高校数学B Σの二乗和と三乗和—多項式の各項を分けて和の公式を組み合わせる｜武蔵野個別指導塾

二乗の和と和の二乗の違いを具体例で比べ、多項式の有限和を計算する手順をたどる三乗和です。

よくあるのは、高2の高校生が和の二乗と二乗の和を同じものとして計算する場面です。各数を先に二乗して足すのか、先に足した結果を二乗するのかで、答えは変わります。Σの右側に置かれた式を1項ずつ読み、何を足す記号なのかを確かめると、公式を選ぶ根拠が見えてきます。ここでは自然数を1から順に足す有限和を扱い、二乗和と三乗和を多項式の計算につなげます。

何を先に計算するか

出方の一つは、1² + 2² + … + n²のような和を直接求める問題です。もう一つは、各項がk² + 3kのような多項式になっている問題です。後者では、各項の中の足し算を和全体に分配し、二乗の部分と一次の部分に分けてから公式を使います。さらに、得られた和が指定された数になるように文字を決める問題もあります。

どの場合も、まずkがどこからどこまで動くかを読みます。以下ではnを自然数とし、kは1からnまでの整数を順に取ります。n = 1でも項は1個あり、公式を使えます。有限個の項を足すので、各項の順序を入れ替えたり、同じ種類の項をまとめたりできます。Σの添字の置き換えや、別の下端から始まる和の処理はここでは扱いません。

三つの和と分配の意味

Σ[k=1..n] kは1 + 2 + … + nを表します。同じ範囲の二乗和と三乗和は、それぞれ各整数を二乗、三乗してから足したものです。nが自然数のとき、次の三つが使えます。

Σ[k=1..n] k = n(n + 1)/2
Σ[k=1..n] k² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Σ[k=1..n] k³ = {n(n + 1)/2}²

分母の2と6は0ではありません。右辺が分数の形でも、左辺は整数の和です。三乗和は自然数の和の二乗と一致しますが、二乗和が自然数の和の二乗になるという意味ではありません。図1のように、計算の順序を枝分かれさせると、異なる式を同じものとして扱う間違いを防げます。

図1では1と2を使っています。先に二乗すれば1 + 4 = 5、先に加えてから二乗すれば3² = 9です。和の二乗には、異なる項どうしを掛けた分も含まれます。たとえば(1 + 2)² = 1² + 2・1・2 + 2²です。この差は公式の記憶違いではなく、演算の順序の違いから生じます。

定数a、b、cについて、有限和には次の線形性があります。

Σ[k=1..n] (ak² + bk + c)
= a Σ[k=1..n] k² + b Σ[k=1..n] k + c Σ[k=1..n] 1
= a Σ[k=1..n] k² + b Σ[k=1..n] k + cn

最後のcnは定数cがn個あることから出ます。例えばcが負でも同じです。係数を外へ出せるのは、kが変わっても係数が変わらないからです。kを定数のように外へ出すことはできません。また、和の積を各項の積の和に分ける規則もありません。

公式の理由も差の相殺でたどれます。自然数の和は、1からnまでの並びと逆順の並びを足すと各組がn + 1となり、組がn個あるのでn(n + 1)/2です。二乗和については、各kで(k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1が成り立ちます。kを1からnまで足すと、左辺の中間の立方は隣どうしで消え、(n + 1)³ − 1が残ります。

(n + 1)³ - 1 = 3 Σ[k=1..n] k² + 3n(n + 1)/2 + n
3 Σ[k=1..n] k² = n³ + 3n² + 3n - 3n(n + 1)/2 - n
3 Σ[k=1..n] k² = n(n + 1)(2n + 1)/2
Σ[k=1..n] k² = n(n + 1)(2n + 1)/6

同様に(k + 1)⁴ − k⁴ = 4k³ + 6k² + 4k + 1を足し、すでに求めた一次と二乗の和を代入すると三乗和が出ます。途中の相殺は有限個の項を並べた等式なので、数例が合うことだけを根拠にしていません。

