中学受験算数 影の長さ—同じ時刻の三角形を描いて高さを比で求める｜武蔵野個別指導塾

棒と木の高さ・影を対応させる比の置き方や、影の先端が共通のときに地面の長さを足す理由を確かめます。

よくあるのは、身長と影の比の順を途中で入れ替える小6の場面です。棒の高さと影の長さを比べたはずなのに、次の行では木の影と高さの順に並べてしまいます。数字を計算する前に、地面と高さでできる三角形を描き、どの長さがどれに対応するかをそろえましょう。

ここで扱う問題では、地面は平らで、棒や木は地面に垂直に立ちます。同じ場所で同じ時刻にできた影を使い、棒の先端から影の先端へ引く線は互いに平行とします。この条件のもとで三角形の形を比べます。影の先端がどこかを決めずに、見た目の長さだけで比を作らないことが出発点です。

どんな長さを求めるのか

1つ目の型は、棒の高さと影の長さ、木の影の長さから、木の高さを求める問題です。高さが直接測れなくても、地面の上で測れる影を手掛かりにします。棒と木の足元からそれぞれの影の先端までが、比に使う影の長さです。

2つ目は、2つの高さと片方の影が示され、もう一方の影を求める問題です。求めるものが高さから影に変わっても、対応は高さ同士、影同士です。未知の場所を表の空欄にして、求める順番を考えます。

3つ目は、影の差や、棒と木の間隔を使う問題です。影の差は、2つの影の長さそのものではありません。先端が同じ点になるといった位置の条件があれば、地面に順に点を並べて、長い影と短い影を区別します。位置の条件がなければ、差や間隔を勝手に影の長さとみなせません。

三角形と対応をそろえる

棒の頂点、地面の足元、影の先端を結ぶと直角三角形になります。木についても同じ3点を結びます。足元の角はどちらも直角です。また、頂点と影の先端を結ぶ線が平行なので、地面となす角も等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいため、2つの三角形は相似（そうじ）です。相似とは、形が同じで大きさが違う場合も含む関係です。

図1では、縦の辺が高さ、地面に沿う横の辺が影です。斜めの辺は頂点と影の先端を結んだ線です。2本の斜めの線が平行であることと、両方の足元が直角であることを確認してから比に進みます。三角形が離れていても、それぞれを描き直せば対応を見つけられます。

対応する辺は、棒の高さと木の高さ、棒の影と木の影です。たとえば、棒の高さが木の高さの3分の1なら、棒の影も木の影の3分の1です。同じ向きに「棒 : 木」でそろえると、高さの比と影の比が等しくなります。別の書き方として「高さ : 影」を棒と木でそろえてもかまいません。ただし途中で片方の順番だけを逆にすると、別の比になります。

平らな地面は、2つの影が同じ向きの直線上にあるという意味ではありません。影の長さをそれぞれの足元から測れるよう、問題で示された方向や点を確かめます。傾いた地面や垂直でない棒では、上の直角三角形として扱う根拠が失われます。同じ時刻という条件がなく、斜めの線の平行も示されていなければ、比が等しいと決める材料が足りません。

基本例題：棒から木の高さを求める

平らな地面に垂直に立つ高さ1.5 mの棒と木があります。同じ場所、同じ時刻に測ると、棒の影は2 m、木の影は8 mでした。棒と木の頂点からそれぞれの影の先端を結ぶ線は平行です。木の高さを整数のmで答えましょう。

図2の棒と木は、どちらも足元が直角です。斜めの線も平行なので、できた三角形は相似です。まず、対応する値を同じ列に置きます。

影の比は、棒 : 木 = 2 : 8 = 1 : 4 です。影が棒の4倍なので、対応する高さも棒の4倍になります。順番を入れ替えず、木の高さへ進みます。

1. 8 ÷ 2 = 4。木の影は棒の影の4倍です。
2. 1.5 × 4 = 6。木の高さは棒の高さの4倍です。
3. 答えは6 mです。

高さ : 影で確かめると、棒は1.5 : 2、木は6 : 8です。木の両方の長さを4で割ると1.5 : 2に戻ります。比を作る方向がそろっていることが確認できます。長さの単位をそろえてから計算すると、たとえばcmとmをそのまま比べてしまう失敗も防げます。

