高校数学B 階差数列から一般項—初項を起点に差を足して添字のずれを直す｜武蔵野個別指導塾

初項に階差を足して一般項を復元します。和の上端をn-1とする理由と、n=1で初項を返すことの両方を確かめましょう。

よくあるのは、高2の高校生が第n項を求めるとき、初項から階差をn個足してしまう場面です。項をn個並べることと、その間の移動を数えることは違います。第1項から第4項へ進むなら、通る差は3個です。どの差を足すのかを先に図や式に並べると、上端の取り違えを防げます。

差の情報から何を求めるか

階差を使う問題では、元の数列の初項と、隣り合う項の差が与えられます。たとえば差が一定の幅で増えるとき、差の列は等差数列です。差が前の差の一定倍になるときは等比数列です。いずれも、差そのものを元の項と取り違えず、初項から必要な差を積み重ねて一般項に戻します。

別の問われ方として、差の列の初項と公差または公比が文章で与えられる場合があります。まず差の第k項をkの式で表し、それから和を作ります。元の数列の初項が抜けていれば、差の並びが決まっても元の数列は一つに決まりません。全項に同じ数を加えても差は変わらないからです。

さらに、離れた項と差の規則から初項を逆算する問いもあります。その場合も出発点と到着点を決め、間にある差の個数を数えてから式を立てます。以下では自然数を1以上の整数とし、与えられた差の規則が必要な添字の範囲で成り立つものとします。

階差は項と項を結ぶ

数列 a₁, a₂, a₃, … に対し、自然数kについて bₖ = aₖ₊₁ − aₖ とおきます。この数列 b₁, b₂, b₃, … を、元の数列の階差数列といいます。b₁はa₁からa₂への変化、b₂はa₂からa₃への変化です。差の番号は、移動前の項の番号に対応しています。

図1のように、a₁からa₄までの4項の間には、b₁からb₃までの3個の差があります。矢印の終点がa₄であることと、最後に使う差がb₃であることを合わせて確かめます。

図1を式でたどると、次のようになります。

a₂ = a₁ + b₁
a₃ = a₂ + b₂ = a₁ + b₁ + b₂
a₄ = a₃ + b₃ = a₁ + b₁ + b₂ + b₃

一般にnが2以上なら、隣り合う差を第1項から第(n-1)項まで足します。各差を元の項で書けば、途中の項が正負で消え、aₙ − a₁が残ります。したがって次の式が成り立ちます。

aₙ = a₁ + Σ[k=1..n-1] bₖ　（n≥2）

n=1では足す差がありません。この式を使う前に、a₁は与えられた初項として別に扱います。計算後に得た式がn=1でも初項を返すなら、最後に自然数nについて一つの式にまとめられます。n=1を確かめず、和の公式の添字にそのまま代入したことを根拠にしないようにします。

差が等差数列なら、項数n-1と末項bₙ₋₁を使って和を求めます。差が等比数列で公比rが1でなければ有限和の公式を使えます。r=1では分母が0になるため、同じ差をn-1個足します。r=0なら、最初の差の後は0になると直接考えられます。どの方法でも、初項を足し忘れないことが元の数列への復元に必要です。

基本例題：等差の階差を足す

数列の初項が a₁ = 5、階差数列の第k項が bₖ = 3k + 1（kは自然数）です。一般項aₙを自然数nの式で求めてください。

差は4, 7, 10, … です。図2のように初項5から第4項へは、このうち最初の3個を足します。実際に第4項まで進んでから、一般の場合にも同じ数え方を使います。

a₂ = 5 + 4 = 9
a₃ = 9 + 7 = 16
a₄ = 16 + 10 = 26

図2の到着値26は、5に4, 7, 10を順に加えた値です。一般のnについては、n≥2のとき差をn-1個足します。自然数の和の公式を使う際、上端n-1は正の整数です。

aₙ = 5 + Σ[k=1..n-1] (3k + 1)
   = 5 + 3Σ[k=1..n-1] k + Σ[k=1..n-1] 1
   = 5 + 3(n-1)n/2 + (n-1)
   = (3n² - n + 8)/2

n=1では別にa₁=5です。得た式に1を入れると(3-1+8)/2=5なので、答えは自然数nについて aₙ = (3n² − n + 8)/2 です。n=4を入れると26となり、直接進んだ結果とも合います。さらに隣の項との差を取ると3n+1となるので、与えられた差にも戻ります。

