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高校数学B 二階の階差数列—差を二度戻して必要な初期条件をそろえる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 数列を掘り下げる

最初の差と初項から一般項へ戻り、添字のずれや条件不足を点検する鍵は二階の階差です。

よくあるのは、高2の高校生が二階差だけで元の数列が一つに決まると考える場面です。差を取る操作では、数列全体を同じ数だけ動かしても結果が変わりません。二度差を取れば、さらに最初の増え方に関する情報も失われます。

二階差が一定という条件は強力ですが、元へ戻すにはどこから始め、最初にどれだけ増えたかを確かめる必要があります。差を二段階でたどり、端の項を確かめながら一般項を作ります。

どんな条件を読み取るか

一つ目は、初項と第2項、そして一定の二階差が与えられて一般項を求める形です。第2項から初項を引けば最初の差が得られます。数の並びを推測する前に、この差が二階差とは別の条件であることを押さえます。

二つ目は、いくつかの離れた項と二階差から、欠けた初期条件を求める形です。たとえば初項と第4項が与えられたら、その間にある3個の差の和が両項の差になることを使います。初項から第4項までの項は4個ですが、隣り合う差は3個です。

三つ目は、並んだ数から規則を予想し、その規則が後の項にも成り立つかを考える形です。有限個の値に合う式は一つとは限りません。問題が二階差の条件をすべての自然数の添字について与えているのか、それとも数項を見せているだけなのかを区別します。

差を取る向きと戻す向き

自然数 n に対して元の数列を aₙ とし、隣り合う項の差を bₙ = aₙ₊₁ − aₙ とします。さらに cₙ = bₙ₊₁ − bₙ を二階差と呼びます。いずれも n = 1, 2, 3, … で定めます。たとえば c₁ は b₂ − b₁ であり、a₃ − 2a₂ + a₁ に等しい量です。

図1のように、上の段から下の段へは隣同士の差を取ります。戻るときは逆に足しますが、最初の位置がわからなければ足し始められません。図1では b₁ と a₁ が、それぞれ戻る段階の出発点です。

cₙ がすべて同じ数 c なら、bₙ₊₁ − bₙ = c です。したがって bₙ は初項 b₁、公差 c の等差数列なので、自然数 n について次のようになります。

bₙ = b₁ + (n - 1)c

次に a₁ から aₙ へ進むため、n が 2 以上なら b₁ から bₙ₋₁ までの差を足します。途中の a₂ から aₙ₋₁ が正負で打ち消し合うので、次の式が得られます。

aₙ = a₁ + Σ[k=1..n-1] bₖ
   = a₁ + Σ[k=1..n-1] {b₁ + (k - 1)c}
   = a₁ + (n - 1)b₁ + c(n - 1)(n - 2)/2

最後の行は、b の項が n − 1 個あり、0 から n − 2 までの和が (n − 1)(n − 2)/2 になることから得ます。分母の 2 は 0 ではありません。n = 1 では上の和を使わず初項を直接確かめます。最後の式に n = 1 を入れると a₁ が出るので、この式は n = 1 も含む自然数で使えます。

この式には c のほかに a₁ と b₁ が残ります。c = 0 なら bₙ は一定で、元の数列は等差数列です。初項が 0 の場合や最初の差が負の場合も、式にそのまま入ります。これらを消したり正と決めたりする必要はありません。

基本例題：差を二段階で積み上げる

数列 aₙ は a₁ = 3、a₂ = 8 を満たし、すべての自然数 n で二階差 cₙ = 4 です。一般項を n の式で求め、n の範囲も示してください。

まず b₁ = a₂ − a₁ = 8 − 3 = 5 です。図2のように一階差は 5 から 4 ずつ増えます。元の項は各差を順に足して得られ、図2の値は条件をたどって作ったものです。

bₙ は初項 5、公差 4 の等差数列なので、自然数 n に対して次を得ます。

bₙ = 5 + 4(n - 1)
   = 4n + 1

n が 2 以上のとき、初項から n − 1 個の差を足します。項数と最後の差を明示してから計算します。

aₙ = 3 + Σ[k=1..n-1] (4k + 1)
   = 3 + 4(n - 1)n/2 + (n - 1)
   = 2n² - n + 2

n = 1 を最後の式へ入れると 2 − 1 + 2 = 3 で、初項に一致します。したがって答えは自然数 n に対し aₙ = 2n² − n + 2 です。

条件へ戻して点検します。この式では a₂ = 8 で、差は次のようになります。

aₙ₊₁ - aₙ = {2(n + 1)² - (n + 1) + 2} - (2n² - n + 2)
              = 4n + 1
bₙ₊₁ - bₙ = {4(n + 1) + 1} - (4n + 1)
              = 4