(n + 1)⁴ - 1 = 4 Σ[k=1..n] k³ + 6 Σ[k=1..n] k² + 4 Σ[k=1..n] k + n
4 Σ[k=1..n] k³ = n²(n + 1)²
Σ[k=1..n] k³ = {n(n + 1)/2}²

相殺の式は端の扱いも教えてくれます。たとえば二乗和の導出では、左辺を(2³ − 1³) + (3³ − 2³) + … + {(n + 1)³ − n³}と並べます。2³からn³までが正負で消えても、最初の負の1³と最後の正の(n + 1)³は残ります。n = 1では途中の項はなく、2³ − 1³がそのまま残ります。端も消すと右辺の和と一致しません。

計算の見通しとして、次数の高い部分から順に公式を選ぶ方法があります。まず三乗、次に二乗、最後に一次と定数を処理し、それぞれの係数を保ったまま並べます。因数分解は各和を代入した後で行うと、共通因数を見つけやすくなります。途中の分数が気になる場合も、先に各分母を約分できるとは限らないため、加減を済ませるまで括弧を保ちます。

基本例題：二乗と一次の部分を分ける

自然数kを1から4まで動かすとき、Σ[k=1..4] (k² + 2k)を整数で求めます。図2のように、各項を二つの部分に分けてから、それぞれを縦に足すと考えます。上端はどちらも4のままです。

図2に並ぶ二乗の列は1、4、9、16、一次の列は2、4、6、8です。式では線形性を使い、n = 4をそれぞれの公式に入れます。

Σ[k=1..4] (k² + 2k)
= Σ[k=1..4] k² + 2 Σ[k=1..4] k
= 4・5・9/6 + 2・4・5/2
= 30 + 20
= 50

元の式へ戻すと、4項は3、8、15、24であり、3 + 8 + 15 + 24 = 50です。公式の結果と直接加えた結果が一致します。ここで直接計算はこの具体的な答えの照合であり、一般の公式の証明ではありません。係数2を二乗和にも掛けていないか、図の列に戻って確認できます。

標準例題：三乗を含む和

自然数nに対し、Σ[k=1..n] (2k³ − 3k² + k)をnの式で求めます。答えは因数分解した形とします。項ごとに分けた後、三つの公式を同じ上端nで使います。

Σ[k=1..n] (2k³ - 3k² + k)
= 2 Σ[k=1..n] k³ - 3 Σ[k=1..n] k² + Σ[k=1..n] k
= 2・{n(n + 1)/2}² - 3・n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2
= n(n + 1){n(n + 1) - (2n + 1) + 1}/2
= n(n + 1)(n² - n)/2
= n²(n + 1)(n - 1)/2

最後の式はn = 1のとき0です。元の和も1項だけで2 − 3 + 1 = 0なので、端の条件に合います。n = 2では2項目が16 − 12 + 2 = 6で、和は6です。答えに2を代入しても6です。負の係数を分配するとき、二乗和の項全体に負号が掛かる点が要所です。

別の見方として、元の項をk(k − 1)(2k − 1)と因数分解できます。ただし、積に分けた後で三つの和の積に変えることはできません。公式に直接つなげるには、元の多項式に戻して各次数の和を取ります。

発展例題：係数を条件から決める

実数aについて、Σ[k=1..3] (k³ + ak²) = 78となるaを求めます。答えは整数または既約分数で表します。aはkによらないので、二乗和の外へ出せます。

Σ[k=1..3] (k³ + ak²) = 78
Σ[k=1..3] k³ + a Σ[k=1..3] k² = 78
{3・4/2}² + a・3・4・7/6 = 78
36 + 14a = 78
14a = 42
a = 3

14は0でないため、最後に割れます。元の条件に戻すと、3項は4、20、54です。4 + 20 + 54 = 78となり、指定された和に一致します。もし係数の和が0となる別の問題なら、無条件に割らず、残る等式が成り立つかによって解が存在するかを調べます。この例では二乗の和が正なので、その分岐は起きません。

和を計算する前にaの値を推測しても、条件を満たす候補が得られることはあります。しかし、候補を一つ見つけただけでは他の値がない理由が残ります。上の一次方程式は元の条件と同値であり、係数14が非零なので、求めた値に決まります。