この例では差が増えているため、元の項の増え方も次第に大きくなります。ただし数項から二次式を予想するだけでは、後の項まで条件を満たす証明にはなりません。差を必要な範囲で足した式から導くことが、すべての自然数nについて答える根拠です。

標準例題：等比の階差を足す

数列の初項を a₁ = -2 とします。階差数列の第k項は bₖ = 6・2の(k-1)乗（kは自然数）です。一般項aₙを自然数nの式で求めてください。

差の初項は6、公比は2です。公比は1ではないので、n≥2ならn-1項の等比数列の和を用います。指数の(k-1)は差の初項の指数を0にするためのものです。和の項数までk-1個と読むわけではありません。

aₙ = -2 + Σ[k=1..n-1] 6・2の(k-1)乗
   = -2 + 6(2の(n-1)乗 - 1)/(2 - 1)
   = 6・2の(n-1)乗 - 8

n=1のとき、この式は6-8=-2となり、初項に一致します。したがって自然数nについて aₙ = 6・2の(n-1)乗 − 8 です。差を取ると、次のように元の条件へ戻ります。

aₙ₊₁ - aₙ = (6・2のn乗 - 8) - (6・2の(n-1)乗 - 8)
             = 6・2の(n-1)乗

たとえば初項から差6, 12を足すと第3項は16です。一般項にn=3を代入しても16です。公比が負でも有限和の公式は使えますが、各項の符号を含めて和を作ります。一方、公比が1のときは公式の分母が0なので、同じ差の個数を数えて別に計算します。

発展例題：途中の項から初項へ戻る

階差数列の第k項が bₖ = 2k − 3（kは自然数）で、元の数列は a₅ = 18 を満たします。一般項aₙを自然数nの式で求めてください。

第1項から第5項までの移動には、b₁からb₄までを使います。差は負になることもあります。最初の差が負でも、符号をつけて足せば同じ関係が成り立ちます。

b₁ = -1
b₂ = 1
b₃ = 3
b₄ = 5
a₅ = a₁ + (-1) + 1 + 3 + 5
18 = a₁ + 8
a₁ = 10

初項を得たので、n≥2に対して階差を足します。

aₙ = 10 + Σ[k=1..n-1] (2k - 3)
   = 10 + 2(n-1)n/2 - 3(n-1)
   = n² - 4n + 13

n=1ではこの式は10となり、求めた初項に一致します。よって自然数nについて aₙ = n² − 4n + 13 です。n=5を代入すると18で、指定された項へ戻ります。また隣の項との差は2n-3ですから、最初の差が-1であることを含めて条件を満たします。

別の見方では、第5項から逆向きに差を引いて初項に戻れます。ただし、第5項へ入る直前の差はb₄です。b₅まで引けば第6項から戻る計算になり、出発点が変わります。順方向でも逆方向でも、どの2項を結ぶ差かを明記することが必要です。

ずれた式を直す

基本例題で、次のように階差をn個足したとします。

誤り: aₙ = 5 + Σ[k=1..n] (3k + 1)

この右辺はaₙではなくaₙ₊₁です。図3のように、bₙはaₙからさらに次の項へ進む差だからです。n=1を代入すると9になり、与えられた初項5に合いません。小さい番号で確かめると、余分な移動を見つけられます。

図3の最後の矢印を外し、n≥2なら上端をn-1に直します。初項は別に調べ、最後に式を統一できるか確かめます。上端だけを直して初項5を消してしまうと、今度は差の合計しか残りません。差の合計は到着値そのものではなく、出発値からの増減です。

もう一つの誤りは、等比の差の公比が1のときも分母に1-rを含む式へ代入することです。0で割る操作はできません。差が一定なら、その値を移動回数n-1倍して初項へ加えます。公式が使えない場合でも、差を並べて足す元の考え方に戻れば処理できます。

