高校数学C 三角形の内心—辺の長さによる重みと角の二等分線をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

対辺の長さを各頂点の重みにする理由を角の二等分線定理から導き、内心の座標を3辺への距離で確かめます。

よくあるのは、理系の高校生が内心の位置ベクトルを求めるとき、頂点の係数にその頂点に接する辺の長さを選ぶ場面です。3本の辺の長さを式に入れていても、どの頂点にどの長さが対応するかで点は変わります。角の二等分線が対辺を分ける比から出発し、係数の向きを確かめましょう。

内心を使う問いの形

1つ目は、3辺の長さと頂点の位置ベクトルから内心の位置を求める問いです。長さは各頂点の向かい側に置き、重みの合計で割ります。3つの重みが正なので、求めた点は三角形の内部にあります。

2つ目は、角の二等分線と対辺の交点を経由して、内心の式を導く問いです。内分比を位置ベクトルに直す際、点の係数と、その点から反対側の区間の長さを対応させます。係数を覚えていても、この途中を説明できると、比の向きを誤ったときに戻れます。

3つ目は、候補点が本当に内心か、または条件を満たす三角形が存在するかを判定する問いです。二等分線上にあることに加え、点が角の内部にあることを確認します。辺を延長した直線までの距離が等しい点には、三角形の外にあるものもあるからです。

対辺の長さが係数になる理由

一直線上にない3点 A、B、C を頂点とします。辺 BC、CA、AB の長さをそれぞれ a、b、c とし、任意の原点 O からの位置ベクトルを順に p、q、r（いずれもベクトル）とします。三角形がつぶれていないので a、b、c は正で、a + b + c も正です。

図1のように、A の角の二等分線と辺 BC の交点を D とします。角の二等分線定理より、BD : DC = AB : AC = c : b です。したがって、内分点 D の位置ベクトルは (bq + cr)/(b + c) です。B の係数が b なのは、D から反対の端 C までの長さ DC が比の上で b に対応するためです。

図1の I は角の二等分線の交点です。式の形を確かめるため、次の点 X を考えます。

ベクトル OX = (ap + bq + cr)/(a + b + c)
             = {ap + (b + c)・ベクトル OD}/(a + b + c)

両係数は正で和が1なので、X は線分 AD の内部にあります。よって X は A の角の二等分線上です。同じように B からの二等分線と CA の交点を E とすると、CE : EA = BC : BA = a : c で、E の位置ベクトルは (ap + cr)/(a + c) です。上の X は線分 BE の内部にもあります。したがって X は2本の内角の二等分線の交点で、内心 I です。

ベクトル OI = (ap + bq + cr)/(a + b + c)

A の重み a は、A に接する辺ではなく、向かいの辺 BC の長さです。原点を変えても係数の和は1なので、点の位置は変わりません。3辺が同じ長さのときには3つの重みも等しく、頂点の平均と一致しますが、一般には重心とは異なります。

等距離からも関係を見られます。角の内部の点からその両辺に下ろした垂線を考えると、二等分線上の点は両辺への距離が等しくなります。逆に角の内部で距離が等しければ、共通の斜辺を持つ2つの直角三角形が合同なので、その点は二等分線上です。2つの角について使えば、内心から3辺への距離は等しいとわかります。ここで距離は垂線の長さで、頂点までの長さではありません。

基本例題：直角三角形の位置

原点 O を A とし、B(6, 0)、C(0, 8) とします。三角形 ABC の内心 I の座標を分数または整数で求めてください。

図2のように AB と AC は垂直で、いずれも長さが正です。したがって三角形は退化していません。三平方の定理で BC の長さを求めてから、対辺を重みにします。

BC² = 6² + 8²
    = 100
BC = 10
CA = 8、AB = 6
I = {10(0, 0) + 8(6, 0) + 6(0, 8)}/(10 + 8 + 6)
  = (48, 48)/24
  = (2, 2)

正の長さをとるので BC = 10 です。図2で I から2つの座標軸への距離はともに2です。残る辺 BC は 4x + 3y = 24 であり、I からこの直線への距離も |8 + 6 − 24|/5 = 2 です。I は x > 0、y > 0、4x + 3y < 24 を満たす内部の点なので、等距離という条件を元の図に戻して確かめられます。