第1項だけでなく第2項と二階差にも戻るので、与えられた条件を満たします。これらの条件から各差、各項を順に決められるため、同じ条件を満たす数列はこの数列に限られます。数項の一致は計算の点検には有効ですが、それだけで先のすべての項の証明にはなりません。

標準例題：離れた項から最初の差を決める

数列 aₙ は a₁ = 2、a₄ = 20 を満たし、すべての自然数 n で二階差は 3 です。一般項を n の式で求め、n の範囲も示してください。

b₁ を文字のまま置くと、一階差は公差 3 の等差数列です。第1項から第4項までは差を3個足して進みます。

b₂ = b₁ + 3
b₃ = b₁ + 6
a₄ - a₁ = b₁ + b₂ + b₃
20 - 2 = b₁ + (b₁ + 3) + (b₁ + 6)
18 = 3b₁ + 9
b₁ = 3

3 は 0 ではないため割ることができます。したがって一階差と元の数列は順に次のようになります。

bₙ = 3 + 3(n - 1)
   = 3n

n が 2 以上のとき、差を n − 1 個足します。

aₙ = 2 + Σ[k=1..n-1] 3k
   = 2 + 3(n - 1)n/2

n = 1 を最後の式へ入れても 2 です。よって自然数 n に対し aₙ = 2 + 3n(n − 1)/2 です。n = 4 では 2 + 3・4・3/2 = 20 に戻り、隣の項との差は 3n、さらにその差は 3 です。

別の考え方として、初項を含む式 aₙ = a₁ + (n − 1)b₁ + c(n − 1)(n − 2)/2 に n = 4 を代入しても b₁ を求められます。ただし、この式は二階差が対象の添字すべてで一定という条件から導いたものです。与えられた数項の差が偶然一定だっただけなら、後続の項に適用できません。

発展例題：不足する条件と予想の限界

数列 aₙ はすべての自然数 n で二階差が -2 で、a₂ = 7、a₅ = 4 です。一般項を n の式で求め、n の範囲も示してください。また、二階差の条件を外し、この2項だけを残した場合に一般項が一つに定まるか答えてください。

一階差の初項を b₁ とします。公差は -2 なので、a₂ から a₅ までの差を3個足して b₁ を求めます。

b₂ = b₁ - 2
b₃ = b₁ - 4
b₄ = b₁ - 6
a₅ - a₂ = b₂ + b₃ + b₄
4 - 7 = (b₁ - 2) + (b₁ - 4) + (b₁ - 6)
-3 = 3b₁ - 12
b₁ = 3
a₁ = a₂ - b₁
   = 4

n が 2 以上のとき、bₖ = 3 − 2(k − 1) = 5 − 2k を初項から足します。

aₙ = 4 + Σ[k=1..n-1] (5 - 2k)
   = 4 + 5(n - 1) - (n - 1)n
   = -n² + 6n - 1

n = 1 でも最後の式は 4 です。自然数 n に対する答えは aₙ = -n² + 6n − 1 です。a₂ = 7、a₅ = 4 に戻り、aₙ₊₁ − aₙ = 5 − 2n なので二階差も -2 です。負の二階差は、一階差が毎回 2 ずつ小さくなることを表します。元の項が常に負になるという意味ではありません。

二階差の条件を外すと、2項だけでは一般項は一つに定まりません。たとえば今の式に (n − 2)(n − 5) を足した式は、n = 2 と n = 5 では元と同じ値を取りますが、n = 1 では別の値を取ります。与えられた位置で合うことと、指定の規則に従うことは別の確認です。

誤答を直す：差の個数と初期条件

基本例題の条件で、次のように計算したとします。

aₙ = 3 + Σ[k=1..n] (4k + 1)

これは誤りです。図3のように a₁ から aₙ へ進む差の最後は bₙ₋₁ です。bₙ まで足すと、目的の aₙ を通り過ぎて aₙ₊₁ に着きます。たとえば n = 2 のとき、必要なのは b₁ = 5 だけですが、誤った式は b₂ = 9 も足して 17 を返します。

修正後の上端は n − 1 です。n = 1 では差を足す前の初項を直接読むことで、上端が 0 になる和を無断で使わずに済みます。n = 2 で a₁ + b₁ = a₂ に戻るかを見ると、端の間違いを早く見つけられます。

