高校数学B 等差数列と等比数列の積の和—公比をかけた式をずらして差を取る｜武蔵野個別指導塾

公比をかけた和の引き算で残る末項と、公比1の別計算から積の和を読み解きます。

よくあるのは、高2の高校生が等比数列の公比をかけて式をずらしたとき、最後にはみ出した項を書き落とすという場面です。途中の項が整然と並ぶので、端まで消えたように見えるかもしれません。しかし、ずらした後の式には元の和にはなかった項が現れます。両端を先に書き、同じ指数の列をそろえて引けば、その項の居場所が見えます。

どの形ならずらせるか

例えば、自然数 n までの和 Σ[k=1..n] k・rᵏ を求める問題では、係数 1, 2, 3, … と指数が同時に進みます。項全体の比は一定ではないため、そのまま等比数列の和の公式に入れることはできません。公比 r をかけて指数を1つ進めると、対応する係数の差が一定になります。

別の問われ方として、係数が 2k+1 のような一次式の場合もあります。公差は 2 なので、引き算後に中間に残る係数は 2 です。また、文字 r を含む式では、途中で 1-r を分母に置く前に r=1 を分けます。r=1 のときは指数部分がすべて 1 となり、残った等差数列を直接足します。

有限個の項を扱うので、r が負でも差を取る操作は使えます。r=0 も定義した指数が正なら計算できますが、0乗を含む表示では最初の項を直接確認します。以下では n を自然数とし、指数を k-1 とした形で考えます。

同じ指数の下に項を置く

初項 a、公差 d の等差数列と、初項 1、公比 r の等比数列の積を考えます。第 k 項は (a+(k-1)d)r の k-1 乗です。r=0 でも第1項の等比部分は初項 1 と定め、第2項以降は 0 です。和を Sₙ とすると、図1のように rSₙ は指数が1つ右に移ります。

図1では Sₙ の最初と rSₙ の最後に、引き算の相手がありません。中間は同じ指数で係数を引き、d ずつ残ります。n≥2 なら、式は次のようになります。

Sₙ = a + (a+d)r + … + (a+(n-1)d)rⁿ⁻¹
rSₙ = ar + (a+d)r² + … + (a+(n-1)d)rⁿ
(1-r)Sₙ = a + d(r + r² + … + rⁿ⁻¹) - (a+(n-1)d)rⁿ

最後の負の項は rSₙ 側にはみ出た項です。n=1 では中間の和はなく、右辺は a-ar です。r≠1 なら両辺を 1-r で割れます。さらに中間の等比和を使うと、n≥2 で次のように表せます。

r + r² + … + rⁿ⁻¹ = r(1-rⁿ⁻¹)/(1-r)
Sₙ = a/(1-r) + dr(1-rⁿ⁻¹)/(1-r)² - (a+(n-1)d)rⁿ/(1-r)

この式は n=1 に代入しても S₁=a となります。ただし r=1 には使えません。その場合は初項 a、末項 a+(n-1)d の等差数列の和なので、Sₙ=n(2a+(n-1)d)/2 です。公式を暗記するより、ずらした式を書いて端を拾う方が係数の違う問題にも対応できます。

等比部分の初項が 1 以外のときは、その初項を和全体にかけても同様に処理できます。初項が c なら、各項が上の式の c 倍です。c=0 なら元の項はすべて 0 なので、和も 0 です。項全体の比を求めようとして係数で割る必要はありません。係数に 0 が現れる場合でも、隣り合う係数の差は一定であり、列ごとの引き算はそのまま成り立ちます。

端の確認には、最初に n=1 を入れる方法もあります。この場合は中間の項が存在しないため、初項とずらした末項の2つだけが残ります。n=2 では中間が1列だけになるので、公差と符号を読み違えていないか調べられます。どちらも検算であり、一般の n に対する証明は同じ指数の列を引く式にあります。

基本例題：係数が1ずつ増える和

自然数 n に対し、Sₙ=1+2・2+3・2²+…+n・2ⁿ⁻¹ を n の式で求めてください。答えは整数係数の式で表します。初項の係数は 1、公差は 1、公比は 2 です。2≠1 ですから、引き算後に 1-2 で割れます。

図2のように、2Sₙ の最初の項を Sₙ の2列目にそろえ、最後の n・2ⁿ も書きます。指数が一致した列で係数を引きます。

Sₙ = 1 + 2・2 + 3・2² + … + n・2ⁿ⁻¹
2Sₙ =     1・2 + 2・2² + … + (n-1)・2ⁿ⁻¹ + n・2ⁿ
-Sₙ = 1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ⁻¹ - n・2ⁿ

