中学受験算数 多角形の内角の和—三角形への分割から角の合計を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

五角形を三角形3個に分ける理由と、へこんだ頂点の内角を一周から求める考え方を、例題で確かめられます。

よくあるのは、五角形の頂点を数えた小5のお子さまが、三角形も5個あると考える場面です。頂点から線を引くときは、となりの頂点までの線がすでに辺になっていることに目を向けます。できた三角形を実際に数え、その角がもとの図形の内側を重なりなくおおうことまで確かめましょう。

どの角を合わせる問題か

多角形は、直線の辺をつないで囲んだ図形です。角の合計を問う問題には、まず辺の数から内角の和を求める型があります。辺の数と頂点の数は同じですから、頂点を順にたどって数えてもかまいません。ただし、辺の途中についた印を曲がり角と取り違えないようにします。

次に、内角の和といくつかの角が示され、残りの角を求める型があります。このとき求めたいのは全体の和なのか、1か所の角なのかを区別します。全体からわかっている角を引くと残りが出ます。等しい角が複数ある場合には、残った和をその個数で分けます。

もう1つは、辺が内側に折れこむ形で、へこんだ頂点の角を読み取る型です。小さく見える外側の角をそのまま内角として使うと、和に入れる角が変わってしまいます。図形の中を指でたどり、その頂点のまわりで図形が占める側を見てから計算します。形がへこんでいても、辺が交差しない多角形なら、内角の和は同じ辺の数のへこまない多角形と同じです。

三角形に分けて考える

内角とは、となり合う2本の辺が頂点で作る角のうち、図形の内側にある角です。対角線（たいかくせん）は、となり合わない2つの頂点を結ぶ線分です。頂点を1つ選び、そこから内側を通る対角線を引くと、図形を三角形に分けられる場合があります。

図1の五角形では、AからCとDへ線を引きます。BとEはAのとなりなので、ABとAEは対角線ではなく、もとの辺です。三角形はABC、ACD、ADEの3個です。Aから見えるすき間を順に数えると、数え落としを防げます。

各三角形の内角の和は180度です。線で分けた角を集めると、もとの五角形の各頂点の内角がちょうど1回ずつ集まります。線を引いたところに新しい角が現れても、もとの角を分けたものです。余分な角を足すわけではありません。したがって、五角形の内角の和は180度を3回足した540度です。

へこみのない多角形では、1つの頂点からとなり以外の頂点へ対角線を引くと、三角形の数は頂点の数より2少なくなります。最初と最後の線はもとの辺なので、対角線の本数は頂点の数より3少なく、三角形の数とは1違います。例えば六角形なら対角線は3本、三角形は4個です。この2つを同じ数として扱わないようにします。

頂点の数から2を引く方法は便利ですが、図を見ずに線を引いてよいという意味ではありません。特にへこんだ形では、選んだ頂点から引いた線が図形の外へ出ることがあります。外を通る線では、図形の内側を重なりなく三角形に分けたことになりません。線の途中も指で追い、内側にあるかを確認してから数えます。

基本例題：六角形の残りの角

へこみのない六角形ABCDEFがあります。内角A、B、C、D、Eは順に90度、120度、135度、105度、120度です。内角Fは何度ですか。図2はこの条件を満たす六角形で、Aから対角線を引いています。

図2では、AからC、D、Eへ3本の対角線を引きます。線が内側を通ることを確かめて、次のように三角形を数えます。

4個の三角形が六角形の内側を重ならずにおおいます。よって、六角形の内角の和は次のとおりです。

180 × 4 = 720度

次に、わかっている5つの内角を足します。

90 + 120 + 135 + 105 + 120 = 570度

全体の720度にはFも含まれています。わかっている570度を引くと、Fが残ります。

720 − 570 = 150度

答えは150度です。最後に570度に150度を足すと720度になり、全体の和と合います。引き算で出た数が示された角と重複していないかも、頂点の文字で確認します。

図2のように三角形を分ける線は、答えの角を直接作るためでなく、全体の和を数えるための線です。Aの角は3本の線で小さく分かれますが、その小さな角を合わせると元のAの90度に戻ります。対角線の両側にできた角をそれぞれ数えても、重なっているわけではありません。

へこんだ形では内側を選ぶ

五角形ABCDEは、辺が交差せず、Dだけが内側にへこんでいます。A、B、C、Eの内角がそれぞれ80度、100度、70度、110度のとき、Dの内角を求めます。Dの角は180度より大きいものとします。

五角形の内角の和は540度です。へこんだ図でも、内側を通る対角線を選び、重ならない3個の三角形に分けられます。ここでは五角形の形と角の条件から全体の和を使い、先に4つの角を合わせます。

80 + 100 + 70 + 110 = 360度

540 − 360 = 180度

しかし、これではDが180度より大きいという条件に合いません。したがって、この条件の五角形は成立しません。計算した数をそのまま答えにせず、角の条件と照合すると矛盾に気づけます。

そこでEの内角を90度に変えます。他の条件はそのままとします。4つの角の和は80 + 100 + 70 + 90 = 340度、残りは540 − 340 = 200度です。Dは180度より大きいので、へこみの条件と合います。この条件は実際に作れます。例えばA、B、C、Eを順につないだ四角形の内角を80度、100度、80度、100度とし、CとEを結びます。CEの上にない側に、CとEの角がそれぞれ10度の三角形CDEを四角形の内側に作ります。三角形のDの角は160度で、五角形のDの内角はその反対側の200度です。

小さい側の160度が示された場合は、1周が360度であることから、図形の内側の角は360 − 160 = 200度と求められます。180度から引くのは一直線上の角を扱う場合です。頂点のまわりを1周する今回の場面と区別しましょう。形がへこんでいるからといって、小さい方をいつも内角にすることはできません。

