高校数学B 逆数で解く漸化式—分母と項の非零を確かめて一次の形に変換する｜武蔵野個別指導塾

逆数を取る前に分母と項の非零を調べ、変換後の候補が0になる位置から、数列を続けられない初期値を見つけます。

よくあるのは、高2の高校生が分数の形を見てすぐに逆数を取り、項が0でない証明を置き忘れる場面です。式が簡単になる見通しは正しいのですが、逆数が存在しない項を途中に含むと、その変形は使えません。分母が0にならず次の項を作れることと、作った項が0でなく逆数を取れることは別々に確かめます。ここでは隣り合う2項を結ぶ分数形に絞り、初期値から一般項までの道筋を追います。

要点（結論から）

• 元の分母が非零であることと、項が非零であることを別々に確かめます。
• 逆数の一次式を解いた後、逆数が0にならない範囲で元に戻します。
• 初項0と途中で分母が0になる初期値を調べ、元の式へ答えを代入します。

どこを問われるか

まず、初項と漸化式が与えられ、すべての自然数 n に対する一般項を求める問いがあります。この場合は答えの式を書くだけでなく、各段階で分母が0にならないことも示します。初項が正で分母も正なら、正であることを順に引き継ぐ方法が使えます。

次に、初項を文字で与え、どの値なら数列を続けられるかを問う場合があります。逆数にした式がある番号で0になると、元の項の逆数としては成り立ちません。その番号は、元の漸化式のどの分母が0になるかと対応させて調べます。初項0は逆数にできないため、最初から別に調べます。

もう一つは、候補の式が与えられ、その式が元の条件を満たすか確かめる問いです。初項と漸化式の両方が必要です。数項が一致したことは発見の手掛かりにはなりますが、すべての自然数に対する証明にはなりません。

逆数へ渡すための条件

自然数 n に対し、実数の数列が次の形で与えられるとします。

aₙ₊₁ = aₙ/(p + q aₙ)

ここで p、q は定数です。右辺を使うには p + q aₙ ≠ 0 が必要です。さらに aₙ ≠ 0 なら、分子も分母も0でないので aₙ₊₁ ≠ 0 です。この2つが確保された段階で bₙ = 1/aₙ と置くと、次の変形ができます。

bₙ₊₁ = 1/aₙ₊₁
       = (p + q aₙ)/aₙ
       = p bₙ + q

逆数にすると、分母の一次式が bₙ の一次式に変わります。図1のように、元の式の分母と項の非零を確認してから矢印を渡ります。逆方向では bₙ ≠ 0 を確認して aₙ = 1/bₙ に戻します。

図1の確認は飾りではありません。たとえば aₙ = 0 なら、p ≠ 0 のとき元の次の項は0ですが、その項の逆数は存在しません。また p = 0、q ≠ 0 で非零の初項から始めると、次項以降は 1/q です。この場合も逆数の式は使えますが、0で割る操作がないかを先に調べます。

逆数の式が bₙ₊₁ = p bₙ + q になった後は、p = 1 と p ≠ 1 を分けます。p = 1 なら差が q の等差数列です。p ≠ 1 なら c = q/(1 − p) と置くことで、bₙ₊₁ − c = p(bₙ − c) となり、差が等比数列になります。公比 p が0のときは、初項から次項への変化を直接確認すると安全です。

非零の確認には数学的帰納法が使えます。初項が正で、正の項から作った分母も正、さらに次項も正と示せれば、すべての自然数の項が正です。一方、符号が変わりうる問題では、正であると決めつけず、逆数の候補が0になる番号を調べ、元の式へ戻して定義の成否を点検します。候補の導出で逆数を使った場合、候補が非零であることと元の式への代入を最後に示せば、存在の証明を閉じられます。

基本例題：正の項を引き継ぐ

初項 a₁ = 2、自然数 n に対して aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) とします。一般項を n の式で求め、すべての自然数 n について答えてください。

まず a₁ = 2 > 0 です。aₖ > 0 と仮定すると、1 + 3aₖ > 0 なので右辺は定義され、aₖ₊₁ > 0 です。よって帰納法により、すべての自然数 n で aₙ > 0 かつ次の項を作る分母も正です。ここで bₙ = 1/aₙ と置けます。

bₙ₊₁ = (1 + 3aₙ)/aₙ
       = bₙ + 3
b₁ = 1/2
bₙ = 1/2 + 3(n - 1)
   = (6n - 5)/2
aₙ = 2/(6n - 5)

