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高校数学B 部分分数分解による数列の和—消える項と残る端を並べて有限和を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 数列を掘り下げる

部分分数分解を通分で確かめ、有限和の相殺を追います。間隔が広い場合や項数が少ない場合にも、端の分数を見落とさずに残せます。

よくあるのは、高2の高校生が分数を差の形に直し、途中が消えるので端もすべて消してしまう場面です。隣り合う項を比べると確かに同じ分数が逆符号で現れますが、最初と最後には相手のいない分数が残ります。まず各項を正しく分け、次に有限個の項を並べて、どの分数がどれと消えるかを追います。分母が0にならない条件も、計算を始める前に確かめます。

どこに注目して式を読むか

例えば、分母がkとk+1の積である項を初めから第n項まで足す問題では、隣り合う逆数の差に変えると途中が相殺されます。答えをnの式で求める場合も、項数が具体的に決まっている場合も、終わりの項まで含めて和を作ります。nは自然数とし、kは和の中で指定された整数を動きます。

別の出方では、分母がkとk+3の積のように離れています。この場合、消える相手は隣ではなく3項先に現れます。両端に3個ずつ残る形を目指せますが、項数が3未満なら両端の並びが重なるため、勝手に消さず元の項を直接確認することが必要です。

もう一つは分子に係数やkを含む問題です。分母だけを見て差と決めつけず、分解した右辺を通分して元の分子に戻るかを調べます。和が求まったら、最初の1項だけのときの値にも戻して点検します。

差の形を作る理由

部分分数分解は、1つの分数を、より簡単な分数の和や差に直す操作です。kとk+dがともに0でなく、dも0でないとき、通分によって次が成り立ちます。

1/k - 1/(k+d) = (k+d-k)/(k(k+d))
                    = d/(k(k+d))
1/(k(k+d)) = (1/d)(1/k - 1/(k+d))

右辺の係数1/dは、分母の2つの因子の差を補うためにあります。分母の因子が異なっても、差が一定でなければこの式をそのまま使えません。また、d=0なら1/dが定義されず、この分解は使えません。各項の分母が0になるkを含む和も、元の式が定義されないため、そのまま計算できません。

図1のように、差の後ろ側の分数には、d項先の前側の分数が対応します。有限和なので、対応相手のない分数が残ります。矢印は同じ値で逆符号の2つを結んでいます。

図1では4項を並べ、1/3と1/4がそれぞれ反対符号の分数と組になっています。残るのは前側の1と1/2、後ろ側の-1/5と-1/6です。これは無限に続ける話ではなく、指定された4項を足した結果です。

分子が定数でないときは係数を置きます。例えば分母が(k+1)(k+4)なら、A/(k+1) + B/(k+4)と置き、両辺に分母を掛けます。分子のkの係数と定数項を比べれば、AとBを決められます。分解後に通分し、元に戻ることまでが確認です。

基本例題：隣の項に相手がいる和

自然数nに対して、次の和をnの式で求めてください。答えは既約な分数の形にします。

Sₙ = Σ[k=1..n] 1/(k(k+1))

kは1以上なので、kとk+1はともに0ではありません。因子の差は1ですから、各項は次のように分かれます。

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)

まずnが2以上として、最初と最後を見えるように並べます。

Sₙ = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/n - 1/(n+1))
   = 1 - 1/(n+1)
   = n/(n+1)

図2のように、前の項の負の分数と次の項の正の分数が組になります。最初の1と最後の負の分数には相手がありません。

n=1では省略記号を含む並べ方を使わず、元の和は1/(1・2)=1/2です。答えの式も1/2となります。nとn+1の共通の正の約数は1なので、求めた分数は既約です。図2はn=4の具体例で、元の4項を足しても4/5となり、一般式と一致します。

標準例題：間隔が3のとき

自然数nに対して、次の和をnの式で求めてください。分数の和と差の形で答えてかまいません。

Tₙ = Σ[k=1..n] 3/(k(k+3))

kとk+3は正なので分母は0になりません。通分すると、各項は次の差です。

3/(k(k+3)) = 1/k - 1/(k+3)

nが3以上なら、正の側と負の側をそれぞれ順に並べます。

Tₙ = (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)
     - (1/4 + 1/5 + … + 1/(n+3))
   = 1 + 1/2 + 1/3 - 1/(n+1) - 1/(n+2) - 1/(n+3)

n=3では真ん中に消える項がありませんが、この式はそのまま成立します。n=1とn=2では、上の並べ方の省略部分をそのまま読むと重なりが生じます。元の和と答えを別に照合しましょう。

T₁ = 3/4 = 1 - 1/4
T₂ = 3/4 + 3/10 = 21/20

答えの式にn=1を代入すると1 + 1/2 + 1/3 − 1/2 − 1/3 − 1/4で3/4です。n=2でも1/3を打ち消して21/20に戻ります。したがって上の式はすべての自然数nで使えます。小さいnで式の中の分数がさらに消えることと、もとの和が未定義であることは別です。

発展例題：分子の係数から決める

自然数nについて、次の和をnの式で求めてください。答えは分数の和の形で示します。

Uₙ = Σ[k=1..n] (2k+7)/((k+1)(k+4))