練習問題

各問で、差の添字kと元の項の添字nは自然数です。一般項は自然数nの式で答えてください。和や差の値を問う場合は整数で答えてください。

1. a₁ = 8、bₖ = 2k とします。一般項aₙを求めてください。
2. a₁ = 3、bₖ = 4・3の(k-1)乗とします。一般項aₙを求めてください。
3. a₁ = -4、bₖ = 7とします。一般項aₙを求めてください。
4. bₖ = 3k − 2、a₄ = 20とします。一般項aₙを求めてください。
5. a₁ = 1、bₖ = 5・(-1)の(k-1)乗とします。a₆と一般項aₙを求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

n≥2のとき、差は2から2(n-1)までのn-1個です。初項へその和を加えます。

aₙ = 8 + Σ[k=1..n-1] 2k
   = 8 + 2(n-1)n/2
   = n² - n + 8

n=1でも右辺は8です。答えは aₙ = n² − n + 8 です。隣の項との差は2nで、初項からの差の条件に戻ります。たとえばa₂=10であり、8に最初の差2を加えた値と一致します。

2

差の公比は3で1ではありません。n≥2でn-1個の等比の差を足します。

aₙ = 3 + 4(3の(n-1)乗 - 1)/(3 - 1)
   = 3 + 2・3の(n-1)乗 - 2
   = 1 + 2・3の(n-1)乗

n=1でも右辺は3です。答えは aₙ = 1 + 2・3の(n-1)乗 です。第2項は7で、初項3に差4を足した値です。隣の式の差も4・3の(n-1)乗となります。

3

差は常に7です。公比を1と見れば、分母が0になる等比和の式は使えません。n≥2では7をn-1回足します。

aₙ = -4 + 7(n-1)
   = 7n - 11

n=1でも右辺は-4です。答えは aₙ = 7n − 11 です。隣の項との差は7となり、初項と差の両方を満たします。差が一定であることを使えば、元の列は初項-4、公差7の等差数列と見ても同じ結果です。

4

第4項までの差はb₁, b₂, b₃の3個で、それぞれ1, 4, 7です。

20 = a₁ + 1 + 4 + 7
a₁ = 8

n≥2について差を足します。

aₙ = 8 + Σ[k=1..n-1] (3k - 2)
   = 8 + 3(n-1)n/2 - 2(n-1)
   = (3n² - 7n + 20)/2

n=1でも8なので、答えは aₙ = (3n² − 7n + 20)/2 です。n=4で20となり、隣の項との差も3n-2となります。初項と第4項の関係へ戻して、差を1個多く足していないことを確かめられます。

5

差の公比は-1です。公比が負でも1ではないので、n≥2で有限和の式を使えます。

aₙ = 1 + 5(1 - (-1)の(n-1)乗)/(1 - (-1))
   = 1 + 5(1 - (-1)の(n-1)乗)/2

n=1でも右辺は1です。これが一般項です。n=6では(-1)の5乗が-1なので a₆ = 6 です。直接差を足しても、1から5, -5, 5, -5, 5と進んで6になります。隣の項との差は指定された符号交代の差になり、初項にも一致します。

手元に残す要点

• bₖ = aₖ₊₁ − aₖ は第k項から次への差です。
• n≥2では初項にb₁からbₙ₋₁までを足します。
• n=1は初項で確かめ、式を一つにまとめられるか調べます。
• 等比の差は公比1を分け、負や0も条件に沿って扱います。
• 答えを初項と隣接する項の差に戻して照合します。

どこで止まったかを見分ける

和の上端に迷ったら、まず第3項までを書き、矢印が2本であることを確かめます。和の計算が合わない場合は、差の初項と末項、項数を別々に書いてから公式へ進みます。答えの初項が合わなければ、差の和に出発値を加えたかを見直します。

個別に確認するときは、途中式のどの行から項番号と差の番号がずれたかをたどります。公式を暗記し直す前に、実際の2項を結ぶ差を指で追えば、修正すべき上端が見えてきます。初項と差の両方を満たす式まで戻して、階差から元の数列を復元します。