最後の分母は n ≥ 1 で正です。図2のように、元の項を逆数に移すと差が3の数列になり、戻した値も正です。

図2の最初の2組を直接確かめます。元の式から a₂ = 2/(1 + 6) = 2/7、次に a₃ = (2/7)/(1 + 6/7) = 2/13 です。求めた式に n = 1、2、3 を入れた値と一致します。一般の n でも分母は正で、

aₙ/(1 + 3aₙ)
= {2/(6n - 5)}/{1 + 6/(6n - 5)}
= 2/(6n + 1)
= aₙ₊₁

となるため、元の条件に戻せます。個別の項の照合は計算の点検であり、全体の正しさは非零の証明と一般の式の確認で支えられます。

標準例題：定数を引いて等比形にする

初項 a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ/(2 + aₙ) とします。すべての自然数 n の一般項を n の式で求めてください。

初項は正です。aₖ > 0 なら 2 + aₖ > 0 であり、aₖ₊₁ > 0 です。帰納法により各項と各分母は正なので、bₙ = 1/aₙ と置きます。

bₙ₊₁ = 2bₙ + 1
bₙ₊₁ + 1 = 2(bₙ + 1)
b₁ + 1 = 2
bₙ + 1 = 2・2ⁿ⁻¹
bₙ = 2ⁿ - 1
aₙ = 1/(2ⁿ - 1)

n ≥ 1 で 2ⁿ − 1 > 0 です。初項は 1/(2 − 1) = 1 で、候補を漸化式の右辺に戻すと次の通りです。

aₙ/(2 + aₙ)
= {1/(2ⁿ - 1)}/{2 + 1/(2ⁿ - 1)}
= 1/(2・2ⁿ - 1)
= 1/(2ⁿ⁺¹ - 1)
= aₙ₊₁

ここでは bₙ 自体が等比数列なのではなく、bₙ + 1 が公比2の等比数列です。b₁ + 1 = 2 という変換後の初項も使います。別の方法として bₙ₊₁ − bₙ = bₙ + 1 と眺めることもできますが、右辺に bₙ が残るため、そのまま一定の差として足すことはできません。

発展例題：続けられない初項を探す

実数 t に対して a₁ = t、aₙ₊₁ = aₙ/(1 − 2aₙ) とします。すべての自然数 n で式が定義される t の範囲と、そのときの一般項を n と t の式で求めてください。

t = 0 なら分母は常に1で、すべての項が0です。以後 t ≠ 0 とします。定義されている非零の項について bₙ = 1/aₙ と置くと、

bₙ₊₁ = bₙ - 2
b₁ = 1/t
bₙ = 1/t - 2(n - 1)

となります。ここで bₘ = 0 となる自然数 m があれば、m = 1 は t ≠ 0 に反します。m ≥ 2 として、その直前の項まで定義できる場合、bₘ = bₘ₋₁ − 2 = 0 なので bₘ₋₁ = 2、aₘ₋₁ = 1/2 です。元の分母 1 − 2aₘ₋₁ が0になり、aₘ を作れません。実際に最初の0の位置より前では b が非零なので、その直前までは逆に元の式を構成できます。

したがって除外値は 1/t = 2(m − 1)、すなわち t = 1/(2j)（j は自然数）です。それ以外の非零の t では、どの自然数 n に対しても 1 − 2(n − 1)t ≠ 0 です。次の候補を直接代入します。

aₙ = t/{1 - 2(n - 1)t}
1 - 2aₙ = (1 - 2nt)/{1 - 2(n - 1)t}
aₙ/(1 - 2aₙ) = t/(1 - 2nt) = aₙ₊₁

候補の初項は t で、両分母は除外条件によって非零です。よって t = 0 を含め、t がどの自然数 j に対しても 1/(2j) でないときに限り、すべての項が定義されます。この範囲では上の一般項は t = 0 にも使えます。たとえば除外値 t = 1/4 では a₂ = 1/2 となり、次の分母が0です。除外しない負の t では分母は正で、各項は負のまま続きます。

誤答を修正する

基本例題と同じ式に初項 a₁ = -1/3 を入れたとします。「bₙ = 1/aₙ とすると bₙ = -3 + 3(n − 1) だから、aₙ = 1/{3(n − 2)}」と一気に書く答案には欠落があります。初項は非零ですが、元の最初の分母は 1 + 3(-1/3) = 0 です。a₂ が定義されないので、すべての自然数に対する一般項はありません。

図3のように、逆数の式で b₂ = 0 となることは、元の式では a₂ を作る直前の分母が0になることに対応します。存在しない a₂ の逆数が0であると解釈するのではありません。