各因子は正です。AとBを定数として分解し、両辺に0でない分母を掛けます。

(2k+7)/((k+1)(k+4)) = A/(k+1) + B/(k+4)
2k+7 = A(k+4) + B(k+1)
2k+7 = (A+B)k + (4A+B)
A+B = 2
4A+B = 7
3A = 5
A = 5/3
B = 1/3

通分すると分子は5(k+4)/3 + (k+1)/3 = 2k+7となり、元の項に戻ります。両方が正なので、この分解では対応する項は消えません。部分分数分解をしたら必ず相殺できる、と判断しないことが大切です。

それでも、2つの和の重なる部分をまとめれば、端を分けた形にできます。nが3以上のとき、正の逆数が重なる範囲は5からn+1です。

Uₙ = (5/3)(1/2 + 1/3 + … + 1/(n+1))
     + (1/3)(1/5 + 1/6 + … + 1/(n+4))
   = (5/3)(1/2 + 1/3 + 1/4)
     + 2Σ[k=5..n+1] 1/k
     + (1/3)(1/(n+2) + 1/(n+3) + 1/(n+4))

n=3では中央の和に項がないので0と定めます。n=1、2については重なる部分を作らず、分解直後の2つの有限和で表せます。実際にn=1では元の値は9/10で、分解後も5/6 + 1/15 = 9/10です。この例は、差の形で端だけに縮む場合と、同符号の部分が残る場合の分かれ目を示しています。一般の逆数の和を、ここで別の公式に置き換える必要はありません。

消しすぎた答えを直す

基本例題で「各分数が消えるからSₙ = 0」とする答えを考えます。この処理は途中の分数に注目できていますが、最初の正の1と最後の負の1/(n+1)には、反対符号の相手がありません。図3のように、端まで線で結ぶと、存在しない項を足したことになります。

図3は4項の場合です。元の項はすべて正なので、和が0という答えはこの場合の時点で合いません。ただし正であることだけでは正しい値は決まらず、対応を並べ直す必要があります。残る1 − 1/5を計算すると4/5です。

別の誤りは、1/(k(k+3))を1/k − 1/(k+3)と書くことです。右辺を通分すると分子は3になります。元の分子を1にするには、全体に1/3を掛けます。符号や係数に迷ったら、和に進む前に1項を通分して戻すと、誤りが広がりません。

分母が0の項を含む場合も、相殺を理由に計算を続けることはできません。例えばkが0を取る範囲で1/(k(k+3))を足す式は、最初の項自体が定義されません。分解後に見かけ上の式が整っても、元の和の値にはなりません。問題の範囲を確認し、定義されないことを答えます。

練習問題

各問で指定された範囲を守り、答えは指定の形にしてください。先に5問を解き、後の解答と比べます。

自然数nについて、Σ[k=1..n] 2/(k(k+2))をnの分数の和と差で表してください。
Σ[k=2..6] 1/(k(k+1))を既約分数で求めてください。
自然数nについて、Σ[k=1..n] 4/((k+2)(k+4))をnの分数の和と差で表してください。
自然数nについて、Σ[k=1..n] (2k+5)/((k+1)(k+3))を、nを用いた分数の和の形で表してください。
Σ[k=0..4] 1/(k(k+2))は数として求められるか答え、理由を述べてください。

練習問題の答えと道筋

1

kとk+2は正で、因子の差は2です。各項を分けて並べます。

2/(k(k+2)) = 1/k - 1/(k+2)
Σ[k=1..n] 2/(k(k+2))
 = 1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)

n=1でも右辺は1 − 1/3 = 2/3となり、元の1項に一致します。n=2では1 + 1/2 − 1/3 − 1/4 = 11/12です。この場合は相殺される分数がなく、元の2項を足した2/3 + 1/4とも一致します。

2

kは2から6なので分母は0ではありません。始端を1に変えないように展開します。

Σ[k=2..6] 1/(k(k+1))
 = (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/6 - 1/7)
 = 1/2 - 1/7
 = 5/14

直接足すと1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42です。通分した合計も5/14となります。

3

k+2とk+4は正で、因子の差は2です。係数を落とさないよう、まず通分して分子を確かめます。

4/((k+2)(k+4)) = 2(1/(k+2) - 1/(k+4))
Σ[k=1..n] 4/((k+2)(k+4))
 = 2(1/3 + 1/4 - 1/(n+3) - 1/(n+4))

n=1では右辺は2(1/3 − 1/5)=4/15です。元の最初の項も4/(3・5)=4/15です。

4

因子は正です。分子を因子の和にすると、次の分解が得られます。

2k+5 = (k+3) + (k+2)
(2k+5)/((k+1)(k+3))
 = 1/(k+1) + (k+2)/((k+1)(k+3))

後半はさらに係数を決めます。

(k+2)/((k+1)(k+3)) = (1/2)/(k+1) + (1/2)/(k+3)
(2k+5)/((k+1)(k+3)) = (3/2)/(k+1) + (1/2)/(k+3)
Σ[k=1..n] (2k+5)/((k+1)(k+3))
 = (3/2)Σ[k=1..n] 1/(k+1) + (1/2)Σ[k=1..n] 1/(k+3)

両方とも正なので、差の相殺は起きません。n=1では右辺が3/4 + 1/8 = 7/8となり、元の項7/(2・4)と一致します。