残った等比和は初項 1、公比 2、項数 n です。公比は 1 でないので、その和は 2ⁿ-1 です。

-Sₙ = (2ⁿ-1) - n・2ⁿ
Sₙ = (n-1)・2ⁿ + 1

n=1 では元の和は 1、答えも 1 です。n=2 では元の和は 1+4=5、答えも 5 です。この確認は端の間違いを見つける助けですが、すべての n での成立は上の引き算によって示されています。中間の列がない n=1 でも、最初と最後を引く式は成立します。

標準例題：公差が1ではない場合

自然数 n に対し、Tₙ=Σ[k=1..n] (3k+1)・3ᵏ⁻¹ を n の式で求めてください。答えは分数を用いて表します。係数は 4, 7, 10, … で公差 3、公比は 3 です。3≠1 を確認してから式を引きます。

Tₙ = 4 + 7・3 + 10・3² + … + (3n+1)・3ⁿ⁻¹
3Tₙ =     4・3 + 7・3² + … + (3n-2)・3ⁿ⁻¹ + (3n+1)・3ⁿ
-2Tₙ = 4 + 3(3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹) - (3n+1)・3ⁿ

n≥2 のとき、かっこの中は初項 3、公比 3、項数 n-1 の等比和です。n=1 ではその部分を 0 として、同じ結果が成り立ちます。

3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = (3ⁿ-3)/2
-2Tₙ = 4 + 3(3ⁿ-3)/2 - (3n+1)・3ⁿ
-4Tₙ = -1 + (1-6n)・3ⁿ
Tₙ = ((6n-1)・3ⁿ+1)/4

元の条件へ戻すと、n=1 の和は 4、式も (5・3+1)/4=4 です。n=2 の和は 4+7・3=25、式も (11・9+1)/4=25 です。係数の差を 1 と決めつけると、この例では中間の 3 を失います。

発展例題：公比を文字のまま扱う

実数 r と自然数 n に対し、Uₙ=Σ[k=1..n] k・rᵏ⁻¹ を求めてください。r=1 と r≠1 に分け、n と r の式で答えます。初項の等比部分は 1 とします。したがって r=0 では第1項が 1、以後は 0 です。

r≠1 のとき、同じ指数をそろえて引きます。

Uₙ = 1 + 2r + 3r² + … + nrⁿ⁻¹
rUₙ =    r + 2r² + … + (n-1)rⁿ⁻¹ + nrⁿ
(1-r)Uₙ = 1 + r + r² + … + rⁿ⁻¹ - nrⁿ
(1-r)Uₙ = (1-rⁿ)/(1-r) - nrⁿ
(1-r)²Uₙ = 1-rⁿ-nrⁿ(1-r)
Uₙ = (1-(n+1)rⁿ+nrⁿ⁺¹)/(1-r)²

最後の分母は r≠1 なので 0 ではありません。r=0 なら答えは 1 で、元の和と一致します。負の r でも有限和の変形は成立し、符号は累乗ごとに保ちます。n=1 なら分子が (1-r)² となり、答えは 1 です。

r=1 のときは割り算を使わずに計算します。

Uₙ = 1 + 2 + … + n
Uₙ = n(n+1)/2

この分岐は計算の途中で分母が 0 になるのを避けるためです。r=1 を除いた式にそのまま 1 を入れても値は出ません。別の方法として、最初から係数と等比部分を並べて引けば、一般公式を覚えていなくても解けます。

末項が消えた答案を直す

基本例題で、引き算の結果を「-Sₙ=1+2+…+2ⁿ⁻¹」とした答案を考えます。これは図3の右端にある n・2ⁿ を落としています。2Sₙ の最後は Sₙ の最後に 2 をかけた項であり、対応する Sₙ の項がないため、引き算では負の符号をつけて残ります。

図3のように右端まで列を延ばし、空欄を 0 と見て引くと、0-n・2ⁿ です。修正後は -Sₙ=1+2+…+2ⁿ⁻¹-n・2ⁿ となります。n=1 で誤答を試すと -S₁=1、つまり S₁=-1 となり、元の初項 1 と合いません。端の確認で失敗が見つかります。

もう一つの誤りは、r=1 を発展例題の分母 (1-r)² に代入することです。これは 0 で割る操作になるため、式の値を決められません。元の和へ戻って 1 から n まで足せば、n(n+1)/2 が得られます。公比が 0 の場合も、最初の項まで 0 としないよう初項の定義に戻ります。

