高校数学B 根号を含む数列の和—有理化した隣接項の差から端の値を取り出す｜武蔵野個別指導塾

分母の根号和を有理化し、符号と両端を手がかりに有限個の項を足して求める根号和です。

よくあるのは、高2の高校生が分母を有理化した後、根号の差の符号を逆にしたり、最後に残る根号を取り違えたりする場面です。各項を正しく変形しても、足し合わせる順序を見失うと答えが変わります。根号の中が非負か、元の分母が0でないかを先に調べ、最初と最後の項を並べて確かめましょう。扱うのは項数が有限の和です。

どの形を見て、何を求めるか

根号を含む数列の和では、例えば次のように問われます。いずれも、和を計算する前に各項の分母を見ます。

• 根号の和を分母に持つ数列について、初項から指定された項までの和を求める。
• 途中の項から始まる有限和を求め、最初と最後に残る根号を示す。
• 隣り合う番号より間隔の広い根号の和を変形し、消えずに残る複数の端を求める。

最初の型では、有理化すると隣り合う根号の差が現れるかを調べます。途中から始まる型では、初項がもとの数列の第1項とは限りません。間隔が広い型では、1つずつ消えると思い込まず、実際に項を並べます。

ここでいう和は、指定された整数の番号に対応する項を1つずつ足したものです。n を自然数とするとき、最初の項から第n項までなら n 個です。最初の番号や最後の番号が文字の場合も、どこで始まりどこで終わるかを式に戻して確認します。根号の形が似ているだけで相殺できるとは限らず、符号が反対で同じ値の項が対になって初めて消えます。

根号の和を差に直す理由

実数 A、B が A ≧ 0、B ≧ 0 を満たし、√A + √B が0でないとします。和と差の積を使うと、次の等式が成り立ちます。

(√A + √B)(√A - √B) = A - B

さらに A ≠ B なら、√A − √B も0ではありません。したがって、分母と分子にこの差をかけて次のように変形できます。

1/(√A + √B)
= (√A - √B)/((√A + √B)(√A - √B))
= (√A - √B)/(A - B)

A > B なら分子も分母も正です。A < B なら両方が負なので、元の正の値と矛盾しません。差を逆向きに書くなら、分母の差も同時に逆向きにします。分子の順番だけを入れ替えると符号が反転します。

一方、A = B > 0 なら元の分母は0ではありませんが、上の最後の式は分母が0になるため使えません。この場合は元の式を 1/(2√A) と扱います。A = B = 0 なら元の分母自体が0なので、その項は定義されません。変形後の式を見る前に、元の式が意味を持つかを判定する理由がここにあります。

特に k を自然数とし、根号の中が k と k + 1 なら、どちらも正で差は1です。各項は次の形になります。

1/(√(k + 1) + √k)
= √(k + 1) - √k

右辺は2つの隣接する根号の差です。図1のように正の項と負の項を縦に見比べると、中ほどの根号が対になり、始まりと終わりが残ります。

図1では √2、√3 がそれぞれ正と負で現れます。最初の負の根号と最後の正の根号には相手がありません。例えば番号が1から n までなら、有限個の差を並べた結果は √(n + 1) − 1 です。n = 1 では消える中間項はなく、この式は元の1項にそのまま一致します。数例の一致が理由ではなく、各中間項が反対符号で1回ずつ現れることが理由です。

基本例題：初めから順に足す

問題　数列 aₖ = 1/(√(k + 1) + √k) の初項から第8項までの和を求め、整数で答えてください。k は1以上の整数です。

k ≧ 1 より、k と k + 1 は正で、元の分母は正です。また根号の中の差は1なので、有理化した分母も0になりません。まず第k項を変形します。

aₖ = 1/(√(k + 1) + √k)
   = (√(k + 1) - √k)/((k + 1) - k)
   = √(k + 1) - √k

始めと終わりの番号を代入し、和を S と置きます。

S = a₁ + a₂ + a₃ + … + a₈
  = (√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + … + (√9 - √8)
  = √9 - 1
  = 3 - 1
  = 2

図2のように、途中の根号には反対符号の相手があります。√8 は第7項の正の部分と第8項の負の部分で消えますが、√9 はその次の項を足していないので残ります。答えは 2 です。