別の確認として、A の二等分線は y = x です。これと BC の交点 D は (24/7, 24/7) で、BD : DC = 6 : 8 = 3 : 4 です。I は A から D への途中にあり、反対の頂点の重みを入れた結果が二等分線に乗ることも確かめられます。

標準例題：交点を経由して導く

三角形 ABC で AB = 5、AC = 7、BC = 8 とします。原点 O から A、B、C への位置ベクトルを p、q、r（いずれもベクトル）とします。A の内角の二等分線と BC の交点を D、内心を I とするとき、D と I の位置ベクトルを p、q、r で表してください。

5 + 7 > 8、7 + 8 > 5、8 + 5 > 7 なので、この長さの非退化三角形が作れます。内心の式に代入する前に D を経由すると、比と係数の対応が見えます。

BD : DC = AB : AC
        = 5 : 7
ベクトル OD = (7q + 5r)/12
ベクトル OI = (8p + 7q + 5r)/20
             = (8p + 12・ベクトル OD)/20
             = (2p + 3・ベクトル OD)/5

したがって I は AD を AI : ID = 3 : 2 に内分します。検算では、D の係数から BD : DC = 5 : 7 を戻し、問題の辺の比と一致することを確認します。さらに B の角の二等分線と CA の交点 E は CE : EA = 8 : 5 です。

ベクトル OE = (8p + 5r)/13
ベクトル OI = (7q + 13・ベクトル OE)/20

I は BE の内部にもあるため、2本の内角の二等分線の交点という条件に戻ります。各係数が正で、分母20が0でないことも確認できました。辺の長さを3つ足す操作は、位置ベクトルの係数の和を1にするために必要です。

発展例題：候補点から辺の長さを逆算する

A(0, 0)、B(9, 0)、C(0, t) とし、t > 0 とします。三角形 ABC の内心の x 座標が3であるとき、t と内心の座標を求めてください。答えは整数または分数で表します。

t > 0 より三角形は非退化です。BC の長さを s と置くと、s = √(81 + t²) で s > 0 です。内心公式から座標を出し、条件を代入します。

I = {s(0, 0) + t(9, 0) + 9(0, t)}/(s + t + 9)
  = (9t/(s + t + 9), 9t/(s + t + 9))
9t/(s + t + 9) = 3
3t = s + t + 9
s = 2t - 9

左辺 s は正なので、候補には t > 9/2 が必要です。両辺を二乗して整理します。

81 + t² = (2t - 9)²
81 + t² = 4t² - 36t + 81
3t(t - 12) = 0

t > 0 なので候補は t = 12 です。二乗前の符号条件も満たし、s = 15 = 2・12 − 9 です。元の座標式に戻すと I = (3, 3) となり、指定された x 座標に一致します。辺 BC は 4x + 3y = 36 なので、I から BC への距離は |12 + 9 − 36|/5 = 3 です。2つの座標軸からの距離も3で、I は3辺の内側にあります。

t = 0 は整理した式を満たしますが、C が A と重なり三角形にならないため除きます。二乗した式の解は元の式の候補にすぎず、正の長さと元の条件に戻して判定することが必要です。

隣の辺を重みにした式を直す

図3のように A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 8) を考えます。対辺の対応を書かず、誤って A、B、C の重みを順に AB、BC、CA とすると、候補 J は次の点になります。

J = {6(0, 0) + 10(6, 0) + 8(0, 8)}/24
  = (5/2, 8/3)

図3では J は A の角の二等分線 y = x 上にありません。実際、2つの座標軸への距離は 5/2 と 8/3 で異なります。重みが正で合計が1でも、それだけでは内心とはいえません。正しい対応は A に BC = 10、B に CA = 8、C に AB = 6 です。これで I = (2, 2) と直せます。

計算の失敗には、内分公式の係数を逆にする場合もあります。D が B に近ければ、D の式で B の係数は C の係数より大きくなるはずです。図を見て近い頂点の重みが大きいかを調べれば、式に数値を入れる前に修正できます。