木の影の8 mは、木の足元から影の先端までの長さです。棒と木の間の距離でも、2つの影の先端の間の距離でもありません。図を読むときには、8 mの両端を指でたどってから表に移しましょう。三角形を重ねて考える必要はなく、離れた2つを同じ向きに描き直しても対応は変わりません。

同じ倍率を使う理由を、表の2列でも見直せます。棒の高さと影をどちらも4倍すると、木の高さと影になります。片方だけを4倍した組は、木の三角形の2辺として対応しません。比の等しさを確かめる際は、最初にどの列からどの列へ移るかを決めます。

もし棒の影の数値が示されていなければ、この例の倍率は決まりません。木の影が8 mとわかっていても、それを棒のどの長さと比べるかが欠けるからです。高さ1.5 mだけを手掛かりに木の高さを決めず、必要な影の長さがそろっているかを確認します。条件不足という判断も、数字を選ぶ作業の一部です。

一歩進める：影の先端が同じ点にあるとき

平らな地面に、高さ1.2 mの棒と木が垂直に立っています。同じ場所、同じ時刻にできる2つの影は同じ直線上にあり、先端は共通の点です。棒は木と影の先端の間にあり、木の足元から棒の足元までが6 m、棒の足元から共通の先端までが2 mです。頂点と影の先端を結ぶ2本の線は平行です。木の高さを小数のmで答えましょう。

先に地面の点を「木の足元、棒の足元、共通の先端」の順に並べます。棒の影は2 mですが、木の影は木の足元から共通の先端までなので、6 mと2 mを合わせます。6 mは木の影のうち棒の影より長い部分であって、木の影全体ではありません。

1. 6 + 2 = 8。木の影は8 mです。
2. 8 ÷ 2 = 4。木の影は棒の影の4倍です。
3. 1.2 × 4 = 4.8。木の高さは4.8 mです。

答えは4.8 mです。高さ : 影で確かめると、棒の1.2 : 2と木の4.8 : 8は、両方の項をそれぞれ4倍した関係です。地面の長さを足す理由と、三角形の対応を使って高さを4倍する理由は別です。最初に点の順序を決め、その後で比を使います。

同じ先端という条件がない場合、木と棒の間が6 mだからといって、木の影が棒の影より6 m長いとは限りません。また、棒が木と先端の間にあるという条件が逆なら、足し算の関係も変わります。見た目が似た図でも、点の並びを文章で確かめてから線分に数字を書き込みます。影が重なる部分を二重に数えず、足元から先端までを1本の長さとして読むことが判断の分かれ目です。

逆に並べた比を直す

基本例題で「棒の高さ : 棒の影 = 木の影 : 木の高さ」としてしまう誤答を考えます。左は高さ : 影ですが、右は影 : 高さです。これを使うと木の高さを2 ÷ 1.5 × 8と計算し、約10.67 mとしてしまいます。これは誤った式による値で、答えではありません。木の影が棒の4倍という対応も使えていません。

図3の左では棒を高さから影へ読んでいるのに、右では木を影から高さへ読んでいます。正しくは、両方を高さから影へ読むか、両方を棒から木へ読みます。空欄を無理に埋める前に、表の行と列に書いた言葉を声に出して追い直しましょう。

たとえば「棒の影 : 木の影 = 棒の高さ : 木の高さ」と書けば、どちらも棒 : 木の順です。2 : 8 = 1.5 : 6となり、正しい高さ6 mに戻ります。逆に「木 : 棒」でそろえるなら8 : 2 = 6 : 1.5でも成立します。順番そのものが一種類に決まるのではなく、等号の両側で対応をそろえることが大切です。

別の誤りは、高さがわからないからといって影同士を足すことです。相似から直接わかるのは対応する長さの倍率であり、足し算で高さを出すという意味ではありません。先端が共通の問題で足し算を使ったのは、地面の点の位置から影全体を求めるためでした。計算の前に、その式が地面の長さを作る式か、対応する辺の倍率を使う式かを分けて考えます。