図2の両端を元の条件へ戻してみます。第1項は √2 − 1、第8項は √9 − √8 です。途中の正の √2 から √8 までが次の項の負の部分と消えるため、8項を足した結果が 2 になります。最後の √9 は項番号8に1を足した数の根号であり、項番号と根号の中の数を同じにしないことが要点です。

標準例題：途中からの和を取る

問題　整数 k が 4 ≦ k ≦ 12 のとき、bₖ = 3/(√(k + 2) + √(k + 1)) とします。b₄ から b₁₂ までの和を根号を含む式で求めてください。

各根号の中は正で、元の分母は正です。根号の中の差は1なので、分母と分子に差をかけます。

bₖ = 3(√(k + 2) - √(k + 1))/((k + 2) - (k + 1))
   = 3(√(k + 2) - √(k + 1))

k = 4 のとき最初の負の部分は -3√5、k = 12 のとき最後の正の部分は 3√14 です。S を求める和とします。

S = 3(√6 - √5) + 3(√7 - √6) + … + 3(√14 - √13)
  = 3(√14 - √5)
  = 3√14 - 3√5

答えは 3√14 − 3√5 です。元の指定に戻すと、最初の番号は4、最後は12で、項数は 12 − 4 + 1 = 9 です。最後に √14 があるのは、最後の項の k + 2 に12を入れるからです。始点の √5 も、もとの数列の第1項に戻さず、k = 4 の負の部分から読み取ります。

別の方法として、第1項から第12項までの和から、第1項から第3項までの和を引く方法もあります。この式は k ≧ 1 でも分母が正で定義されるので、それらの和を考えられます。ただし問題の定義が 4 ≦ k ≦ 12 に限られるときは、範囲外の項を勝手に元の数列の項として扱えません。ここでは指定範囲内の項を直接並べる方法で答えました。

発展例題：間隔が2のとき

問題　自然数 n に対し、次の有限和 Tₙ を n の式で求めてください。

Tₙ = Σ[k=1..n] 2/(√(k + 2) + √k)

どの k でも k と k + 2 は正なので、元の分母は正です。根号の中の差は2で、0ではありません。分子の2と有理化した分母の2が消えます。

2/(√(k + 2) + √k)
= 2(√(k + 2) - √k)/((k + 2) - k)
= √(k + 2) - √k

隣接する項どうしは直接には消えません。正の √(k + 2) は、番号が2つ後の項の負の部分と対応します。n ≧ 2 では正の部分と負の部分をそれぞれ並べてみます。

Tₙ = (√3 + √4 + … + √(n + 2)) - (√1 + √2 + … + √n)
   = √(n + 1) + √(n + 2) - 1 - √2

n = 2 では中間で消える項がなく、上式は √3 + √4 − 1 − √2 を表します。n = 1 のときは元の和が1項なので、別に代入して確かめます。

T₁ = 2/(√3 + 1)
   = √3 - 1

求めた式に n = 1 を入れると、√2 + √3 − 1 − √2 = √3 − 1 となり、元の1項と一致します。したがって答えは n ≧ 1 で √(n + 1) + √(n + 2) − 1 − √2 です。間隔が2のため、両端に2つずつ根号が残ります。途中が消える説明は n ≧ 2 の並びに基づき、n = 1 は別に扱ったことに注意してください。

符号と端を取り違えたら

基本例題で、次のように有理化する誤答を考えます。

1/(√(k + 1) + √k) = √k - √(k + 1)

左辺は正ですが、右辺は負です。この時点で等式は成り立ちません。分子を √k − √(k + 1) とするなら、積から出る分母も k − (k + 1) = -1 にする必要があります。分子だけを逆順にして分母を1のままにしたことが誤りです。

図3のように、正しい変形では大きい根号を先に書き、初めの負と終わりの正を残します。符号を直した後も、和の末尾を √8 としてしまう誤りがあります。第8項は √9 − √8 ですから、√8 には前の項の正の √8 が対応し、残るのは √9 です。

図3の始点と終点を、第1項と第8項に代入して確かめましょう。相殺を急いで両端まで消すと、正の項を8個足した和が0になります。各項の符号と端の項を元の式へ戻す確認は、こうした計算の破綻を見つける手がかりです。

