武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学B 指数項を含む漸化式—指数で割る変換と公比が重なる場合を見分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 数列を掘り下げる

指数で割った数列の初項を求め、同じ指数を掛けて元の一般項に戻します。係数と底が等しい場合は等差数列として扱います。

よくあるのは、高2の高校生が指数で割ってできた数列の一般項を、そのまま元の数列の答えとして書く場面です。途中の式が正しくても、求めたものの名前が違えば初期値さえ合わないことがあります。割る操作は問題を見やすくするための変換です。最後には何を割ったのかを見返し、元の項を復元しましょう。

どの条件を先に読むか

例えば、初項と隣り合う項の関係から一般項を求める問いがあります。右辺に前の項の定数倍と、一定の数の n 乗が並ぶ形です。別の問いでは、指数の底と前の項にかかる係数が文字で与えられ、その値によって場合分けが必要です。また、変換後の式を提示して誤りを直す問いでは、変換前と変換後の初項の違いが焦点になります。

まず漸化式の成立範囲を読みます。以下では断りがなければ n は1以上の整数で、初項は a₁ です。aₙ₊₁ は第 n+1 項を表します。指数の底を r とするとき、r で割る方法には r ≠ 0 が必要です。負の底でも0でなければ割れますが、符号が交互に変わることを保ちます。係数 p と底 r が等しいかも先に調べます。この区別をしないまま分母に r-p を置くと、等しい場合には0で割ってしまいます。

指数の大きさをそろえる

定数 p、q と非零の定数 r に対し、次の関係を考えます。

a₁ = A
aₙ₊₁ = p aₙ + q rⁿ    （n ≥ 1）

bₙ = aₙ/rⁿ と置きます。r ≠ 0 なので、自然数 n のどの項でも rⁿ は0ではありません。両辺を rⁿ⁺¹ で割ると、右辺の指数項は q/r という定数になります。

bₙ₊₁ = aₙ₊₁/rⁿ⁺¹
       = (p/r)bₙ + q/r
b₁ = A/r

図1のように、変換は「割る」、復元は「同じ項番号の指数を掛ける」という逆向きの操作です。初項にも割り算が必要で、b₁ は A ではなく A/r です。図1の矢印は項ごとの対応を表し、隣の項への移動とは別です。

p ≠ r なら p/r ≠ 1 です。bₙ₊₁ = (p/r)bₙ + q/r で、一定値 c を引いて等比形を作るため、c = (p/r)c + q/r を解きます。r-p ≠ 0 に注意すると c = q/(r-p) です。そこで bₙ₊₁-c = (p/r)(bₙ-c) となり、初項 A/r-c、公比 p/r の等比数列が得られます。

一方 p = r なら、変換後は bₙ₊₁ = bₙ + q/r です。これは公差 q/r の等差数列なので、bₙ = A/r + (n-1)q/r です。n-1 は初項から第 n 項までに進む回数です。p = 0 かつ r ≠ 0 も前者に含まれますが、公比0では初項と第2項以降を確かめます。例えば変換後の差は第2項から0となり、初項には別の値が残ることがあります。指数の0乗を扱う第1項を飛ばさず、元の初期条件との対応を確認します。p = r = 0 はこの変換の対象外です。元の漸化式から直接各項を調べます。

基本例題：割った数列から戻す

数列 aₙ は a₁ = 6、aₙ₊₁ = 2aₙ + 3・4ⁿ （n ≥ 1）を満たします。一般項を n の式で求め、その範囲を示しましょう。

底4は非零で、係数2と異なります。bₙ = aₙ/4ⁿ と置けば、初項と漸化式は次のようになります。

b₁ = 6/4 = 3/2
bₙ₊₁ = (2aₙ + 3・4ⁿ)/4ⁿ⁺¹
       = (1/2)bₙ + 3/4

一定値 c は c = c/2 + 3/4 より c = 3/2 です。よって bₙ₊₁ − 3/2 = (1/2)(bₙ − 3/2) です。変換後の初項はちょうど3/2なので、この差は初項0の等比数列です。したがって bₙ = 3/2 となります。

aₙ = 4ⁿ bₙ
    = (3/2)・4ⁿ    （n ≥ 1）

図2のように、元の初項6を4で割ると3/2です。第2項は元の式から 2・6 + 3・4 = 24、答えからも (3/2)・16 = 24 です。さらに一般の n で代入すると、右辺は 2・(3/2)・4ⁿ + 3・4ⁿ = 6・4ⁿ = (3/2)・4ⁿ⁺¹ です。初項と関係の両方を満たすので、各項を順に定める元の条件と一致します。