図3の矢印は計算の順序も表します。初項から元の分母を調べ、0ならそこで停止します。逆数の候補を使って除外値を探す場合も、0より前の部分で変換が正当化されることと、0の直前に分母が消えることを示します。もう一つの誤りは、元の分母が非零だから項も非零と考えることです。分子が0なら次項は0なので、項の非零には分子側の確認も必要です。失敗する条件を具体的に戻すと、どの式が書けなくなったかを特定できます。

練習問題

以下の漸化式は、それぞれ右辺の分母が0でない限り次の項を定めるものとします。一般項は自然数 n の式で答えてください。

1. a₁ = 3、aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 2aₙ) の一般項を求めてください。
2. a₁ = 1/2、aₙ₊₁ = aₙ/(3 + 2aₙ) の一般項を求めてください。
3. a₁ = 0、aₙ₊₁ = aₙ/(4 − aₙ) の一般項を求めてください。
4. a₁ = 1/6、aₙ₊₁ = aₙ/(1 − 3aₙ) とします。初めて定義できなくなる項の番号を整数で求めてください。
5. 実数 s に対し a₁ = s、aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 4aₙ) とします。すべての自然数 n で定義される s の範囲と、そのときの一般項を s と n の式で求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 正の項から分母 1 + 2aₙ も次項も正なので、帰納法で各項は正です。bₙ = 1/aₙ とすると、

bₙ₊₁ = bₙ + 2
b₁ = 1/3
bₙ = 1/3 + 2(n - 1) = (6n - 5)/3
aₙ = 3/(6n - 5)

初項は3です。右辺に戻すと {3/(6n − 5)}/{1 + 6/(6n − 5)} = 3/(6n + 1) = aₙ₊₁ です。

2. 初項が正で、正の項から分母 3 + 2aₙ と次項も正です。bₙ = 1/aₙ と置けば、

bₙ₊₁ = 3bₙ + 2
bₙ₊₁ + 1 = 3(bₙ + 1)
b₁ + 1 = 3
bₙ + 1 = 3ⁿ
bₙ = 3ⁿ - 1
aₙ = 1/(3ⁿ - 1)

n ≥ 1 で分母は正です。初項は 1/2 で、元の右辺は 1/{3(3ⁿ − 1) + 2} = 1/(3ⁿ⁺¹ − 1) となります。

3. 初項0のとき分母は4で、次項も0です。同じことが繰り返されるため、帰納法で aₙ = 0 です。逆数は存在しませんが、元の式へ代入すると 0/(4 − 0) = 0 で、各分母は非零です。

4. 直接計算すると、

a₂ = (1/6)/(1 - 3/6) = 1/3
1 - 3a₂ = 0

したがって初めて定義できないのは第3項です。第2項を作る分母は 1/2 で非零ですから、そこで先に止まることはありません。

5. s = 0 では全項0です。s ≠ 0 で定義できる間、bₙ = 1/aₙ とすると、

bₙ₊₁ = bₙ + 4
bₙ = 1/s + 4(n - 1)
aₙ = s/{1 + 4(n - 1)s}

bₘ = 0 となるのは s = -1/{4(m − 1)} です。m ≥ 2 で、その直前は bₘ₋₁ = -4、aₘ₋₁ = -1/4 となり元の分母が0です。よって s = -1/(4j)（j は自然数）を除く実数が求める範囲です。この範囲では候補の分母と次の分母が非零で、

1 + 4aₙ = (1 + 4ns)/{1 + 4(n - 1)s}
aₙ/(1 + 4aₙ) = s/(1 + 4ns) = aₙ₊₁

です。初項にも戻り、s = 0 も同じ式で表せます。除外値では最初の該当位置の直前まで分母が非零であり、そこで初めて次項が作れません。

要点

• 元の分母が非零であることと、項が非零であることを別々に確かめます。
• 逆数の一次式を解いた後、逆数が0にならない範囲で元に戻します。
• 初項0と途中で分母が0になる初期値を調べ、元の式へ答えを代入します。

手が止まったときの確認

逆数を置く行に進めないときは、まず初項の符号と分母を見ます。正の項から正の項へ進むなら、初項と次への一歩を分けて書けば、帰納法の根拠が見えます。符号が一定でないときは、逆数の候補が0になる番号を探し、その直前の元の分母に戻してください。

個別指導で答案を確かめるなら、どの添字まで項が定義されていると考えたかを口に出し、最初の除算の分母を指で追います。変換後の初項、元へ戻す分母、元の漸化式への代入の順に点検すると、計算ミスと定義の欠落を区別できます。逆数に移る一歩は、存在する項から始まります。