数値が大きい三角形を大きい方と見て対応を決めるだけでは不十分です。縦の高さと横の影という役割を記し、等しい角を手掛かりに辺を結び付けます。

比を書く前に、図の縦と横の長さがそれぞれ何を表すか確かめておきます。

練習：条件を読んで影と高さをつなぐ

いずれも地面は平らで、棒と木は地面に垂直に立っています。同じ場所、同じ時刻に測り、各頂点と影の先端を結ぶ線は互いに平行です。長さの単位はmです。各問で影は足元から先端まで測ります。

問題1

高さ2 mの棒の影が3 mです。同じ時刻の木の影が18 mのとき、木の高さを整数のmで答えましょう。

問題2

高さ2.4 mの棒の影が1.6 mです。高さ6 mの木の影を小数のmで答えましょう。

問題3

高さ1.8 mの棒の影は1.2 mです。木と棒の影は同じ直線上で先端が共通です。棒は木と先端の間にあり、木の足元から棒の足元までの距離は4.8 mです。木の高さを整数のmで答えましょう。

問題4

高さ3 mの棒の影は2 mです。別の木の高さは9 mですが、その影の長さは測っていません。棒と木の足元の間は5 mです。木の影の長さを整数のmで答え、足元の間の距離を使う必要があるかも説明しましょう。

練習の答えと道筋

問題1の答え

影は棒 : 木 = 3 : 18 = 1 : 6です。木の影は棒の影の6倍なので、対応する高さも6倍です。

2 × 6 = 12。答えは12 mです。高さ : 影は棒が2 : 3、木が12 : 18で、両方の項が6倍になっています。棒と木の比を高さと影で同じ順に置けています。

問題2の答え

木の高さが棒の何倍かを先に求めます。6 ÷ 2.4 = 2.5です。対応する影も2.5倍なので、1.6 × 2.5 = 4となります。答えは4.0 mです。

影 : 高さで確かめると、棒は1.6 : 2.4、木は4 : 6です。棒の両方を2.5倍すると木の比になり、求める長さが影であることも表から追えます。高さの倍率を影に移すとき、割る数と割られる数を逆にしないようにします。

問題3の答え

地面の点は木の足元、棒の足元、共通の先端の順です。棒の影は1.2 mなので、木の影は4.8 + 1.2 = 6 mです。影の比は棒 : 木 = 1.2 : 6 = 1 : 5です。

木の影は棒の影の5倍です。棒の高さ1.8 mを5倍すると、木の高さは1.8 × 5 = 9 mです。答えは9 mです。9 : 1.8も5 : 1なので、対応がそろっています。

問題4の答え

高さは棒 : 木 = 3 : 9 = 1 : 3です。木の高さは棒の3倍なので、木の影も棒の影の3倍です。2 × 3 = 6。答えは6 mです。

足元の間の5 mは使う必要がありません。2つの三角形の対応する高さと棒の影があれば、影の倍率が決まるからです。先端が共通とも示されていないので、5 mを影の差として扱うこともできません。与えられた数字を全部計算に入れるのではなく、どの線分を表すかを確認して選びます。

覚えておくこと

• 地面が平らで、棒や木が垂直に立つ条件を確かめます。
• 同時刻の対応する三角形について、斜めの線の平行を確かめます。
• 高さ同士、影同士を対応させ、比の順をそろえます。
• 影の先端が共通なら、点の順から影全体を求めます。
• 条件が足りなければ、見た目から平行や長さを決めません。

家で見守るときの確かめ方

お子さまが答えを違えたら、最初に式を直すのではなく、地面のどこからどこまでが影かを指で示してもらいます。足元ではない点から測っていれば、三角形を描き直すところに戻れます。次に、高さと影を表に書き、棒と木の対応を横にたどってもらいましょう。

表は正しいのに計算だけが違う場合は、影が何倍かを問い返し、同じ倍率をどの高さに使うかを待ちます。先端が共通の問題であれば、点の並びと足し算の意味を先に説明してもらいます。条件が足りない図を見せ、なぜ決められないかを言葉にすることも確かめになります。自分で対応を言えたら、最後の計算と単位はお子さまに任せます。

影の両端を押さえると、比の順も落ち着いて追えます。