練習問題

各問の和は有限和とし、n は自然数です。答えは指定された形で表してください。

1. Aₙ=Σ[k=1..n] k・4ᵏ⁻¹ を n の式で求めてください。分数を用いて表します。
2. Bₙ=Σ[k=1..n] (2k+3)・2ᵏ⁻¹ を n の式で求めてください。整数係数の式で表します。
3. Cₙ=Σ[k=1..n] k・(-1)ᵏ⁻¹ を n の偶奇で分け、整数式で求めてください。
4. Dₙ=Σ[k=1..n] (5-k)・rᵏ⁻¹ を実数 r について求めてください。r=1 と r≠1 に分け、分数を用いて表します。等比部分の初項は 1 とします。
5. E=Σ[k=1..5] (k+2)・(1/2)ᵏ⁻¹ を既約分数で求めてください。

練習問題の解答と解き方

1

公比 4 は 1 ではありません。指数をそろえ、右端の n・4ⁿ を残します。

-3Aₙ = 1 + 4 + … + 4ⁿ⁻¹ - n・4ⁿ
-3Aₙ = (4ⁿ-1)/3 - n・4ⁿ
Aₙ = ((3n-1)・4ⁿ+1)/9

n=1 では元の和も答えも 1、n=2 では 1+8=9 です。式に 2 を入れても 9 となります。

2

係数は 5, 7, … で公差 2 です。公比 2 をかけて引くと次のようになります。

-Bₙ = 5 + 2(2 + … + 2ⁿ⁻¹) - (2n+3)・2ⁿ
-Bₙ = 5 + 2(2ⁿ-2) - (2n+3)・2ⁿ
Bₙ = (2n+1)・2ⁿ - 1

n=1 では 5、n=2 では 5+7・2=19 です。答えにそれぞれを代入しても同じ値です。n=1 の中間の和は 0 と読みます。

3

隣り合う2項を組にすると、1-2=-1、3-4=-1 と各組の和が -1 です。n=2m のとき m 組、n=2m-1 のとき m-1 組と最後の正の項 2m-1 が残ります。

C₂ₘ = -m
C₂ₘ₋₁ = -(m-1) + (2m-1)
C₂ₘ₋₁ = m

したがって偶数 n では -n/2、奇数 n では (n+1)/2 です。n=1 で 1、n=2 で -1 となり、元の和に戻ります。負の公比でも符号を含めて列をそろえれば、ずらす方法で同じ答えを得られます。

4

係数の初項は 4、公差は -1 です。r≠1 では次の通りです。

(1-r)Dₙ = 4 - (r + … + rⁿ⁻¹) - (5-n)rⁿ
(1-r)Dₙ = 4 - r(1-rⁿ⁻¹)/(1-r) - (5-n)rⁿ
Dₙ = (4-5r+(n-4)rⁿ+(5-n)rⁿ⁺¹)/(1-r)²

r=1 では等差数列として直接足します。

Dₙ = n(4+(5-n))/2
Dₙ = n(9-n)/2

r=0 では元の初項 4 が残り、上の r≠1 の式も 4 です。n=1 でも元の和と両方の分岐が 4 に戻ります。

5

係数の初項は 3、公差は 1、公比は 1/2 です。5項なので、ずらした最後は 7・(1/2)⁵ です。

E/2 = 3/2 + 4/4 + 5/8 + 6/16 + 7/32
E - E/2 = 3 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 - 7/32
E/2 = 119/32
E = 119/16

元の5項を通分すると (48+32+20+12+7)/16=119/16 です。ずらした式から得た値と一致します。分母をそろえる際には、最後の項を引く符号にも注意します。

持ち帰る要点

• 公比をかけ、同じ指数の列をそろえます。
• 引き算では最初と、ずらした最後の項が残ります。
• 中間の係数は元の等差数列の公差です。
• r=1 は元の等差和に戻して計算します。
• n=1 や r=0 を元の定義と照合します。

手が止まった場所を見つける

個別指導で確かめるなら、まず公比をかけた行の最初の項が、元の行のどの指数の下に来るかをたずねます。次に右端まで列を延ばして、相手のない項にどの符号がつくかを一緒に追います。式が合わなければ、項数を小さくして元の和を直接足し、最初に異なる列を探します。

文字の公比で止まったときは、分母に現れる 1-r が 0 かどうかを先に確認します。係数が減る場合は公差が負になることも、隣接する係数を引いて確かめます。端の項と公差がそろえば、積の和は有限の等比和へとほどけます。