中学受験算数 三角定規の角—重なりの印を読み取り足す角と引く角を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

45度と60度の角が重なる図で、共通部分を二重に数えない式を、線の並びと結び付けて考えます。

よくあるのは、三角定規を重ねた図で、重なった角を二重に足す小4の場面です。45度と60度が見えると、すぐに足したくなるかもしれません。しかし、2つの角が同じ場所をふくむとき、その場所を2回数えてしまいます。角の印がどの辺からどの辺までを示すのかを見て、足すか引くかを決めましょう。

何を求める問題か

三角定規の問題には、いくつかの形があります。1つ目は、2枚の角が頂点を共有し、横に並ぶ場合です。間に重なりがなければ、それぞれの角を足して外側の角を求められます。角の大きさだけでなく、2つの角がどこで接しているかを確かめます。

2つ目は、角の一部が重なる場合です。2枚分をそのまま足すと共通の部分が2回入ります。外側全体を1回ずつ数えるため、重なりを1回引きます。反対に、外側全体の角が与えられれば、重なりを逆に求められます。

3つ目は、1枚の角の中にもう1枚の角の辺が入り、角を2つに分ける場合です。大きい角から片方を引けば残りが出ます。どの場合も、図の見た目の広さを測るのでなく、条件と角の印を手がかりにします。紙を裏返したり回したりしても、三角定規そのものの角の大きさは変わりません。

定規の角と重なりの読み方

三角定規には2種類あります。直角をはさむ2辺が同じ長さのものは、3つの角が45度、45度、90度です。もう1枚は30度、60度、90度です。直角は90度で、小さな四角の印で示されることがあります。角の印は辺の長さを示す印ではありません。

図1は、頂点Oから3本の線を出した模式図です。下の線から真ん中の線までが45度、真ん中から上までが30度です。2つは真ん中の線で接しますが、内側は重なりません。下から上までの角は、45度と30度を足した75度です。

図1では、どちらの角も始まりと終わりを指でたどれます。角の大きさは、2本の線の開き具合です。線が長く描かれていても、それ自体で角が大きくなるわけではありません。頂点が同じで、求める範囲が2つのすき間のない部分に分かれることを確認してから足します。

重なるときは、共通部分を別の小さな角として分けます。たとえば、左の角が「左側の部分と共通部分」、右の角が「共通部分と右側の部分」なら、2つを足した中に共通部分が2回あります。外側全体では共通部分も1回しか通らないので、1回分を引きます。どの部分が共通かが不明なら、数値だけでは答えを決められません。

基本例題: 重なりを1回引く

2枚の三角定規を頂点Oで重ねます。Oから右向きに線OAを引き、そこから上向きに測って、線OBを45度、線OCを60度の位置に引きます。45度の角AOBと60度の角AOCがあり、BはAとCの間にあります。角BOCを求めましょう。

図2では、角AOCの内側に角AOBがあります。角AOCを、角AOBと角BOCに分けると、重なりなく60度全体を数えられます。角AOBは45度なので、残りの角BOCは引き算で求めます。

60 − 45 = 15

答えは15度です。45 + 60 = 105とすると、同じAからBまでの45度を2回数えます。また、105度はAからCまでの60度より大きく、BからCまでの小さな角にはなりません。答えの大きさが、もとの全体より小さいかも確かめましょう。

ここでは2枚が同じ方向の辺OAを共有しています。45度と60度の角という情報だけでは、定規を別の向きに置くこともできます。共通の辺と、BがAとCの間にある条件があるから、引き算の順序を決められます。三角定規の外形のうち、求める角を作らない辺に注目しすぎないようにします。

少し難しい例題: 共通部分を求める

頂点Pから出る4本の線が、右回りにPA、PB、PC、PDの順に並んでいます。角APCは60度、角BPDは45度、角APDは90度です。角BPCを求めます。どの角も、この並びに沿った90度以内の角です。

角APCと角BPDを重ねると、共通するのは角BPCです。AからCまでとBからDまでを足すと、AからDまでを1回数えた上で、BからCまでをもう1回数えています。したがって、足した値から全体を引けば重なりが残ります。

60 + 45 = 105

105 − 90 = 15

答えは15度です。途中で105度という数が出ますが、それは2つの角を合わせて数えた量です。図の外側全体の角が105度という意味ではありません。確かめとして、共通部分を15度とすると、AからBまでは60 − 15 = 45度、CからDまでは45 − 15 = 30度です。45 + 15 + 30 = 90度となり、外側全体の条件に合います。

基本例題では、一方の角がもう一方の中に入っていました。この問題では、どちらの角にも相手と重ならない部分があります。2つの数の大きい方から小さい方を引くだけでは、共通部分を取り出せません。4本の線の順番を書き、各角がどこからどこまで続くかを区間として追うのが分かれ目です。

誤答を線の順に直す

図3は、直角の内側に45度と60度の角が重なった様子です。下の線からBまでが45度、Cから上の線までが60度です。BとCの間が共通部分です。45 + 60 = 105として、重なりを含む全体も105度と答えるのは誤りです。

図3の45度と60度には共通の角が含まれています。2つを足した105度は、直角90度を1回数え、さらに共通部分を1回余分に数えた量です。余分な分は105 − 90 = 15度です。重なりを引いて外側全体を求め直すと、45 + 60 − 15 = 90度になります。

別の誤りは、直角の印を見落として、図の傾きから全体を目測することです。小さな四角が示すのは、印の両側の辺が作る90度です。四角の近くの別の角も90度になるとは限りません。印の頂点と2辺をなぞり、どの範囲かを先に確定します。

