC = (t - 6, -3)

どちらも縦成分が -3 なので零ベクトルではありません。垂直条件として内積が 0 となる式を使えます。

((t + 6)/3)・(t - 6) + (-3)・(-3) = 0
(t² - 36)/3 + 9 = 0
t² - 36 + 27 = 0
t² = 9
t = 3 または t = -3

ここで解を2つとも元の図形に戻します。t = 3 のとき C(3, -3)、G(3, 0) です。ベクトル AG = (3, -3)、ベクトル BC = (-3, -3) の内積は -9 + 9 = 0 です。ベクトル AB = (6, -3) とベクトル AC = (3, -6) は倍数関係にないので、三角形はつぶれません。

t = -3 のとき C(-3, -3)、G(1, 0) です。ベクトル AG = (1, -3)、ベクトル BC = (-9, -3) の内積は -9 + 9 = 0 です。この場合もベクトル AB = (6, -3) とベクトル AC = (-3, -6) は平行ではありません。両方の G の縦座標は 0 で、3頂点の座標の平均にも戻るため、どちらも条件を満たします。

候補は t = 3、-3 で、それぞれ G(3, 0)、G(1, 0) です。垂直という言葉から内積の式に進むときは、使った2つのベクトルが零でないことも確認します。逆に、内積を計算して 0 になったという結果だけでは、三角形の存在や重心の位置までは自動的に確認できません。

中線の中点に置いた誤答を直す

図3では、辺 BC の中点を M、線分 AM の中点を H としています。H を重心だとして、AH:HM = 1:1 と書く誤りを考えます。M が辺 BC の中点であることと、重心が AM の中点であることは別の主張です。

図3の H は確かに中線上にあります。しかし、H の位置ベクトルを計算すると次のようになります。

ベクトル OH = (a + (b + c)/2)/2
             = (2a + b + c)/4

一方、重心 G の位置ベクトルは (a + b + c)/3 です。H では頂点 A の重みが 2/4、B と C の重みがそれぞれ 1/4 になり、3頂点は同じ重みになっていません。三角形がつぶれていない場合、この H は重心とは異なります。

直すには、M が BC の中点であることを保ったまま、AM 上に頂点 A から 2/3 の位置を取ります。すると AG:GM = 2:1 で、位置ベクトルは (a + b + c)/3 です。図の線分を3つに分けて、A から2つ分進んだ点に印を付けると、比の向きも確かめられます。

もう一つの誤りは、AM = 3、AG = 1 として AG:GM = 1:2 を当てることです。合計が3であっても、頂点側の長い部分を取り違えています。数の和を見るだけでなく、G が M に近いことと、比を A から読むことを同時に確認します。

自分で試す5問

次の問題では、指定がなければ座標や比を整数または分数で答えてください。3問目では三角形が存在するかも調べます。

1. A(-3, 3)、B(3, 6)、C(6, -3) の重心 G の座標を求めてください。
2. A(1, 5)、B(7, -1)、C(-2, 2) の辺 BC の中点を M とします。M と重心 G の座標、AG:GM を求めてください。
3. A(-2, 4)、B(4, -2)、重心 G(1, 1) が与えられたとき、三角形が存在するなら残る頂点 C の座標を求め、存在しなければその理由を答えてください。
4. A(0, 2)、B(6, 2)、C(0, 8) の重心を G とします。辺 BC の中点を M とし、ベクトル AG とベクトル GM の成分を求め、比 AG:GM を確かめてください。
5. A(0, 0)、B(4, 0)、C(k, 6) の重心 G が直線 y = x 上にあります。実数 k と G の座標を求めてください。

答えと途中の考え方

1. それぞれの成分を3で割ります。

G = ((-3 + 3 + 6)/3, (3 + 6 - 3)/3)
  = (2, 2)

答えは G(2, 2) です。BC の中点は (9/2, 3/2) で、A からこの点へ 2/3 進むと (-3, 3) + (5, -1) = (2, 2) です。中線の比に戻しても同じ点です。

2. まず辺の中点を出してから、頂点からの割合を使います。

M = ((7 - 2)/2, (-1 + 2)/2)
  = (5/2, 1/2)
ベクトル AM = (3/2, -9/2)
ベクトル AG = (2/3)・(3/2, -9/2)
             = (1, -3)
G = (1, 5) + (1, -3)
  = (2, 2)

答えは M(5/2, 1/2)、G(2, 2)、AG:GM = 2:1 です。3頂点の平均も ((1 + 7 − 2)/3, (5 − 1 + 2)/3) = (2, 2) です。ベクトル GM = (1/2, -3/2) は AG の半分なので、比の向きも一致します。

3. C(x, y) と置き、平均の等式を戻します。

(-2 + 4 + x)/3 = 1
x + 2 = 3
x = 1
(4 - 2 + y)/3 = 1
y + 2 = 3
y = 1

平均の式から得られる候補は C(1, 1) です。3点を平均すると確かに (1, 1) で、C 自身が重心と重なっています。ただし A(-2, 4)、B(4, -2)、C(1, 1) は一直線上にあります。したがって三角形という問題の条件を満たす C は存在しません。平均の式に代入できることと、三角形の条件を満たすことは別です。

4. 座標の平均と中点をそれぞれ求めます。

G = ((0 + 6 + 0)/3, (2 + 2 + 8)/3)
  = (2, 4)
M = ((6 + 0)/2, (2 + 8)/2)
  = (3, 5)
ベクトル AG = (2, 2)
ベクトル GM = (1, 1)

答えはベクトル AG = (2, 2)、ベクトル GM = (1, 1)、AG:GM = 2:1 です。AG は GM の正の2倍ですから、同じ中線上で頂点から G、M の順に並びます。M は BC の中点にも戻ります。

5. 重心の座標を k で表し、直線の式へ戻します。

G = ((0 + 4 + k)/3, (0 + 0 + 6)/3)
  = ((k + 4)/3, 2)
(k + 4)/3 = 2
k + 4 = 6
k = 2

答えは k = 2、G(2, 2) です。C(2, 6) を3頂点の平均に戻すと (2, 2) となり、y = x を満たします。A と B は異なる x 軸上の点で、C の縦座標は 6 なので、3点は一直線上にありません。

重心を扱うときの手がかり

• 中線は頂点と向かいの辺の中点を結びます。
• 重心は各中線を頂点側から 2:1 に分けます。
• 重心の位置ベクトルは3頂点の位置ベクトルの平均です。
• 頂点を逆算したら、平均と三角形の成立を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

中点 M は求められるのに G の位置がずれる場合は、AM を3等分し、A から何区間進むかを言葉にしてみます。G の座標は合うのに図に置けない場合は、ベクトル AG とベクトル GM を引き算で求め、正の2倍という関係があるかを見ます。符号が逆なら引く順番か点の並びに戻ります。

個別指導で式を確かめるときも、最初に完成した公式を尋ねるだけでなく、辺の中点の式から重心の式を作ってもらうと、係数の取り違えが見えます。逆算では得られた3点が一直線上でないかを図と成分で確認します。中線上の割合と3頂点の平均が同じ点を指す理由まで説明できれば、初めて見る条件にも式を選んで対応できます。