高校数学B Σの添字のずらし方—番号の置き換えに合わせて上下の端を動かす｜武蔵野個別指導塾

項の対応表で上下の端と刻み幅を決め、抜けや余分な項を防ぐ添字のずらし方を学びます。

よくあるのは、高2の高校生がΣの中の式を書き換えた後、上端だけ元の番号のままにしてしまう場面です。たとえば最後に足す項の番号が変わっているのに、和の最後を表す数が動かなければ、別の項まで加わることがあります。添字の変更は文字の見た目を変える操作ではなく、足す項の番号を付け直す操作です。最初と最後に加えて、途中の番号がどの順に対応するかも確かめます。

どこで番号を付け直すか

問われ方の一つは、Σの下端を0や2から1へ変えて書き直す問題です。和の公式を使いやすくする前に、元の最初の項に新しい番号1を付けます。もう一つは、添字の異なる二つの和を同じ番号で並べる問題です。同じ文字を使っていても範囲が違えば、対応しない端の項を取り出してからまとめます。

さらに、偶数番目など等間隔の項を並べる問題があります。このとき、置き換えた番号が連続するとは限りません。問題が求めるのが和の値か、同じ和の表記かも読み取ります。表記を変える問題で値まで計算する必要はありませんが、元の和と項が一致することは示します。

項の名前と端の対応

Σ[k=p..q] bₖ は、整数pから整数qまでkを1ずつ増やし、対応する項を足した記号です。ここではp ≤ qとし、項はq − p + 1個あります。添字kは和の中で使う名前なので、同じ範囲と式を保てば別の文字に替えられます。ただし、kをjに替えるだけの場合と、j = k + 2のように番号自体を変える場合は異なります。後者では端も変わります。

たとえばkが2から6まで動き、j = k + 3と置くと、jは5から9まで1ずつ動きます。k = j − 3なので、bₖはb(j-3)になります。ここでb(j-3)は添字がj − 3の項を表します。図1のように対応する番号を縦にそろえると、どの項も1回ずつ現れることが見えます。

図1では最初が2と5、最後が6と9です。両方とも5個あり、途中の対応も同じ間隔です。したがってΣ[k=2..6] bₖ = Σ[j=5..9] b(j-3)です。項の個数が一致することは必要な点検ですが、それだけでは十分ではありません。別の5項を足していても個数は合うため、式の中の番号も元に戻して確かめます。

一般にj = k + cと置けば、k = pでj = p + c、k = qでj = q + cです。k = j − cを項に代入し、jは1ずつ増えます。cが負でも同じ手順です。新しい添字が0や負になっても、それが単なる番号で、元の項が定義される範囲に対応していれば構いません。数列の項番号が自然数という条件と、和を数える補助の文字の範囲は区別します。

一方、j = 2kのように倍率をかけると、kが1進むたびにjは2進みます。通常のΣでjを1ずつ進めて書くと、元にない奇数番号が混ざります。刻みを文章で指定するか、連続する別の添字を使って項を表します。端を変換しただけで途中の取り方を確認しないのは危険です。

番号の付け直しを表にするときは、元の番号、新しい番号、実際に足す項の3段に分けると便利です。新しい番号だけを横に並べても、その番号を項の式にどう戻したかは見えません。たとえば開始番号を1にそろえる目的でも、元の最初の項が何かは問題ごとに異なります。まず元の和を読んでから置換式を決め、最後に置換後の式へ新しい端を代入します。途中で1項ずつ進む関係も確かめれば、端の一致に隠れた抜けを見つけられます。

基本例題：0から始まる和

次の和を、jを1から始まる添字にして書き直してください。答えはΣを用いる形とします。数列aₙは自然数nについて定義されるものとします。

Σ[k=0..4] a(k+2)

元の項の添字は2から6までです。kに1を加えれば新しい番号が1から始まるので、j = k + 1と置きます。逆の関係も書きます。

j = k + 1
k = j - 1
k + 2 = j + 1

端を同じ関係で変換します。k = 0ならj = 1、k = 4ならj = 5です。kが1増えるとjも1増えます。よって答えは次の形です。

Σ[k=0..4] a(k+2)
= Σ[j=1..5] a(j+1)