この例では差の初項が0でした。いつも変換後の数列が一定になるわけではありません。一定値と初項が異なれば、その差の等比部分を残します。

標準例題：等比部分を残す

数列 aₙ は a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ + 2・5ⁿ （n ≥ 1）を満たします。一般項を n の式で求めましょう。

底5は非零で、係数3と異なります。bₙ = aₙ/5ⁿ とすると、b₁ = 1 です。変換後の式と一定値を順に求めます。

bₙ₊₁ = (3/5)bₙ + 2/5
c = (3/5)c + 2/5
(2/5)c = 2/5
c = 1

この初期値でも差が0なので、変化する例として初項を 10 にした同じ条件を考え直します。以下は a₁ = 10 の場合です。b₁ = 2 であり、bₙ − 1 の初項は1、公比は3/5です。

bₙ - 1 = (3/5)ⁿ⁻¹
bₙ = 1 + (3/5)ⁿ⁻¹
aₙ = 5ⁿ + 5・3ⁿ⁻¹    （n ≥ 1）

元の初項が5という問題の答えは、b₁ = c = 1 より aₙ = 5ⁿ （n ≥ 1）です。初項10の変更例では、n = 1 で 5 + 5 = 10、n = 2 で 25 + 15 = 40 です。元の関係も 3・10 + 2・5 = 40 を与えます。一般の n でも右辺は 3・5ⁿ + 15・3ⁿ⁻¹ + 2・5ⁿ = 5ⁿ⁺¹ + 5・3ⁿ となり、次の項の式と一致します。

初項を変更した計算は、同じ漸化式でも初期条件が変われば別の数列になることも示しています。項を順に作ると、初項5の場合の第2項は25、初項10の場合は40です。以後もそれぞれの直前の項から計算するため、途中で一方の初項を他方に取り替えることはできません。差の初項を求める行では、どちらの条件を使っているか明記しましょう。

別の方法として、aₙ から 5ⁿ を直接引くこともできます。実際、5ⁿ⁺¹ = 3・5ⁿ + 2・5ⁿ なので、差は公比3の等比数列です。ただし差し引く指数項の係数を先に見つける必要があります。規格化はその係数を一定値 c として求められる方法です。どちらでも初期値を引いた後の値に注意します。

発展例題：係数と底が重なるとき

実数 t は0でないとします。a₁ = 7、aₙ₊₁ = t aₙ + 2tⁿ （n ≥ 1）の一般項を t と n の式で求めましょう。t の符号は限定しません。

bₙ = aₙ/tⁿ と置けます。係数と底はどちらも t なので、変換後の係数は1です。

b₁ = 7/t
bₙ₊₁ = bₙ + 2/t
bₙ = 7/t + (n-1)・2/t
    = (2n+5)/t
aₙ = (2n+5)tⁿ⁻¹    （n ≥ 1）

n = 1 では 7t⁰ = 7 です。t ≠ 0 だから t⁰ = 1 と扱えます。さらに、求めた式を元の右辺へ戻すと次の通りです。

t aₙ + 2tⁿ = (2n+5)tⁿ + 2tⁿ
              = (2n+7)tⁿ
              = aₙ₊₁

t が負でも計算は成立し、符号は t の整数乗に残ります。もし t = 0 も許す問題なら、割る前に分けます。n ≥ 1 で 0ⁿ = 0 なので a₂ = 0、以後も0です。初項7は残ります。ここで一般式に形式的に0を代入するより、元の条件から初項と第2項以降を分ける方が安全です。

誤答を修正する

基本例題で bₙ = 3/2 まで求めた後、「aₙ = 3/2」と書く誤りを考えます。図3のように、割った後の値を元の欄に移してしまっています。a₁ は指定された6なのに、誤答では3/2となるため、初項への代入で食い違いが見つかります。

修正には bₙ = aₙ/4ⁿ という定義へ戻ります。両辺に非零の4ⁿを掛け、aₙ = 4ⁿbₙ = (3/2)・4ⁿ とします。図3の右側のように、掛け戻した後に初項6になることまで見ます。

別の失敗は、係数と底が同じなのに c = q/(r-p) を使うことです。分母が0になるので、その式は使えません。変換後に公差を読む方法へ切り替えます。また、底が0のときは bₙ 自体が定義できません。元の式で第2項以降を直接求め、変換できない理由と答えの範囲を区別します。計算が進まない場所を飛ばすのではなく、どの割り算が許されないかを示すと修正できます。

