高校数学B 絶対値を含む数列の和—符号が変わる項番号で区切って足し直す｜武蔵野個別指導塾

一次式が0になる位置と整数の項番号を照合し、0の項や文字を含む場合まで、符号で区切る絶対値の和を考えます。

よくあるのは、高2の高校生が符号の切替点を小数のまま項数にする場面です。例えば、式が0になる番号を計算して3.5と出たとき、負の項が3.5個あるわけではありません。項番号は1, 2, 3, …という自然数なので、3番目と4番目の間で符号が変わります。絶対値を外す前に、実際に存在する項の番号を選びましょう。

どこで分けるかを読む

求め方にはいくつかの出方があります。項数が決まっていて和を数値で答える問題なら、まず0になる位置を求め、左右の項を実際に確認します。項数が文字で与えられる問題なら、最後の番号が切替位置より前か後かで式が変わります。さらに絶対値の中に文字が入る問題では、その文字の値に応じて負の項の個数が変わります。

どの場合も、先に確定するのは足す範囲です。たとえば第1項から第8項までなら、番号は1以上8以下の整数に限られます。一次式が0になる位置がこの範囲の外にあれば、途中で分ける必要はありません。範囲内でも、0になる位置が整数かどうかで端の扱いが変わります。

答えの条件も読みます。数値の和を求めるのか、自然数 n の式で表すのか、文字の範囲ごとに表すのかを区別します。途中で得た切替位置は、和そのものでも項数でもありません。その位置を使って、どの項をどう足すかを決めます。

絶対値を外すための境界

実数 x の絶対値 |x| は、x が0以上なら x、x が0未満なら -x です。0の絶対値も0です。したがって、各項の中身が負なら符号を反転し、正ならそのままにします。絶対値の外し方は項ごとに決まり、和全体の符号から決まるものではありません。

例えば中身が 2k − 7 で、k が自然数なら、0になる位置は k = 7/2 です。図1のように、k = 3 では -1、k = 4 では 1 なので、負の項は第1項から第3項です。小数の3.5は境界の位置を示す数であり、項の個数ではありません。4項目以降は中身が正です。

図1の左右に並ぶ番号は離れた点です。その間にある7/2も境界として役立ちますが、数列の項番号として数えません。逆に、0になる位置が整数なら、その番号の項は0です。負側に入れても正側に入れても値は変わりませんが、重複して数えないよう、どちらか一方に置きます。

一次式の係数が負の場合は、番号が増えるにつれ中身が減ります。0になる位置の左が正、右が負になるため、増加する場合の符号をそのまま流用できません。係数が0なら中身は一定であり、切替位置を求めるために0で割らず、その一定値の符号を見ます。

区切った後は等差数列の和を使えます。初項 A、末項 L、項数 m の和は m(A + L)/2 です。番号が p から q までの整数なら項数は q − p + 1 です。式を使う前に p ≤ q を確かめ、該当する項がない場合はその部分の和を0とします。端を入れるかどうかを先に決めれば、項数のずれを避けられます。

基本例題：境界が項と項の間にある場合

第1項から第8項までの和 Σ[k=1..8] |3k − 11| を整数で求めます。

中身が0になる位置は 3k − 11 = 0 より k = 11/3 です。これは3と4の間にあります。実際に k = 3 では -2、k = 4 では 1 です。したがって、1から3までは符号を反転し、4から8まではそのまま足します。

図2のように、負の側は3項、正の側は5項で、合わせて8項です。絶対値を外した項を端まで書くと、次のようになります。

Σ[k=1..8] |3k - 11|
= (8 + 5 + 2) + (1 + 4 + 7 + 10 + 13)
= 15 + 35
= 50

等差数列の和で計算するなら、前半は初項8、末項2、項数3なので 3(8 + 2)/2 = 15 です。後半は初項1、末項13、項数5なので 5(1 + 13)/2 = 35 です。二つを合わせると50になります。

元の条件へ戻すと、中身は -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 です。各項をそれぞれ0からの距離に直して足しても50です。切替位置 11/3 を項数とするのではなく、その前にある自然数が1, 2, 3の3個だと数えたことが計算の根拠です。