図2のように元の最初と最後の項を、新しい式に代入して照合します。j = 1でa₂、j = 5でa₆です。間のa₃、a₄、a₅も順に現れます。

図2の両側はそれぞれ5項です。実際に展開すれば、どちらもa₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆です。数列の値が何であっても項ごとの対応があるため、この等式は成り立ちます。具体的な値で数回合うことを確かめるだけでは、任意の数列についての説明にはなりません。

ここで上端を4のままにすると、右辺はa₂からa₅までの4項になり、a₆が失われます。反対に下端だけを0のままにすれば、a₁が余分に入ります。最初の項と最後の項をそれぞれ別に代入すると、どちらの間違いも見つけられます。

標準例題：二つの和をそろえる

自然数nについて、数列aₙを用いた次の式を、できるだけ簡単な形に直してください。答えはn ≥ 2で成り立つ式とします。

Σ[k=1..n] a(k+1) − Σ[k=1..n] aₖ

最初の和ではj = k + 1と置きます。k = 1でj = 2、k = nでj = n + 1なので、次のようになります。

Σ[k=1..n] a(k+1) - Σ[k=1..n] aₖ
= Σ[j=2..n+1] aⱼ - Σ[k=1..n] aₖ
= (a₂ + a₃ + … + aₙ + a(n+1))
  - (a₁ + a₂ + … + aₙ)
= a(n+1) - a₁

共通部分をΣで残す途中の形は、Σ[j=2..n] aⱼ + a(n+1) − a₁ − Σ[j=2..n] aⱼです。両方の共通部分が同じ項から成るため、符号に注意して消せます。共通部分は同じ範囲の和として示しました。n = 2ではa₂ + a₃ − (a₁ + a₂) = a₃ − a₁となります。

別の方法は、初めから各和を展開して両端を読むことです。項数が少ない場合は見通しやすい方法ですが、文字のnで一般に示すときは省略記号の前後を明確にします。n = 1も元の式では定義され、a₂ − a₁です。ただし上の共通部分は空になるため、空の和を0と定めないならn = 1を別に扱います。元の条件より広い範囲へ勝手に途中式を適用しないことが肝心です。

発展例題：等間隔の番号

自然数nについて、aₙを自然数番目に定義された数列とします。Σ[k=1..4] a(2k+1)を、実際に足す項を列挙し、その後に連続する添字jを0から使ったΣで表してください。

まずkの値を代入します。最初と最後に限らず、途中の番号も計算します。

k = 1 のとき 2k + 1 = 3
k = 2 のとき 2k + 1 = 5
k = 3 のとき 2k + 1 = 7
k = 4 のとき 2k + 1 = 9
Σ[k=1..4] a(2k+1) = a₃ + a₅ + a₇ + a₉

j = k − 1と置くと、jは0から3まで1ずつ動き、k = j + 1です。これを項の添字に戻します。

2k + 1 = 2(j + 1) + 1
         = 2j + 3
Σ[k=1..4] a(2k+1) = Σ[j=0..3] a(2j+3)

j = 0、1、2、3を代入すると、添字は順に3、5、7、9です。したがって答えは列挙した4項と上のΣです。たとえばaₙ = nなら和は3 + 5 + 7 + 9 = 24で、新しい式からも同じ4数が得られます。これは計算の点検であり、一般の数列については項の対応で等式を示します。

添字そのものをh = 2k + 1と置くこともできますが、hの動きは3、5、7、9です。h = 3から9まで1ずつ足す普通のΣにしてはいけません。hを使うなら奇数に限ると明示する必要があります。連続するjで表す方法なら、刻みの条件を項の式に持たせられます。

端を動かし忘れた答案を直す

次の変形を考えます。aₙは自然数nについて定義されます。

Σ[k=1..3] a(k+2) = Σ[j=3..3] aⱼ

j = k + 2という置き換えなら、下端3は合っています。しかし上端はk = 3のときのj = 5です。右辺にはa₃しかなく、元のa₄とa₅が消えています。図3のように、最初の対応が合っていても最後まで届いているとは限りません。