練習：重みと二等分線を行き来する

以下はすべて非退化三角形です。位置ベクトルを指定された文字で、座標と比は整数または既約分数で答えてください。

1. AB = 13、AC = 14、BC = 15 の三角形 ABC で、頂点の位置ベクトルを p、q、r とします。内心の位置ベクトルを求めてください。
2. A(0, 0)、B(8, 0)、C(0, 15) の内心の座標を求めてください。
3. AB = 10、AC = 17、BC = 21 とします。A の内角の二等分線と BC の交点を D、内心を I とするとき、BD : DC と AI : ID を求めてください。
4. A(0, 0)、B(12, 0)、C(0, u)、u > 0 の内心が (4, 4) です。u を求めてください。
5. A(0, 0)、B(10, 0)、C(0, 24) において、P(3, 3) は内心ですか。3辺への距離を用いて判定してください。

練習の解答と戻し方

1

対辺の長さをそれぞれの頂点の重みにします。分母は 15 + 14 + 13 = 42 です。

ベクトル OI = (15p + 14q + 13r)/42

検算として A と BC の交点 D にまとめます。

ベクトル OD = (14q + 13r)/27
BD : DC = 13 : 14

これは AB : AC = 13 : 14 と一致します。さらに B からの二等分線についても、CA 上の分点の比は 15 : 13 となり BC : BA に一致します。したがって点は両方の二等分線上にあります。

2

BC² = 8² + 15² = 289
BC = 17
I = {17(0, 0) + 15(8, 0) + 8(0, 15)}/40
  = (3, 3)

BC は 15x + 8y = 120 です。I は両座標が正で 15・3 + 8・3 = 69 < 120 なので内部にあります。3辺への距離は、座標軸へ3、BC へ |69 − 120|/17 = 3 です。元の三角形で等距離を確認できました。

3

BD : DC = 10 : 17
ベクトル OD = (17q + 10r)/27
ベクトル OI = (21p + 17q + 10r)/48
             = (21p + 27・ベクトル OD)/48
AI : ID = 27 : 21 = 9 : 7

最後の比は点 A の係数と逆向きに読むことに注意します。逆に AI : ID = 9 : 7 から I の A と D の重みは 7 : 9、すなわち 21 : 27 です。D の分点比も 10 : 17 に戻るため、与えられた角の二等分線定理の比と一致します。

4

BC = s = √(144 + u²) とします。内心公式で x 座標を取り出します。

12u/(s + u + 12) = 4
3u = s + u + 12
s = 2u - 12
144 + u² = (2u - 12)²
3u(u - 16) = 0

u > 0 より u = 16 が候補です。s = 20 で、二乗前の式 20 = 2・16 − 12 も成り立ちます。座標式に戻すと両成分は 192/48 = 4 です。BC の式 4x + 3y = 48 からの距離も |16 + 12 − 48|/5 = 4 で、指定された内心に戻ります。

5

BC = √(10² + 24²) = 26 で、BC の直線は 12x + 5y = 120 です。P は内部にありますが、内部という条件だけでは判定できません。

AB への距離 = 3
AC への距離 = 3
BC への距離 = |12・3 + 5・3 - 120|/13
             = 69/13

3と 69/13 は異なるので P は内心ではありません。実際、公式から内心は (10・24/60, 10・24/60) = (4, 4) です。この点の BC への距離は |48 + 20 − 120|/13 = 4 で、残る2辺への距離にも一致します。

手元に残す4行

• A、B、C の向かいの辺の長さを順に a、b、c と置きます。
• 内心の位置ベクトルは (ap + bq + cr)/(a + b + c) です。
• 分点の係数は反対側の区間の長さに対応します。
• 候補は内部にあることと、二等分線または3辺への等距離で確かめます。

どの式でつまずいたかを見分ける

重みの対応が曖昧なら、頂点 A の向かいにある辺を図に書き込み、その長さが p の係数になる理由を D の内分式から説明してみてください。係数の和が1でない場合は、3辺の長さの和で割ったかを見直します。

二等分線上にあるかの判定で迷う場合は、2辺までの垂直な距離をそれぞれ書き出します。個別指導で式を確かめる際も、答えの座標だけで終えず、どの辺への距離を計算したかと、点が角の内部にある理由を言葉にすると、誤りの場所を特定できます。対辺の長さと分点の比がつながると、内心の式は自分で導けます。