分割の線を選び直す

へこんだ形を描いたら、まず境界の辺を順番に指でたどります。選んだ頂点と結び先がとなり同士なら、その線はもとの辺です。となりでなくても、線が途中で境界を横切って外へ出る場合は、そのまま分割の線に使えません。見た目が短い線でも、途中が外側なら同じです。

引いた線が使えなければ別の頂点の組を試します。まず内側を通る1本で2つに分け、それぞれの部分をさらに三角形に分ける方法もあります。分けた部分を色分けし、空白や重なりがないことを確かめましょう。もとの境界の角は小さな角の和に分かれ、分割線上の両側には別々の三角形の角ができます。全部を合わせれば、境界に沿った内角を過不足なく数えられます。

内角の和がわかっていても、各角がそれぞれ何度かまでは決まりません。例えば四角形の和は360度ですが、長方形の4つの角は90度ずつ、傾いた平行四辺形ではとなり同士の角が違うことがあります。残りが2か所以上なら、等しいという条件などを確かめてから分けます。和だけで各角の値を決めてしまわないことが、問題文を読むときの大事な分かれ目です。

三角形の数を直す

五角形を見て「頂点が5個なので、180 × 5 = 900度」とするのは誤答です。頂点を1つ選んだとき、その頂点につながる2本はもとの辺です。頂点の数と、分割してできた三角形の数を同じものとして数えたことが原因です。

図3の左は5つの頂点、右は対角線でできた3つの三角形を示します。5個の点を数えたら、次は面の中に1、2、3と番号を書きます。点の数と面の数を別々に指さし、180度を掛ける相手が三角形の数であると確かめます。正しい式は180 × 3 = 540度です。

もう1つの誤りは、へこんだ頂点の小さい外側の角を、他の内角と一緒に足すことです。小さい側を図形の外に塗り、残った図形の内側を指でたどると、数える角が1周の残りだと見えます。内角の和が合わないときは、計算のやり直しに入る前に、どちら側を内角として拾ったか点検します。

計算結果から図へ戻る

残りの角を引き算で求めた後は、その角をもとの図に書き込みます。たとえばへこみのない頂点の内角が180度以上になった場合、その図形の条件と合いません。足し算や辺の数を確認し、それでも合わなければ問題の条件自体が成立するか調べます。逆に、へこんだ頂点に180度以下の値が出た場合も、内角と外側の角を取り違えていないか確認します。和の計算が正しいことと、指定された形が描けることは別々の確認です。

練習問題

どの問題も辺は交差しません。必要なら自分で図を描き、角の内側を色で区別してください。

1. へこみのない七角形を、1つの頂点から対角線で三角形に分けます。三角形は何個ですか。また内角の和は何度ですか。
2. へこみのない四角形の内角のうち、3つが75度、85度、110度です。残りの内角は何度ですか。
3. へこみのない八角形の内角のうち、6つの和は780度です。残り2つの内角は等しいとき、それぞれ何度ですか。
4. へこんだ頂点が1つある六角形で、その頂点の外側の小さい角が130度です。へこんだ頂点を除く5つの内角の和は何度ですか。

練習問題の答えと道すじ

1. 答えは5個、900度です。七角形の頂点は7個です。となりの2つの頂点につながる線は辺なので、三角形は7 − 2 = 5個です。180 × 5 = 900度になります。対角線は4本であり、三角形の個数と混同しないようにします。

2. 答えは90度です。四角形は対角線1本で三角形2個に分けられるので、内角の和は180 × 2 = 360度です。示された角の和は75 + 85 + 110 = 270度です。したがって残りは360 − 270 = 90度です。4つを足して360度に戻ることも確認します。

3. 答えはそれぞれ150度です。八角形を1つの頂点から分けると三角形は8 − 2 = 6個です。内角の和は180 × 6 = 1080度です。残り2つの和は1080 − 780 = 300度になります。2つは等しいので、300 ÷ 2 = 150度です。2つを足して300度になり、示された6つと合わせて1080度になります。

4. 答えは490度です。へこんだ頂点の内角は、1周から小さい外側の角を引いて360 − 130 = 230度です。六角形の内角の和は180 × 4 = 720度です。そのうち230度がへこんだ頂点にあるので、他の5つの和は720 − 230 = 490度です。小さい角の130度を引くと、図形の外側を内角として数えることになるので注意します。

手元に残す要点

• へこみのない多角形では、1つの頂点から分けた三角形は頂点の数より2個少ないです。
• 内角の和は、分けた三角形の数に180度を掛けます。
• へこんだ形では、対角線が内側を通り、三角形が重ならないかを確かめます。
• へこんだ頂点の内角は、外側の小さい角を1周から引いて求められます。
• 答えは、残りの角の条件と全体の和の両方に戻して確かめます。

家で見守るとき

お子さまが頂点の数に180度を掛けたら、すぐに式を書き直す前に、図の各三角形に番号を振ってもらいます。辺と対角線を違う色でなぞると、となりへの線がもとの辺だと見分けやすくなります。数が合わなければ、最初と最後の三角形を指さして、線の間にある面を数えているか尋ねます。

へこんだ形で止まったときは、角の小さい側を外側として塗り、図形の内側を指でたどってもらいます。それでも判断が難しければ、頂点のまわりを1周してから小さい側を除く方法を示し、次の問題では本人に内側を選んでもらいます。計算が合っていても条件に矛盾する場合があるため、最後に求めた角がへこみの条件に合うかを問い返します。多角形の和は、線が囲む内側を見つめるところから始まります。