図3の元の和はa₃ + a₄ + a₅です。正しい右辺はΣ[j=3..5] aⱼであり、3項を過不足なく含みます。誤った上端に1を足すなどと場当たり的に修正せず、j = k + 2へ元の上端を代入して決めます。

下端と上端が合っていても、式が違う誤りもあります。たとえばj = k + 2なのにa(k+2)をa(j+2)と書けば、最初の項はa₅です。逆にk = j − 2を先に書き、項全体へ代入するとaⱼになります。端、刻み、項の式という3点を別々に検査すると、間違いの位置を特定できます。

練習問題

いずれもaₙは自然数nについて定義された数列とします。和の値を指定しない問題は、同じ和を表すΣの形で答えてください。

1. Σ[k=0..5] a(k+4)を、j = k + 1としてjが1から始まる形に直してください。
2. Σ[k=3..7] a(k-1)を、j = k − 2として直してください。
3. Σ[k=1..5] a(3k)を実際の項に展開し、j = k − 1としてjが0から始まる形に直してください。
4. n ≥ 3として、Σ[k=2..n] a(k+1) − Σ[k=3..n+1] aₖを、整数の値で求めてください。
5. Σ[k=2..6] a(k+3)をΣ[j=5..6] aⱼと書いた答案について、足りない項を列挙し、正しいΣに直してください。

練習の解答と点検

1. j = k + 1よりk = j − 1です。下端は1、上端は6です。

k + 4 = j - 1 + 4 = j + 3
Σ[k=0..5] a(k+4) = Σ[j=1..6] a(j+3)

元の最初はa₄、最後はa₉です。新しい式でもj = 1と6を入れると同じ両端になり、6項あります。

2. j = k − 2よりk = j + 2です。k = 3と7は、それぞれj = 1と5に対応します。

k - 1 = j + 2 - 1 = j + 1
Σ[k=3..7] a(k-1) = Σ[j=1..5] a(j+1)

元の和はa₂からa₆までで、新しい式も同じ5項です。下端に置換式を代入する際、引く2の符号を取り違えないようにします。

3. 元の項の番号は3、6、9、12、15です。j = k − 1ならk = j + 1で、jは0から4まで動きます。

3k = 3(j + 1) = 3j + 3
Σ[k=1..5] a(3k)
= a₃ + a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅
= Σ[j=0..4] a(3j+3)

新しい式にjを順に代入しても同じ番号が現れます。3から15までのすべての整数を添字にすると、元にない項が入ります。

4. 最初の和でj = k + 1とすると、jは3からn + 1まで1ずつ動きます。2番目の和は文字の名前をjに替えられます。

Σ[k=2..n] a(k+1) - Σ[k=3..n+1] aₖ
= Σ[j=3..n+1] aⱼ - Σ[j=3..n+1] aⱼ
= 0

元の和もどちらもa₃からa(n+1)までです。n = 3では両方ともa₃ + a₄となり、答えの0に戻ります。

5. 元のk = 2、3、4、5、6に対する添字は5、6、7、8、9です。答案の右辺はa₅ + a₆なので、足りない項はa₇、a₈、a₉です。

j = k + 3
k = 2 なら j = 5
k = 6 なら j = 9
Σ[k=2..6] a(k+3) = Σ[j=5..9] aⱼ

正しい右辺は5項で、元の和の5項に順番どおり対応します。個数を確かめた後、両端の項そのものも代入して確認します。

手元に残す要点

添字を置いたら逆の式も書きます。 元の上下の端を置換式に代入します。 新しい番号の刻みと項の式を確かめます。 最初・最後・途中を展開し、項の対応を点検します。

止まった場所を見つける

端の数が決まらないときは、元の添字の最小値を置換式に入れるところから再開します。式の中が決まらないときは、逆の関係を使って元の添字を消します。端の変換と項の変換を一度に暗算する必要はありません。紙の上で別々に書けば、どちらで符号が変わったかを追えます。

個別指導で答案を見直すときも、最終結果だけでなく、最初に対応させた2つの番号と最後に対応させた2つの番号を確かめます。等間隔の問題なら、隣の番号へ進む幅も書き出します。足す項を一つずつ対応させれば、添字の変更後も同じ和が残ります。