また、45度と60度を引いた15度が偶然正しい場面があっても、その式だけでは理由になりません。図3の重なりは、外側の90度と2つの角の関係から求めています。線の順番を変えれば、同じ2つの数でも重なりが変わることがあります。使った条件を式の横に書き、数字だけで選んだ計算になっていないか見直しましょう。

線の順番を書き出す練習

重なりの問題では、定規の色や表裏よりも、頂点から出る線の順番が役に立ちます。まず共通の頂点に指を置き、外側の線から反対の外側の線まで、間にある線を順に追います。次に、問題が示す角の始まりと終わりをそれぞれ確認します。この2つの作業を分けると、図の線が多いときも、どの部分を数えるのかを整理できます。

紙に線の名前を並べ、各角の範囲に下線を引く方法もあります。2本の下線が重なる区間が共通部分です。下線が端で接するだけなら、共通の広がりはありません。その場合は、両方の角を足しても同じ角を二重に数えることにはなりません。線そのものの太さではなく、線と線の間の開きを数えているからです。

一方の下線がもう一方の内側に収まるなら、外側の角から内側の角を引きます。2本の下線が途中で重なり、それぞれ片側にはみ出すなら、両方の角を足した後で外側全体を引きます。同じ「重なる」という言葉でも、位置関係によって使う式が変わります。

線の順番が示されていないときは注意が必要です。45度と60度の三角定規があるというだけでは、2枚を回したり離したりできます。頂点を合わせても、どの辺が共通か、どの部分が重なるかによって求める角は変わります。見た目がそれらしくても、問題にない平行や直角を勝手に付け加えてはいけません。

たとえば直角を持つ定規を置いても、その直角の頂点と、求めたい角の頂点が別なら、そのまま90度を使うことはできません。直角の印をはさむ辺をたどり、求める範囲につながっているかを確かめます。必要な条件が図の印や文章から読み取れない場合は、答えを決めずに、どの関係が不足しているかを言葉にします。

答えが出た後は、式を逆向きに確かめられます。全体から片方を引いて残りを出したなら、残りと片方を足して全体に戻るかを見ます。重なりを求めたなら、重なりを1回だけ引いたときに外側全体になるかを見ます。これは計算のまちがいだけでなく、範囲の取り違えにも気づくための確認です。

計算の途中で出た数が、実際の1つの角を表すとは限りません。重なりを2回含む合計は、図のどの角より大きくなることもあります。その数に角の印を付けず、何を数えた値かを言葉で添えましょう。

角の大きさの見積もりも役立ちます。直角の中の一部分を求めているのに、答えが90度を超えたら、数えた範囲を調べ直します。ただし、図は模式的に描かれることもあります。見積もりは検算の手がかりとし、最終的には角の印と文章の条件で判断します。

練習: 印の範囲を追う

次の問題では、各線は同じ頂点から出ています。角は指定した線の順に測る小さい方の角です。答えを見る前に、線を順に書き、各角の始まりと終わりを指で追ってみましょう。

問題1

頂点Qから線QA、QB、QCがこの順に並びます。角AQBは30度、角BQCは45度です。角AQCは何度ですか。

問題2

頂点Rから線RA、RB、RCがこの順に並びます。角ARCは90度、角ARBは60度です。角BRCは何度ですか。

問題3

頂点Sから線SA、SB、SC、SDがこの順に並びます。角ASCは90度、角BSDは60度、角ASDは120度です。角BSCは何度ですか。

問題4

頂点Tから線TA、TB、TCがこの順に並びます。角ATCは45度です。角ATBと角BTCは同じ大きさです。それぞれ何度ですか。

練習の答えと考え方

問題1は75度です。角AQBと角BQCは辺QBで接し、内側は重なりません。30 + 45 = 75です。もし2つを引くと、AからCまでの途中にある一方の部分が消えてしまいます。

問題2は30度です。直角の全体から、AからBまでを引きます。90 − 60 = 30です。BがAとCの間にあるので、残りはBからCまでです。直角の印が示す2辺を取り違えていないか確認します。

問題3は30度です。AからCまでとBからDまでを足すと、BからCまでが2回入ります。90 + 60 = 150、150 − 120 = 30です。確かめると、AからBまでは90 − 30 = 60度、CからDまでは60 − 30 = 30度です。60 + 30 + 30 = 120度で、外側全体と一致します。外側が直角でない場合も、全体の値を使う考え方は同じです。

問題4はそれぞれ22.5度です。45度が重ならない2つの等しい角に分かれます。45 ÷ 2 = 22.5です。22.5 + 22.5 = 45となり、条件に戻ります。三角定規の角そのものが22.5度だと考えるのではなく、45度を等しく分けた結果と読みます。

覚えておくこと

• 三角定規の角は45度、45度、90度と、30度、60度、90度の組です。
• 接して並ぶ角は、重なりがないことを確かめて足します。
• 一方が他方の内側にあるときは、全体から内側を引きます。
• 重なる2つを足した値から外側全体を引くと、共通部分が残ります。
• 角の印の頂点と両側の辺を追ってから式を選びます。

家での確かめ方

お子さまが足し算を選んだら、まず「その式の中で、同じ場所を2回通っていないかな」と尋ねます。指で2つの角を順にたどってもらい、重なるところに小さな印を付けます。引き算を選んだ場合は「全体はどこからどこまでかな」と聞き、引く角がその内側にあるかを見ます。

答えを先に伝えるより、どの線が角の境目かをお子さま自身が示せるまで待ちます。その後、式と図の対応を1つずつ確かめ、最後に結果を元の条件へ戻します。三角定規の角は、線の順番を追うと重なりが見えてきます。