練習問題

各問で n は1以上の整数とします。一般項を求める問題では、n の式と有効な範囲を答えましょう。

a₁ = 8、aₙ₊₁ = aₙ + 2・3ⁿ のとき、一般項を求めなさい。
a₁ = 4、aₙ₊₁ = 2aₙ + 4・2ⁿ のとき、一般項を求めなさい。
a₁ = 3、aₙ₊₁ = -aₙ + 2・(-2)ⁿ のとき、一般項を求めなさい。
a₁ = 9、aₙ₊₁ = 0・aₙ + 5・0ⁿ のとき、初項と第2項以降を分けて求めなさい。
非零の実数 r に対し、a₁ = 2r、aₙ₊₁ = p aₙ + 3rⁿ とします。p = r と p ≠ r に分け、一般項を p、r、n の式で求めなさい。

練習問題の答えと道筋

1

底3は非零で係数1と異なります。bₙ = aₙ/3ⁿ とすると、b₁ = 8/3 です。

bₙ₊₁ = (1/3)bₙ + 2/3
c = (1/3)c + 2/3 = 1
bₙ - 1 = (5/3)(1/3)ⁿ⁻¹
aₙ = 3ⁿ + 5    （n ≥ 1）

初項は3 + 5 = 8です。第2項は14で、元の条件の 8 + 2・3 と一致します。一般の n でも aₙ + 2・3ⁿ = 3ⁿ⁺¹ + 5 です。

2

底と係数が共に2です。bₙ = aₙ/2ⁿ と置くと b₁ = 2、bₙ₊₁ = bₙ + 2 です。

bₙ = 2 + 2(n-1)
    = 2n
aₙ = 2n・2ⁿ    （n ≥ 1）

初項は4、第2項は16です。元の条件でも 2・4 + 4・2 = 16 です。一般に右辺は 2n・2ⁿ⁺¹ + 4・2ⁿ = 2(n+1)・2ⁿ⁺¹ となり、次の項と一致します。

3

底 -2 は非零で、係数 -1 と異なります。bₙ = aₙ/(-2)ⁿ とすると b₁ = -3/2 です。

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ - 1
c = (1/2)c - 1 = -2
bₙ + 2 = (1/2)(1/2)ⁿ⁻¹
bₙ = -2 + (1/2)ⁿ
aₙ = -2・(-2)ⁿ + (-1)ⁿ    （n ≥ 1）

初項は4 − 1 = 3、第2項は -8 + 1 = -7です。元の条件では -3 + 2・(-2) = -7 です。一般の n では右辺が 2・(-2)ⁿ − (-1)ⁿ + 2・(-2)ⁿ となり、次の項 -2・(-2)ⁿ⁺¹ + (-1)ⁿ⁺¹ と一致します。

4

0の累乗で割れないので、元の式を使います。n ≥ 1 で 0ⁿ = 0 です。

a₁ = 9
a₂ = 0・9 + 5・0 = 0
aₙ = 0    （n ≥ 2）

どの n ≥ 1 でも右辺は0で、次の項は確かに0です。初項を第2項以降と一緒に0としてしまうと、与えられた9に戻りません。

5

r ≠ 0 なので bₙ = aₙ/rⁿ、b₁ = 2 と置けます。変換すると bₙ₊₁ = (p/r)bₙ + 3/r です。

p = r の場合は公差3/rの等差数列です。

bₙ = 2 + 3(n-1)/r
aₙ = 2rⁿ + 3(n-1)rⁿ⁻¹    （n ≥ 1）

p ≠ r の場合は c = 3/(r-p) と置けます。

bₙ - c = (2-c)(p/r)ⁿ⁻¹
aₙ = c rⁿ + (2-c)r pⁿ⁻¹    （n ≥ 1）

この式は p = 0 も含みます。そのとき n = 1 の p⁰ は1とし、n ≥ 2 では pⁿ⁻¹ = 0 です。両場合とも n = 1 で a₁ = 2r に戻ります。p ≠ r の式では c(r-p) = 3 より、右辺 p aₙ + 3rⁿ は c rⁿ⁺¹ + (2-c)r pⁿ となり、次の項に一致します。p = r の式でも右辺は 2rⁿ⁺¹ + 3n rⁿ となり、次の項です。