間違いを式の順番から直す

二乗和をΣ[k=1..2] k² = (1 + 2)² = 9とする答えを考えます。これはΣの内側のk²を計算する前に、kを足してから二乗してしまった点が誤りです。図3のように、それぞれの計算を最後まで進めると結果が分かれます。

図3の上段が求めたい二乗和で、1² + 2² = 5です。下段は和の二乗で、(1 + 2)² = 9です。差の4は、展開したときの2・1・2に当たります。式の形が似ていても、二乗がΣの内側にあるか外側にあるかを見ます。

別の誤りは、Σ[k=1..n] (k² + 2)を二乗和に2を加えるだけで済ませることです。各項に2があり、項はn個なので定数部分は2nです。n = 1では偶然2と2nが一致するため、その例だけでは間違いに気づけません。n = 2なら定数部分は2 + 2 = 4となります。最初の項と最後の項を実際に書き出せば、定数の個数を見直せます。

練習問題

各問のkは1から指定された上端までの整数を動きます。求める数値は整数または既約分数で表し、文字式は因数分解した形で答えてください。

1. Σ[k=1..5] k²を求めてください。
2. Σ[k=1..6] (3k + 4)を求めてください。
3. Σ[k=1..7] (k² − k)を求めてください。
4. 自然数nについて、Σ[k=1..n] (k³ + k)をnの式で求めてください。
5. 実数bについて、Σ[k=1..2] (2k³ + bk) = 27となるbを求めてください。

解答と解き方

1. 二乗和の公式にn = 5を入れます。

Σ[k=1..5] k²
= 5・6・11/6
= 55

直接足しても1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55です。5項を数え、最後の25まで含めています。

2. 一次の部分と定数の部分を分けます。定数4は6個です。

Σ[k=1..6] (3k + 4)
= 3 Σ[k=1..6] k + 4・6
= 3・6・7/2 + 24
= 63 + 24
= 87

元の6項は7、10、13、16、19、22で、その合計も87です。定数の和を4とする失敗は、この列の各項に4が入ることから直せます。

3. 二乗和から一次の和を引きます。負号は後ろの和全体に掛かります。

Σ[k=1..7] (k² - k)
= 7・8・15/6 - 7・8/2
= 140 - 28
= 112

元の項は0、2、6、12、20、30、42です。これらの合計も112となります。先頭の0も1項として含めています。

4. 自然数nに対して三乗和と一次の和を分けます。

Σ[k=1..n] (k³ + k)
= {n(n + 1)/2}² + n(n + 1)/2
= n(n + 1){n(n + 1) + 2}/4

n = 1では元の項は2で、答えも2です。n = 2では2 + 10 = 12であり、式も12を与えます。これは端の照合であって、一般式の証明は有限和の線形性と公式への代入にあります。

5. bは定数なので、一次の和の外へ出します。

Σ[k=1..2] (2k³ + bk) = 27
2・{2・3/2}² + b・2・3/2 = 27
18 + 3b = 27
3b = 9
b = 3

3は0でないため割れます。元の2項にb = 3を代入すると5と22で、合計は27です。条件の和に戻ることまで確かめられます。

手元に残す要点

• 二乗和は各項を二乗して足し、和の二乗は先に足します。
• 同じ範囲の有限和は、和や定数倍を項ごとに分けられます。
• 定数の和は定数に項数を掛け、三乗和には一次の和の二乗を使います。
• 答えは元の項や条件に戻し、端の項と符号を照合します。

どこで止まったかを見つける

計算が合わないときは、まずΣの右側にある括弧を指で囲み、kに最初の値を入れて1項を書きます。その項と分けた後の各部分が一致しなければ、線形性の適用に戻ります。一致するなら、公式に入れた上端と定数の個数を確かめます。最後に分母を払う行や負号の付く行を追えば、整理の誤りと立式の誤りを区別できます。

個別指導で確認するなら、答えだけでなく、どの時点で二乗したかを声に出して説明してみてください。小さい上端で実際の項を足し、式の表す操作と照らすと、次に直す行が見つかります。二乗の位置を読むことが、和の計算の出発点です。