もう一つの誤りは「二階差が 4 なら一般項は必ず 2n² − n + 2」と決めることです。たとえば 2n² + 7n − 6 も二階差は 4 ですが、初項は 3、最初の差は 13 です。二階差と初項が同じでも最初の差が異なります。失われた2つの情報を、初項と最初の差、またはそれらを決められる別の2条件で補います。

練習問題

各問の数列は自然数 n について定義され、二階差の条件はすべての自然数 n で成り立つものとします。一般項を問う場合は n の式とその範囲を答えてください。

a₁ = -1、a₂ = 1、二階差が 6 のとき、一般項を求めてください。
a₁ = 9、a₄ = 3、二階差が 0 のとき、一般項を求めてください。
a₁ = 5、a₃ = 8、二階差が -1 のとき、一般項を求めてください。係数は分数で表してください。
a₂ = -2、a₄ = 10、二階差が 2 のとき、一般項を求めてください。
初項が 6、二階差が 8 の数列について、最初の差を t とおき、一般項を n と t の式で表してください。また、これらの条件だけで第3項が一つに決まるか答えてください。

練習問題の答えと道筋

1. 初項と第2項から始める

最初の差を求め、そこに二階差を加えて一階差の式を作ります。

b₁ = 1 - (-1) = 2
bₖ = 2 + 6(k - 1)
   = 6k - 4

n が 2 以上なら、n − 1 個の差を足します。

aₙ = -1 + Σ[k=1..n-1] (6k - 4)
   = -1 + 3n(n - 1) - 4(n - 1)
   = 3n² - 7n + 3

n = 1 でも -1 となるため、自然数 n で aₙ = 3n² − 7n + 3 です。n = 2 で 1、隣の項との差は 6n − 4、その差は 6 となり元の条件に戻ります。

2. 二階差が 0 の場合

一階差は一定です。初項から第4項までの3個の差の合計を使います。

3 - 9 = 3b₁
b₁ = -2
aₙ = 9 - 2(n - 1)
   = 11 - 2n

自然数 n に対し aₙ = 11 − 2n です。n = 1 で 9、n = 4 で 3 に戻り、隣の項との差は常に -2 なので二階差は 0 です。二階差が 0 でも初項や一階差が 0 とは限りません。

3. 分数を含む一般項

初項から第3項へは2個の差を足します。二階差が負なので、2個目の差は最初の差より 1 小さくなります。

8 - 5 = b₁ + (b₁ - 1)
3 = 2b₁ - 1
b₁ = 2
bₖ = 2 - (k - 1)
   = 3 - k

n が 2 以上では、次のように足します。

aₙ = 5 + Σ[k=1..n-1] (3 - k)
   = 5 + 3(n - 1) - n(n - 1)/2
   = (-n² + 7n + 4)/2

n = 1 でも 5 です。答えは自然数 n で aₙ = (-n² + 7n + 4)/2 です。第3項は 8、一階差は 3 − n、二階差は -1 となります。途中に分数があっても、式に代入した値を条件と照合します。

4. 初項が与えられていない場合

第2項から第4項までは b₂ と b₃ を足します。b₃ = b₂ + 2 に注意します。

10 - (-2) = b₂ + (b₂ + 2)
12 = 2b₂ + 2
b₂ = 5
b₁ = b₂ - 2
   = 3
a₁ = a₂ - b₁
   = -5
bₖ = 3 + 2(k - 1)
   = 2k + 1

n が 2 以上では、次の和を計算します。

aₙ = -5 + Σ[k=1..n-1] (2k + 1)
   = -5 + n(n - 1) + (n - 1)
   = n² - 6

n = 1 でも -5 となるので、自然数 n で aₙ = n² − 6 です。第2項は -2、第4項は 10、差は 2n + 1、その差は 2 です。元の条件をそれぞれ満たします。

5. 条件が足りるかを判断する

最初の差を t とすると bₖ = t + 8(k − 1) です。n が 2 以上のとき、次のように戻します。

aₙ = 6 + Σ[k=1..n-1] {t + 8(k - 1)}
   = 6 + (n - 1)t + 4(n - 1)(n - 2)

n = 1 でも 6 です。したがって自然数 n で、この最後の式が一般項です。第3項は 6 + 2t + 8 = 14 + 2t で、t が指定されていないため一つに決まりません。たとえば t = 0 なら 14、t = 1 なら 16 です。どちらも初項は 6、一階差の増分は 8 であり、元の条件に戻ります。