練習問題

いずれも自分で有理化し、求める範囲を並べてから答えてください。根号の中は問題の範囲で非負であり、分母が0でないことも確かめましょう。

1. k を1以上の整数とします。1/(√(k + 1) + √k) を k = 1 から k = 15 まで足した和を整数で求めてください。
2. k を整数とし 6 ≦ k ≦ 10 とします。2/(√(k + 1) + √k) の和を、根号を含む式で求めてください。
3. n を自然数とします。Σ[k=1..n] 1/(√(k + 3) + √(k + 2)) を n の式で求めてください。
4. k を整数とし 2 ≦ k ≦ 5 とします。3/(√(k + 3) + √k) の和を、根号を含む式で求めてください。
5. 正の整数 m に対して、Σ[k=1..m] 1/(√(k + 1) + √k) = 4 が成り立つとします。m を整数で求め、元の和の条件に戻して確かめてください。

練習問題の答えと道筋

1の答え

各 k は正なので元の分母は正で、根号の中の差は1です。最初と最後を明記します。

Σ[k=1..15] 1/(√(k + 1) + √k)
= Σ[k=1..15] (√(k + 1) - √k)
= √16 - 1
= 4 - 1
= 3

答えは 3 です。最後の項は √16 − √15 なので、指定された15項の末尾まで含まれています。

2の答え

6 ≦ k ≦ 10 では各根号の中は正です。2を各差の外に出し、始めと終わりを代入します。

Σ[k=6..10] 2/(√(k + 1) + √k)
= 2Σ[k=6..10] (√(k + 1) - √k)
= 2(√11 - √6)
= 2√11 - 2√6

答えは 2√11 − 2√6 です。元の5項の初めは 2(√7 − √6)、終わりは 2(√11 − √10) となり、残る端が一致します。

3の答え

自然数 k に対して根号の中は正で、その差は1です。n = 1 の場合も含め、最初の負の部分は -√3 です。

Σ[k=1..n] 1/(√(k + 3) + √(k + 2))
= Σ[k=1..n] (√(k + 3) - √(k + 2))
= √(n + 3) - √3

答えは n ≧ 1 で √(n + 3) − √3 です。n = 1 では √4 − √3 となり、元の1項を有理化した結果に一致します。

4の答え

根号の中の差は3で、範囲内の元の分母は正です。差が3のため、3つ後の項との対応を調べます。

Σ[k=2..5] 3/(√(k + 3) + √k)
= Σ[k=2..5] (√(k + 3) - √k)
= (√5 - √2) + (√6 - √3) + (√7 - √4) + (√8 - √5)
= √6 + √7 + √8 - √2 - √3 - √4
= √6 + √7 + 2√2 - √2 - √3 - 2
= √6 + √7 + √2 - √3 - 2

答えは √6 + √7 + √2 − √3 − 2 です。指定された4項を並べると √5 が正負で1組でき、それ以外は式に残ります。√8 = 2√2、√4 = 2 も使って整理しました。

5の答え

m は正の整数なので各項は定義され、有限和を差に直せます。求めた m が自然数か、最後に元の条件を満たすかも調べます。

√(m + 1) - 1 = 4
√(m + 1) = 5
m + 1 = 25
m = 24

答えは 24 です。逆に m = 24 とすると、元の24項の和は √25 − 1 = 4 です。正の平方根を使っているので、途中で √(m + 1) = -5 とする必要はありません。

持ち帰る要点

• 元の根号の中が非負で、分母が0でないことを先に確かめます。
• 根号和と根号差の積は、根号の中の数の差です。
• 差の順序を逆にするときは、分母の符号も変えます。
• 指定された最初と最後の項を代入し、消えない端を拾います。
• 間隔が2以上なら、何項先と相殺するかを並べて確認します。

どこで止まったかを見分ける

有理化した式が負になった場合は、元の各項が正かどうかと、分子・分母の差の順番を見比べます。和の答えが合わない場合は、途中を消す前に最初と最後の項を書き出し、指定された番号を入れたかを確かめます。根号の間隔が広い場合は、隣の項ではなく何項後に同じ根号が現れるかを指で追うと、残る端の個数を判断できます。

個別指導で確かめるなら、どの添字を入れた行から式が変わったかを、途中式とともに示してください。正しい答えにたまたま届いた場合も、分母が0にならない理由と n = 1 の扱いを説明できるかを確認します。根号の和は、符号と端を元の項に戻して検証できます。