標準例題：0の項と末項の位置

自然数 n に対し、Sₙ = Σ[k=1..n] |2k − 10| を n の式で表します。適用する n の範囲も示します。

中身が0になるのは k = 5 です。k < 5 なら負、k > 5 なら正で、k = 5 の項は0です。末項が5より前にあるかどうかで分けます。ここでは0の項を前半に含めます。

1 ≤ n ≤ 5 のとき、すべての中身が0以下なので、各項の符号を反転します。1から n までの整数の和は n(n + 1)/2 ですから、

Sₙ = Σ[k=1..n] (10 - 2k)
= 10n - 2・n(n + 1)/2
= 9n - n²

n ≥ 6 のとき、第1項から第5項までと第6項から第 n 項までに分けます。前半は 8, 6, 4, 2, 0 の和で20です。後半は初項2、末項 2n − 10、項数 n − 5 の等差数列です。

Sₙ = 20 + (n - 5){2 + (2n - 10)}/2
= 20 + (n - 5)(n - 4)
= n² - 9n + 40

よって、1 ≤ n ≤ 5 では 9n − n²、n ≥ 6 では n² − 9n + 40 です。n = 1 では8、n = 5 では20、n = 6 では22となり、元の項を順に足した結果と一致します。0の項を後半へ移す方法でも同じ値になります。ただし、各範囲の端と項数も一緒に変える必要があります。

この問題で後半の公式を n = 1 に代入すると32になり、第1項の8と一致しません。後半の計算は第6項が存在する場合に作ったためです。式が完成していても、作ったときの条件を外して使うことはできません。

発展例題：文字が動くと負の項の数も変わる

実数 t に対し、T = Σ[k=1..4] |k − t| を t の区間ごとの式で表します。各区間の端も含めて指定します。

各項の中身は 1 − t, 2 − t, 3 − t, 4 − t です。t が整数を越えるたびに、負になる項が1つ増えます。t がちょうど整数なら対応する項は0です。0はどちらの側に入れても値が同じなので、次のように重なりのない区間で扱えます。

まず t ≤ 1 なら、4項とも0以上です。

T = (1 - t) + (2 - t) + (3 - t) + (4 - t)
= 10 - 4t

1 < t ≤ 2 なら、1 − t だけが負です。2 − t は端の t = 2 で0になります。

T = (t - 1) + (2 - t) + (3 - t) + (4 - t)
= 8 - 2t

2 < t ≤ 3 なら、最初の2項の符号を反転します。

T = (t - 1) + (t - 2) + (3 - t) + (4 - t)
= 4

3 < t ≤ 4 なら、最初の3項の符号を反転します。

T = (t - 1) + (t - 2) + (t - 3) + (4 - t)
= 2t - 2

最後に t > 4 なら、4項とも負です。

T = (t - 1) + (t - 2) + (t - 3) + (t - 4)
= 4t - 10

例えば境界 t = 2 では、元の4項は 1, 0, 1, 2 で和は4です。前の区間の式も次の区間の式も、その境界に代入すれば4になります。t = 1, 3, 4 についても、隣り合う式の値が一致します。ただし区間を記す際には端を片方に所属させ、答えの範囲に穴を作らないようにします。

文字 t が項番号そのものとは限らないことにも注意します。t = 2.5 なら、k が1と2の項の中身が負で、k が3と4の項は正です。負の項は2.5個ではなく2個です。t が範囲の外にある場合も含めて考えると、全項が同符号になる両端の区間を落とさずに済みます。

誤答をほどく：和の絶対値と項の絶対値

次の式を考えます。Σ[k=1..4] |2k − 5| に対して、先に中身を足して |Σ[k=1..4] (2k − 5)| = 0 とする答えは誤りです。中身は -3, -1, 1, 3 なので、正負が相殺されて0になっただけです。

図3のように、絶対値を各項につける位置と、和全体につける位置を分けて読みます。元の式に戻れば次の計算です。

|-3| + |-1| + |1| + |3|
= 3 + 1 + 1 + 3
= 8

中身がすべて同じ符号なら、各項を絶対値にして足した値と、和の絶対値が一致します。しかし正と負が混ざるこの例では一致しません。まず縦線が各項を囲んでいるか、和全体を囲んでいるかを見てください。

もう1つの失敗は、0の項を分け目の両側に書き、項数まで二重に数えることです。0自体を2回足しても数値は変わりませんが、その後に等差数列の和の公式へ誤った項数を入れると、初項と末項の対応が崩れます。各番号を1回ずつ割り当て、区間の項数を足して元の項数になるか確かめます。

練習問題

次の5問は、それぞれ指定した形で答えてください。和の添字は記された範囲の整数です。

1. Σ[k=1..6] |2k − 5| を整数で求めます。
2. Σ[k=1..7] |12 − 3k| を整数で求めます。
3. 自然数 n に対して、Σ[k=1..n] |k − 4| を n の式で表し、各式の適用範囲を示します。
4. 実数 a に対して、|1 − a| + |3 − a| + |5 − a| を a の区間ごとの式で表します。
5. 自然数 n に対し、Σ[k=1..n] |2k − 9| = 25 を満たす n をすべて整数で求めます。

解答と解き方

1. 中身は k = 5/2 で0なので、k = 1, 2 では負、k = 3, 4, 5, 6 では正です。

Σ[k=1..6] |2k - 5|
= 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7
= 20

元の中身は -3, -1, 1, 3, 5, 7 です。各項の絶対値を足して20になることと、項が6個あることを確認します。

2. 中身は k = 4 で0です。係数が負なので、k = 1, 2, 3 では正、k = 5, 6, 7 では負です。0の項は1回書きます。

Σ[k=1..7] |12 - 3k|
= 9 + 6 + 3 + 0 + 3 + 6 + 9
= 36

元の中身は 9, 6, 3, 0, -3, -6, -9 です。負の係数では後ろ側の符号を反転することを、直接代入して確認できます。

3. k = 4 の項は0です。1 ≤ n ≤ 4 では、

Σ[k=1..n] |k - 4|
= Σ[k=1..n] (4 - k)
= 4n - n(n + 1)/2
= n(7 - n)/2

n ≥ 5 では第4項までの和が 3 + 2 + 1 + 0 = 6、残りは 1 から n − 4 までの和です。

Σ[k=1..n] |k - 4|
= 6 + (n - 4)(n - 3)/2
= (n² - 7n + 24)/2

n = 4 で6、n = 5 で7です。元の列 3, 2, 1, 0, 1 の部分和とも一致します。n = 1 では3となり、初項も合います。

4. 切替点は a = 1, 3, 5 です。それぞれの中身について符号を見ます。

a ≤ 1:       (1 - a) + (3 - a) + (5 - a) = 9 - 3a
1 < a ≤ 3:   (a - 1) + (3 - a) + (5 - a) = 7 - a
3 < a ≤ 5:   (a - 1) + (a - 3) + (5 - a) = a + 1
a > 5:       (a - 1) + (a - 3) + (a - 5) = 3a - 9

a = 3 を元の式に入れると 2 + 0 + 2 = 4 です。両隣の式も4を与えます。同様に a = 1, 5 でも隣の式と元の和が一致します。

5. 中身が0になる位置は 9/2 で、k = 1から4までは負、5以降は正です。第4項までの和は 7 + 5 + 3 + 1 = 16 です。n ≤ 4 の部分和は16以下なので25にはなりません。n ≥ 5 では、後半の初項は1、末項は 2n − 9、項数は n − 4 です。

Σ[k=1..n] |2k - 9|
= 16 + (n - 4){1 + (2n - 9)}/2
= 16 + (n - 4)²

これを25と置きます。

(n - 4)² = 9
n - 4 = 3 または -3
n = 7 または 1

ここで使った式の条件 n ≥ 5 に合うのは n = 7 です。除かれた n = 1 は元の和では7なので、25を満たしません。n = 7 を戻すと 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 = 25 です。したがって答えは n = 7 です。

手元に残す要点

• 中身が0になる位置を求め、自然数の項番号と照らします。
• 0の項はどちらか一方に置き、範囲と項数をそろえます。
• 係数が負や0の場合は、符号の向きや割り算を改めて確認します。
• 文字の区間と末項の位置を、求めた式の適用条件に添えます。

計算が止まったら、まず境界の前後の番号を1つずつ代入します。そこで符号が合っているのに和がずれるなら、区切った両側の項数と末項を調べます。個別指導で答案を見直す際も、どの番号からどの番号までを一つの和にしたかを声に出して確かめると、最初にずれた箇所を探せます。絶対値の和は、各項の符号を確かめたところから動き出します。